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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010福島県立医科大 数学1(1)



第1問

 (1) 4s2+t2=4を満たすs、tについて、12s2+16st-3t2の値を最小
    とするs、tの値を求めよ。




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  1. 2018/10/09(火) 01:24:00|
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2010福島県立医科大 数学1(2)



第1問

 (2) 点(2,-2)、(4,4)をそれぞれ点(1,0)、(2,2)に移す1次変換
    をfとし、放物線C1:y=x2をfによって移した曲線をC2とする。C1
    のある点Pにおける法線はC2上のある点における法線と一致する。
    点Pの座標を求めよ。



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2010福島県立医科大 数学1(3)



第1問

 (3) どの3点も1つの直線上にない点A、B、C、Dについて、三角形
    DBC、DCA、DABの重心をそれぞれE、F、Gとする。三角形
    ABCと三角形EFGが相似であることを示し、面積比を求めよ。



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2010福島県立医科大 数学1(4)



第1問

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA} |=4\ ,\ |\overrightarrow{\sf OB}|=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2\end{align*}}$ の三角形OABにおいて、OからABに
    下ろした垂線の足をP1、P1からOAに下ろした垂線の足をP2
    P2からOBに下ろした垂線の足をP3とする。また、線分OP1
    P2P3の交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。


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2010福島県立医科大 数学1(5)



第1問

 (5) mを自然数とする。すべてのx>0について
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_m+\int_0^xt^me^{3t}dt=\sum_{k=0}^ma_kx^{m-k}e^{3x}\end{align*}}$
    を満たす数列ak(k=0,1,……,m)について、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf S_m=\sum_{k=0}^m\frac{a_k}{k!}\end{align*}}$
    の値をmで表せ。



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2010福島県立医科大 数学2



第2問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left( \log x\right)^2+2\log x\end{align*}}$
  について、曲線y=f(x)をCとする。原点OからCに引いた2本の接線と
  Cとの接点をそれぞれA(a,f(a))、B(b,f(b))とする。ただし、a<bと
  する。以下の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減、極値、変曲点を調べ、曲線Cの概形を描け。

 (2) a、bの値を求めよ。

 (3) 曲線Cの点Aから点Bまでの部分と線分OA、OBで囲まれる図形を
    y軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。



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2010福島県立医科大 数学3



第3問

  p、qは互いに素な自然数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) p、qがともに奇数であるとき、p4+q4は自然数の2乗にならない
    ことを示せ。

 (2) qは奇数とする。次の手順にしたがって(2p)4+q4が自然数の2乗
    にならないことを背理法を用いて示せ。
  (ⅰ) 次の仮定(H)が成り立つものとして、以下の問い(A)~(D)に答
     えよ。
       仮定(H):(2p)4+q4=r2となる自然数rが存在する。
   (A) 2pとrは互いに素になることを示せ。
   (B) 互いに素な自然数m、nがあって、r+(2p)2=m4、r-(2p)2=n4
      と表せることを示せ。
   (C) (B)のm、nについて、m+n=2a、m-n=2bとおく。p2をa、bを
      用いて表せ。
   (D) 2p1とq1が互いに素になり、p=2p1q1r1かつ(2p1)4+(q1)4=
      (r1)2となる自然数p1、q1、r1が存在することを示せ。

  (ⅱ) (ⅰ)の仮定(H)が成り立たないことを示せ。




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