第2問
四面体ABCDを考える。
面ABC上の点Pと面BCD上の点Qについて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=x\overrightarrow{\sf AB}+y\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
とおくとき、x：y=s：tならば、線分AQとDPが交わることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x：y=s：tより、実数kを用いて、s=kx、t=kyと表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AQ}&=\sf s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf k\left(x\overrightarrow{\sf AB}+y\overrightarrow{\sf AC}\right)+u\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf k\overrightarrow{\sf AP}+u\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ は一次独立なので、点Qは平面APD上にある。
2直線AQとDPは平行でないので、1点で交わる。
別に交点を求める必要は無いので、4点A、D、P、Qが同一平面上に
あることを示せばOKです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/12/09(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2000
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
二つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\left(1-x \right)\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{2x}{2+x}\end{align*}}$
を用いて、数列{an}と{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_0=b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=f\ (a_n)\ \ ,\ \ b_{n+1}=g\ (b_n)\ \ \ \left(n=0,1,2,\ldots \right)\end{align*}}$
によって定める。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt \frac{1}{2}\end{align*}}$ において、f(x)は単調増加であることを示せ。
またx＞0 のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\lt g\ (x)\lt x\end{align*}}$
であることを示せ。
(2) n=1，2，…に対して、0＜an＜bn＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。
(3) bnを求めよ
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)を微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-2x+1>0\ \ \ \left(\because\ 0\lt x< \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、f(x)はこの範囲で単調に増加する。
また、x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-g\ (x)=x-\frac{2x}{2+x}=\frac{x^2}{2+x}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)-f\ (x)=\frac{2x}{2+x}-(x-x^2)=\frac{x^3+x^2}{2+x}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\lt g (x)\lt x\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_0=b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
と(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)\lt f\ (a_0)\lt g\ (b_0)\lt b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a_1\lt b_1\lt b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので成り立つ。
(ⅱ) n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_{k}\lt b_k<\frac{1}{2}\end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)\lt f\ (a_k)\lt f\ (b_k)\lt g\ (b_k)\lt b_k<\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a_{k+1}\lt f\ (b_k)\lt b_{k+1}\lt b_0<\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_n\lt b_n<\frac{1}{2}\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=g\ (b_n)=\frac{2b_n}{2+b_n}\end{align*}}$
(2)より、n=0，1，2，……に対してbn≠0なので、
両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_{n+1}}=\frac{2+b_n}{2b_n}=\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{1}{b_n} \right\}\end{align*}}$ は等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_0}+\frac{1}{2}\ n=\frac{2+b_0n}{2b_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_n=\frac{2b_0}{2+b_0n}\ }\end{align*}}$
(2)は(1)の結果を上手く使いましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/12/10(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2000
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{\sqrt6-2\sin x}\end{align*}}$
を考える。$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\pi}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) f(x)の導関数を求めよ。
(2) f(x)の最小値を求めよ。またその最小値を与えるxに対して、
$\small\sf{\sf \cos x}$ の値を求めよ。
(3) y=f(x)のグラフのx軸より下方にある部分とx軸とで囲まれる
部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{-\sin x\cdot\left(\sqrt6-2\sin x\right)-\cos x\cdot \left(-2\cos x\right)}{\left(\sqrt6-2\sin x\right)^2}=\underline{\ \frac{2-\sqrt6\ \sin x}{\left(\sqrt6-2\sin x\right)^2} \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin A=\sin B=\frac{2}{\sqrt6}\ \ \ \left(0\lt A<\frac{\pi}{2}\lt B<\pi<2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt6}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt3}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos B=-\sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt6}\right)^2}=-\frac{1}{\sqrt3}\ (<0)\end{align*}}$
より、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{min}=f\ (B)=\underline{\ -\frac{\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$
であり、そのときのxに対するcosxの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos B=\underline{ -\frac{1}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{\sqrt6-2\sin x}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\pi\end{align*}}$
であり、(2)の増減表より、y=f(x)のグラフの概形は
右図のようになる。
よって、y=f(x)のグラフのx軸より下方にある部分と
x軸とで囲まれる部分の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{\pi /2}^{3\pi /2} \left(-\frac{\cos x}{\sqrt6-2\sin x}\right) dx &=\sf \frac{1}{2}\int_{\pi /2}^{3\pi /2} \frac{\left(\sqrt6-2\sin x\right)'}{\sqrt6-2\sin x}\ dx\\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg[\log\left|\sqrt6-2\sin x\right|\bigg]_{\pi /2}^{3\pi /2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg\{\log\left(\sqrt6+2\right)-\log\left(\sqrt6-2\right)\bigg\}\\ &=\sf \log\sqrt{\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2}}\\ &=\sf \log\sqrt{\frac{\left(\sqrt6+2\right)^2}{2}}\\ &=\sf \log\frac{\sqrt6+2}{\sqrt2}\\ &=\sf \underline{\ \log\left(\sqrt3+\sqrt2\right)}\end{align*}}$
最後は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\bigg\{\log\left(\sqrt6+2\right)-\log\left(\sqrt6-2\right)\bigg\}\end{align*}}$
ぐらいで止めておいても、ちゃんと点数がもらえると思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/12/11(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2000
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
