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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2000神戸大 理系数学1



第1問

  xy平面全体が右図のような直線の配列で埋められているとする。

        図02

  このとき、点 A$\small\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ とP$\small\sf{\begin{align*} \sf \left( m+\frac{2}{3}\ ,\ n+\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ について、AからPに至る
  のに横切らなければならない直線の本数の最小値をmとnを用いて
  表せ。ただし、m、nは負でない整数であるとする。



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  1. 2015/12/08(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2000
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2000神戸大 理系数学2



第2問

  四面体ABCDを考える。
  面ABC上の点Pと面BCD上の点Qについて、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=x\overrightarrow{\sf AB}+y\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
  とおくとき、x:y=s:tならば、線分AQとDPが交わることを示せ。



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  1. 2015/12/09(水) 23:57:00|
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2000神戸大 理系数学3



第3問

  二つの関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\left(1-x \right)\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{2x}{2+x}\end{align*}}$
  を用いて、数列{an}と{bn}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_0=b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=f\ (a_n)\ \ ,\ \ b_{n+1}=g\ (b_n)\ \ \ \left(n=0,1,2,\ldots \right)\end{align*}}$
  によって定める。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{1}{2}\end{align*}}$ において、f(x)は単調増加であることを示せ。
    またx>0 のとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\lt g\ (x)\lt x\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (2) n=1,2,…に対して、0<an<bn<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) bnを求めよ



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  1. 2015/12/10(木) 23:57:00|
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2000神戸大 理系数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{\sqrt6-2\sin x}\end{align*}}$
  を考える。$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数を求めよ。

 (2) f(x)の最小値を求めよ。またその最小値を与えるxに対して、
    $\small\sf{\sf \cos x}$ の値を求めよ。

 (3) y=f(x)のグラフのx軸より下方にある部分とx軸とで囲まれる
    部分の面積を求めよ。



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  1. 2015/12/11(金) 23:57:00|
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2000神戸大 理系数学5



第5問

  a>0 を定数として,極方程式図04
        $\small\sf{\begin{align*} \sf r&=a\left(1+\cos\theta\right)\end{align*}}$
  により表される曲線Caを考える。次の問いに答えよ。

 (1) 極座標が $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ の点を中心とし半径が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$ である円 S を、
    極方程式で表せ。

 (2) 点Oと曲線Ca上の点P≠Oとを結ぶ直線が円Sと交わる点を
    Qとするとき、線分PQの長さは一定であることを示せ。
 
 (3) 点Pが曲線Ca上を動くとき、極座標が(2a,0)の点とPとの
    距離の最大値を求めよ。

        


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  1. 2015/12/12(土) 23:57:00|
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