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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011福島県立医科大 数学1(1)



第1問(1)

  a、bは実数とする。xの3次関数f(x)=x3-3ax-2bについて、
  以下の問いに答えよ。

 (ⅰ) 方程式f(x)=0の異なる実数解の個数を調べよ。
 (ⅱ) 方程式f(x)=0が2つの異なる実数解をもつとき、その解を
    aを用いて表せ。
 (ⅲ) 方程式f(x)=0が3つの異なる実数解をもつとき、それらの
    絶対値はすべて$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{|a|}\end{align*}}$ より小さいことを示せ。


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  1. 2018/10/09(火) 01:19:00|
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2011福島県立医科大 数学1(2)



第1問(2)

 (ⅰ) すべての自然数nと整数k(0≦k≦n-1)について、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\cdot_{2n}C_{n+k}+_{2n}C_{n+k+1}+_{2n}C_{n+k-1}=_{2(n+1)}C_{n+k+1}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (ⅱ) xは実数とする。すべての自然数nについて、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 2^{2n}\cdot\cos^{2n}x=_{2n}C_n+2\sum_{k=1}^n\ _{2n}C_{n+k}\cos\left(2kx \right)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。



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2011福島県立医科大 数学2



第2問

  1辺の長さが1である正四面体OABCに外接する球の中心をGとし、
  この球面と直線OGとのO以外の交点をPとする。また、点D、E、Fは
  それぞれ辺OA、OB、OC上にあって、四面体PDEFが正四面体にな
  るような点とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ として、以下の問いに
  答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 四面体PDEFの1辺の長さを求めよ。

 (3) 3点A、B、Cを含む平面と辺PDとの交点をQとする。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (4) 正四面体OABCの内部と正四面体PDEFの内部の共通部分の
    体積を求めよ。



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2011福島県立医科大 数学3



第3問

  正の実数a、bについて、双曲線C1:x2-y2=a2 と楕円C2
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{2}=1\end{align*}}$ は共有点をもち、その点におけるC1の接線とC2
  接線は直交している。第1象限におけるC1とC2の共有点をPと
  し、eを自然対数の底として、以下の問いに答えよ。

 (1) bおよび点Pの座標をaを用いて表せ。

 (2) C1はtを媒介変数として
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\ a\ \ ,\ \ y=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\ a\end{align*}}$
    と表すことができる。点Pの座標を表すtをaを用いて表せ。

 (3) x>0の範囲において、C1とC2によって囲まれる部分の面積
    をSaとする。Saをaを用いて表せ。

 (4) (3)のSaについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\left( 1+h\right)\frac{1}{h}=e\end{align*}}$ を利用することによって、
    極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{S_a}{a}\end{align*}}$ を求めよ。



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2011福島県立医科大 数学4



第4問

  a1、a2、a3は、2次の正方行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf 5a_2 \\ \sf a_3 & \sf a_n \end{pmatrix}\end{align*}}$
  が逆行列をもたないような、100以下の自然数とする。ただし、
  a1≧a2≧a3のときはn=3とし、それ以外のときは、ai<ai+1
  を満たす最小のi(i=1または2)をnとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 組(a1,a2,a3)を固定したとき、平面上の各点はAで表される
    1次変換によって原点を通る直線L上に移ることを示せ。

 (2) (1)の直線Lが $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{5}x\end{align*}}$ になるような(a1,a2,a3)の組の個数
    はいくつか。

 (3) n=1になるような(a1,a2,a3)の組の個数はいくつか。



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