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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010札幌医科大 数学1



第1問

  a、hを正の定数とし、0°<$\small\sf{\theta}$ <120°とする。空間内に3点
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(a\ ,\ 0\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ B\left( -\frac{a}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3\ a}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ C\left(-\frac{a}{2}\ ,\ -\frac{\sqrt3\ a}{2}\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
  がある。xy平面上で、3点A、B、Cを原点中心に$\small\sf{\theta}$ だけ回転
  させた点をそれぞれD、E、Fとする。さらに3点D、E、Fをz軸
  方向にhだけ平行移動した点をそれぞれX、Y、Zとする。

 (1) 点Dと、直線ABの距離をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 三角形ABXの面積が最大となるときの$\small\sf{\theta}$ を求め、そのとき
    の面積をaとhを用いて表せ。

 (3) 下面が三角形ABC、上面が三角形XYZ、側面が6つの三
    角形AXZ、BYX、CZY、XAB、YBC、ZCAであるような立
    体を考える。(2)で求めた$\small\sf{\theta}$ に対して、この立体の体積をaと
    hを用いて表せ。



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2010札幌医科大 数学2



第2問

  1からnまでの自然数が書かれたカードが1枚ずつある。この中から
  無作為に2枚のカードを同時に取り出し、小さい方の自然数をa、
  大きい方の自然数をbとする。ただしnは2以上の自然数とする。

 (1) kを1≦k≦nをみたす自然数とするとき、a=kとなる確率をkとn
    を用いて表せ。

 (2) aの期待値をnを用いて表せ。

 (3) bの期待値をnを用いて表せ。

 (4) b-aの期待値をnを用いて表せ。



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2010札幌医科大 数学3



第3問

  a、bを正の定数とする。平面上において(-a,0)を中心とする円C1と、
  (b,0)を中心とする円C2が、原点Oで外接している。また、Pを円C1
  上の点とし、Qを円C2上の点とする。ただし2点P、Qはx軸上にない
  ものとする。

 (1) PとQがx軸に対して同じ側にあるとき、三角形OPQの面積の最大
    値をa、bを用いて表せ。

 (2) PとQがx軸に対して異なる側にあるとき、三角形OPQの面積の最
    大値をa、bを用いて表せ。ただし3点O、P、Qは同一直線上にない
    ものとする。



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2010札幌医科大 数学4



第4問

  整数nに対して、anを次式で定義する。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_0^{\pi /4}\left( \cos x\right)^ndx\end{align*}}$
 (1) a-2とa-1を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf na_{n}=2^{-\frac{n}{2}}+\left(n-1 \right)a_{n-2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) a2n=bn+$\small\sf{\pi}$ cn (ただしbn、cnは有理数)と表されることを示せ。
    またn<0のときのcnを求めよ。必要ならば$\small\sf{\pi}$ が無理数であること
    を用いて良い。



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