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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012福島県立医科大 数学1(1)



第1問(1)

  行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -1 &\sf 2 \\ \sf -6 & \sf 6 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  について、AX=XB、X-1=Xを満たす行列Xをすべて求めよ。


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  1. 2018/10/09(火) 01:13:00|
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2012福島県立医科大 数学1(2)



第1問(2)

 OCとABが平行である台形OABCがあって、OA=OC=BC=1、
 AB=AC、∠AOC>$\small\sf{\pi}$ /2を満たしているものとする。
 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ 、∠AOC=$\small\sf{\theta}$ として、以下の問いに答えよ。

 (ⅰ) cos$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (ⅱ) 点Bから対角線ACに垂線を下ろし、垂線とACとの交点を
    Hとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{CH}{AH}\end{align*}}$ を求めよ。




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2012福島県立医科大 数学2(1)



第2問(1)

   eは自然対数の底とし、aは正の実数とする。
  以下の問いに答えよ。

 (ⅰ) x>0で定義された関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=a\log x-x \end{align*}}$ の増減を調べ、
    極値を求めよ.

 (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty} x^ae^{-2x}=0\end{align*}}$ を示せ。

 (ⅲ) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\int_0^xt^2e^{-2t}dt\end{align*}}$ を求めよ。
        



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2012福島県立医科大 数学2(2)



第2問(2)

 0<t<$\small\sf{\pi}$ とする。曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\sin\frac{x}{2}\ \left(0\leqq x\leqq \pi \right)\end{align*}}$ 上の点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t\ ,\ \sin\frac{t}{2}\right)\end{align*}}$
 におけるCの接線をL1、点Pと原点を通る直線をL2とする。以下
 の問いに答えよ。

 (ⅰ) 接線L1とx軸との交点のx座標をtを用いて表せ。

 (ⅱ) i=1、2について、直線Li、x軸および直線x=tで囲まれた
    三角形をx軸のまわりに回転させてできた円錐の体積をVi
    とする。また、曲線C、x軸および直線x=tで囲まれた図形
    をx軸のまわりに回転させてできた回転体の体積をVとする。
    V1、V2およびVをtを用いて表せ。

 (ⅲ) 極限値$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\theta-\sin\theta}{\theta^3}\end{align*}}$ を求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\end{align*}}$ は利用してよい。
        



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2012福島県立医科大 数学3



第3問

  nは自然数とする。3次方程式x3−3x2−27x−27=0の3つの
  解a、b、cについて、pn=an+bn+cnとおく。以下の問いに答
  えよ。

 (1) a、b、cは3つの異なる実数であることを示せ。

 (2) p1、p2、p3の値を求めよ。

 (3) pn+3をpnpn+1およびpn+2を用いて表せ。

 (4) pnは3nの倍数であることを示せ。



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2012福島県立医科大 数学4



第4問

  自然数を自然数に移す関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (n)=\left\{\begin{matrix} \sf \frac{n}{2} & (\sf n=2N) \\ \\\sf n+1 & (\sf n=2N-1) \end{matrix}\right.\end{align*}}$  (N:自然数)
  について、fがmをnに移すことを、$\small\sf{\begin{align*} \sf m\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } n\end{align*}}$ と表す。例えば、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\ \ ,\ \ \ 3\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 4\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 2\xrightarrow[\ ]{\ \ f\ \ } 1\end{align*}}$
  である。2以上の自然数nをfで繰り返し移すとき、1に移るまでに
  必要な最小の移動回数をanとする。したがって、a2=1、a3=3で
  ある。nを自然数として、以下の問いに答えよ。
 (1) a2n+1とa2n+2をそれぞれan+1を用いて表せ。
 (2) 数列{a2,a3,a4,…}を次のように、第n群の項数が2n-1
    なるように分ける。
      a2|a3,a4|a5,a6,a7,a8|a9,a10,…a16|…
  (ⅰ) 第n群の初項をnを用いて表せ。
  (ⅱ) 第n群の総和をSnとする。Sn+1をnとSnを用いて表せ。
     また、Snをnを用いて表せ。
  (ⅲ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^{2^n}a_k\end{align*}}$ をnを用いて表せ。
        

 


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