青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2008乙

2008京都大　理系数学（乙）１

成人の日です。みなさんおめでとうございます。
今日からはまた二次試験の問題を解いていくことにします。

第１問

　　直線ｙ＝ｐｘ＋ｑが関数ｙ＝log ｘのグラフと共有点をもたないために
　　ｐとｑが満たすべき必要十分条件を求めよ

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　真数条件より、以下はｘ＞０の範囲で考える。
　
　　　　２式を連立させると、
　　　　　　　ｐｘ＋ｑ＝log ｘ　⇔　log ｘ－ｐｘ＝ｑ

　　　　未知の定数を分離するのは、定石ですね。
　　　　ｐが残っていますが、まぁ１文字ぐらいだったらどうにかなるでしょう。　　

　　　　ここで、ｆ(ｘ)＝logｘ－ｐｘとおくと、題意を満たすためには、
　　　　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑが共有点をもたなければよい。
　　　　まず、ｆ(ｘ)の導関数を求めると、
　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=\frac{1}{x}-p$

　　　　(ⅰ) ｐ≦０のとき
　　　　　　　ｘ＞０の範囲で常にｆ’(ｘ)＞０となるので、
　　　　　　　ｆ(ｘ)は単調増加。
　　　　　　　また、
　　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow +0}f\ (x)=-\infty$
　　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow +\infty}f\ (x)=\infty$
　　　　　　　なので、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑは必ず
　　　　　　　共有点をもってしまう（右図１）。
　　　　　　　よって、この場合は不適である。　　　

　　　　(ⅱ) ｐ＞０のとき
　　　　　　　ｆ’(ｘ)＝０となるのは、
　　　　　　　　　　 $\rm 　x=\frac{1}{p}\ \ (>0)$
　　　　　　　のとき。
　　　　　　　ｘ＞０の範囲で増減表を書くと、下の通り。
　　　　　　　　　　　

　　　　　　　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑが共有点をもたないのは、
　　　　　　　　　　 $\rm 　q>f\ \left(\frac{1}{p}\right)=-\log p-1$
　　　　　　　のときである（右図２）。

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、満たすべき条件は、
　　　　　　　　ｐ＞０かつｑ＞－log ｐ－１　

　　(ⅱ)のｘ→＋∞のときの極限について。　　
　　　　　 $\rm {\color{blue}\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \frac{\log x}{x}=0}$ 　･････①　
　　という極限値を用いれば、簡単にｆ(ｘ)→－∞とできるのですが、
　　①を証明しようとすると、大変なことになってしまいます。
　　直接には答えとは関係ないので、触れずにおくのがベストでしょうね。　　

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2008京都大　理系数学（乙）２

あららら、投稿予定時刻まであと20分しかありませんね＾＾；；
ダッシュで書き上げます！

第２問

　　正四面体ＡＢＣＤを考える。点Ｐは時刻０では頂点Ａに位置し、１秒ごとに
　　ある頂点から他の３頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、
　　時刻０から時刻ｎまでの間に、４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてに点Ｐが現れる
　　確率を求めよ。ただし、ｎは１以上の整数とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　
　　　　まず、時刻０に点Ａに位置しているので、残りのＢ、Ｃ、Ｄについてのみ
　　　　考えればよい。

　　　　時刻ｎの時点で、点Ｐがそれまでに一度もＢ、Ｃ、Ｄに現れない事象をそれぞれ、
　　　　　　　　Ｂ、Ｃ、Ｄ
　　　　と書くことにする。

　　　　「４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてに点Ｐが現れる」
　　　　を事象Ｘとおくと、Ｘの余事象は、
　　　　　　　　ＢまたはＣまたはＤ
　　　　である。

　　　　ここで、時刻１にはＢ、Ｃ、Ｄのいずれかの点に移動しているので、
　　　　　　　　ＢかつＣかつＤ
　　　　とは成りえない。
　　　　このことを考慮に入れて、ベン図で表すと、右図の緑色の部分が
　　　　事象Ｘを表すことになる。

　　　　(ⅰ) 事象Ｂが起こる確率
　　　　　　　時刻ｎまでのｎ回の移動のすべてにおいて、
　　　　　　　移動可能な３点のうち、Ｂ以外の２点のいずれかに
　　　　　　　移動すればよいので、その確率は
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{2}{3}\right)^n$
　　　　　　　となる。　同様に、Ｃ、Ｄとなる確率もそれぞれ
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{2}{3}\right)^n$
　　　　　　　である。

　　　　(ⅱ) 事象「ＢかつＣ」が起こる確率
　　　　　　　時刻ｎまでのｎ回の移動のすべてにおいて、
　　　　　　　移動可能な３点のうち、Ｂ、Ｃ以外の点に
　　　　　　　移動すればよいので、その確率は
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{3}\right)^n$
　　　　　　　となる。
　　　　　　　同様に、「ＣかつＤ」および「ＤかつＢ」となる確率もそれぞれ
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{3}\right)^n$
　　　　　　　である。

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、事象Ｘが起こる確率は、
　　　　　　　　　　　 $\rm 1-\bigg(3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n-3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n\bigg)=\underline{\ 1-3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\ \ }$

　　　　ベン図を描くと分かりやすいと思います。
　　　　　　　　　(緑色)＝(全体)－{(水色３つ)－(ピンク３つ)}
　　　　です。　　

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2012/01/10(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2008乙

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2008京都大　理系数学（乙）３

いよいよセンターまで、残すところ３日になりました。
体調に気をつけるのはもちろんのことですが、
今まで頑張ってきたことを思い出して気持ちを落ち着けてください。
あくまで平常心です！

第３問

　　空間の１点Ｏを通る４直線で、どの３直線も同一平面上にないようなものを考える。
　　このとき、４直線のいずれともＯ以外の点で交わる平面で、４つの交点が平行四辺形
　　の頂点になるようなものが存在することを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　４直線をＬ₁～Ｌ₄とし、それぞれの直線上でＯと異なる点Ａ～Ｄを考える。
　　　　Ｌ₁、Ｌ₂、Ｌ₃の方向ベクトルをそれぞれ $\rm \overrightarrow{\rm x}\ \ ,\overrightarrow{\rm y}\ \ ,\overrightarrow{\rm z}$ とおくと、
　　　　点Ａ～Ｃはそれぞれ、実数ａ、ｂ、ｃを用いて
　　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OA}=a\ \overrightarrow{\rm x}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm OB}=b\ \overrightarrow{\rm y}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm OC}=c\ \overrightarrow{\rm z}$
　　　　と表すことができる。
　　　　ここで、Ａ、Ｂ、ＣはＯとは異なるので、ａ、ｂ、ｃ≠０である。
　　　　
　　　　題意より、Ｌ₁、Ｌ₂、Ｌ₃は同一平面上にないので、それぞれの方向ベクトル
　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm x}\ \ ,\overrightarrow{\rm y}\ \ ,\overrightarrow{\rm z}$ は一次独立である。
　　　　よって、直線Ｌ₄上の点Ｄは、実数ｄ₁、ｄ₂、ｄ₃を用いて、
　　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OD}=d_{1}\overrightarrow{\rm x}+d_2\overrightarrow{\rm y}+d_3\overrightarrow{\rm z}$
　　　　と表すことができる。
　　　　題意より、Ｌ₄は、Ｌ₁～Ｌ₃のどの２直線とも同一平面をなさないので、
　　　　ｄ₁、ｄ₂、ｄ₃≠０である。
　　　　　　（例えば、ｄ₁＝０ならば、
　　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OD}=d_2\overrightarrow{\rm y}+d_3\overrightarrow{\rm z}$
　　　　　　　となり、点が $\rm \overrightarrow{\rm y}$ と $\rm \overrightarrow{\rm z}$ すなわち、Ｌ₂とＬ₃によって張られる平面上に
　　　　　　　存在することになり、題意に反する。）

　　　　四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になるための条件を求める。
　　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}$
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}$
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ (d_1-a)\ \overrightarrow{\rm x}+d_2\overrightarrow{\rm y}+d_3\overrightarrow{\rm z}=c\ \overrightarrow{\rm z}-b\ \overrightarrow{\rm y}$
　　　　ここで、 $\rm \overrightarrow{\rm x}\ \ ,\overrightarrow{\rm y}\ \ ,\overrightarrow{\rm z}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　　　ｄ₁＝ａ、ｄ₂＝－ｂ、ｄ₃＝ｃ　･････(※)
　　　　となる。

　　　　逆に、ａ、ｂ、ｃに対して(※)を満たすようにｄ₁、ｄ₂、ｄ₃を定めると、
　　　　四角形ＡＢＣＤは平行四辺形になるので、題意を満たすような平面が
　　　　存在することになる。

　　　　　　　　
　　　　「存在することを示せ」なので、何か１つ平行四辺形を見つければＯＫです。　　

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2012/01/11(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2008乙

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2008京都大　理系数学（乙）４

ブログのデザインを少しいじってみました。

あと、センターについての記事に数カ所、間違いがありましたので
訂正しておきました。どうもスミマセンでした。

第４問

　　定数ａは実数であるとする。関数ｙ＝|ｘ²－２|とｙ＝|２ｘ²＋ａｘ－１|の
　　グラフの共有点はいくつあるか。a の値によって分類せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　Ｃ₁：ｙ＝|ｘ²－２| とＣ₂：ｙ＝|２ｘ²＋ａｘ－１| の共有点を求める。
　　　　　　　　 |ｘ²－２|＝|２ｘ²＋ａｘ－１|
　　　　　　⇔　２ｘ²＋ａｘ－１＝±(ｘ²－２)　
　　　　　　⇔　ｘ²＋ａｘ＋１＝０･･･①　または　３ｘ²＋ａｘ－３＝０･･･②

　　　　①、②の判別式をそれぞれＤ₁、Ｄ₂とする。
　　　　
　　　　・①の実数解の個数は、
　　　　　　　　Ｄ₁＝ａ²－４＝(ａ－２)(ａ＋２)
　　　　　より、
　　　　　　　　－２＜ａ＜２のとき０個
　　　　　　　　ａ＝±２のとき１個
　　　　　　　　ａ＜－２、２＜ａのとき２個

　　　　・②の実数解の個数は、
　　　　　　　　Ｄ₂＝ａ²＋36＞０
　　　　　より、ａの値によらず常に２個である。

　　　　　　　
　　　　・次に、①と②が共通の解をもつ場合を考える。
　　　　　共通解をｐとおくと、
　　　　　　　　ｐ²＋ａｐ＋１＝０　･････①’
　　　　　　　　３Ｐ²＋ａｐ－３＝０　･････②’
　　　　　②’－①’より、
　　　　　　　　 $\rm 2p^2-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\pm\sqrt2$
　　　　　これと①’より、
　　　　　　　　 $\rm 4\pm\sqrt2\ a+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{3}{2}\sqrt2$

　　　　以上より、Ｃ₁とＣ₂の共有点の個数は、
　　　　　　　　 $\rm -2<a<2$ のとき２個
　　　　　　　　 $\rm a=\pm2\ ,\ \pm\frac{3}{2}\sqrt2$ のとき３個
　　　　　　　　 $\rm a<-2\ ,\ 2<a\ \left(a\ne \pm\frac{3}{2}\sqrt2\right)$ のとき４個
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　まぁ、普通に±で絶対値を外して、判別式です。
　　　　共通解をもつ場合があることさえ気をつければ、大丈夫でしょう。
　　　　以下は別解ですが、こっちの方が処理は面倒ですが、
　　　　視覚的にとらえやすいと思います。

　　　　①、②ともにｘ＝０は解となり得ないので、両辺をｘで割って整理すると、
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}-x-\frac{1}{x}=a}$ 　　または　 ${\color{blue}\rm -3x+\frac{3}{x}=a}$
　　　　それぞれの左辺をｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)とおく。すなわち、
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}f\ (x)=-x-\frac{1}{x}\ \ ,\ \ g(x)= -3x+\frac{3}{x}}$
　　　　
　　　　ｙ＝|ｘ²－２|とｙ＝|２ｘ²＋ａｘ－１|の共有点の個数は、
　　　　２つのグラフｙ＝ｆ(ｘ)およびｙ＝ｇ(ｘ)と　直線ｙ＝ａとの共有点の
　　　　個数に等しい。
　　　　
　　　　まず、ｙ＝ｆ(ｘ)について、導関数を求めると、
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}f\ '(x)=-1+\frac{1}{x^2}}$
　　　　これより、増減表は下の通り。
　　　　　　　　　

　　　　次に、ｙ＝ｇ(ｘ)について、導関数を求めると、
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}g\ '(x)=-3-\frac{3}{x^2}}$
　　　　これより、増減表は下の通り。
　　　　　　　　　

　　　　ｙ＝ｆ(ｘ)とｙ＝ｇ(ｘ)の位置関係を調べるために、
　　　　２曲線の共有点を求める。
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}-x-\frac{1}{x}= -3x+\frac{3}{x}}$
　　　　　 $\rm {\color{blue}\Leftrightarrow\ \ x^2=2}$
　　　　　 $\rm {\color{blue}\Leftrightarrow\ \ x=\pm \sqrt2}$
　　　　よって、２曲線は、２点
　　　　　　　 $\rm {\color{blue}\left(\sqrt2\ ,\ -\frac{3\sqrt2}{2}\right)\ \ ,\ \ \left(-\sqrt2\ ,\ \frac{3\sqrt2}{2}\right)}$
　　　　を共有するので、グラフは右図のようになる。

　　　　直線ｙ＝ａとの共有点の個数を考えると、
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}-2<a<2}$ のとき２個
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}a=\pm2\ ,\ \pm\frac{3}{2}\sqrt2}$ のとき３個
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}a<-2\ ,\ 2<a\ \left(a\ne \pm\frac{3}{2}\sqrt2\right)}$ のとき４個

　

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2012/01/12(木) 23:57:00|

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2008京都大　理系数学（乙）５

いよいよ明日ですね。
今まで使ってきたノートやプリントの山を見てみてください。
これだけの量の勉強をしてきたんだなぁ、十分に頑張ってきたんだ、
と自身をもつことができるはずです。
明日は、十分心を落ち着けて頑張ってきてください。

第５問

　　次の式で与えられる底面の半径が２、高さが１の円柱Ｃを考える。
　　　　　Ｃ＝{ (ｘ，ｙ，ｚ) | ｘ²＋ｙ²≦４，０≦ｚ≦１}
　　ｘｙ平面上の直線ｙ＝１を含み、ｘｙ平面と45°の角をなす平面のうち、
　　点(０，２，１)を通るものをＨとする。円柱Ｃを平面Ｈで２つに分けるとき、
　　点(０，２，０)を含む方の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ｘｙ平面上において、
　　円ｘ²＋ｙ²＝４と直線ｙ＝１との交点を求めると、　
　　　　　　ｘ²＋１²＝４　⇔　ｘ＝± $\rm \sqrt3$ ．

　　次に、ｘ軸上に点Ｐ(ｔ，０)　（－ $\rm \sqrt3$ ≦ｔ≦ $\rm \sqrt3$ ）を通り、
　　ｘ軸に垂直な直線と直線ｙ＝１および円ｘ²＋ｙ²＝４
　　との交点をそれぞれ右図１にようにＱ、Ｒとする。
　　　　　　Ｑ(ｔ，１) 、Ｒ(ｔ， $\rm \sqrt{4-t^2}$ )
　　より、
　　　　　　ＱＲ＝ $\rm \sqrt{4-t^2}$ －１．

　　
　　円柱Ｃを平面Ｈで２つに分けたときに点(０，２，０)を含む側、
　　すなわち下側にある方の立体をＤとし、Ｄをｘ軸に垂直な
　　平面ｘ＝ｔで切ったときの断面Ｓを考える。
　　平面Ｈがｘｙ平面と45°をなすことから、断面Ｓは
　　ＱＲを等辺とする直角二等辺三角形となり(図２)、
　　その面積Ｓ(ｔ)は、
　　　　　 $\rm S\ (t)=\frac{1}{2}\ QR^2$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2}\left(\sqrt{4-t^2}-1\right)^2$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2}\left(5-t^2-2\sqrt{4-t^2}\right)$ ．

　　求めるＤの体積Ｖは、－ $\rm \sqrt3$ ≦ｔ≦ $\rm \sqrt3$ の範囲で、
　　断面積Ｓ(ｔ)を積分すると得られるので、
　　　　　 $\rm V=\frac{1}{2}\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\ \left(5-t^2-2\sqrt{4-t^2}\right)\ dt$
　　　　　　 $\rm =\int_{0}^{\sqrt3} \left(5-t^2\right)\ dt-2\int_0^{\sqrt3} \sqrt{4-t^2}\right)\ dt$
　　ここで、
　　　　　　 $\rm \int_{0}^{\sqrt3} \left(5-t^2\right)\ dt=\left[5t-\frac{1}{3}t^3\right]_0^{\sqrt3}=4\sqrt3$

　　一方、後半の積分は、
　　右図３の面積を考えることによって、
　　　　　　 $\rm \int_0^{\sqrt3} \sqrt{4-t^2}\ dt=2^2\pi\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot1$
　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}$
　　と求めることができる。
　　以上より、
　　　　　　 $\rm V=4\sqrt3-2\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}\right)$
　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 3\sqrt3-\frac{4}{3}\pi\ \ }$

　　これは教科書にもあるような問題ですね。
　　ｙ軸やｚ軸に垂直な平面で切った断面で考えてもＯＫです。　　

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2012/01/13(金) 23:57:00|

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2008京都大　理系数学（乙）６

さて、センター１日目終了です。どうでしたか？？
手応えバッチリ！という人は、明日も好調を維持できるように気を緩めずに。
逆に、今日はちょっと失敗してしまったかなぁという人は、
気持ちをいったんリセットして、明日に引きずらないようにしてください。

いずれにせよ最後の最後まであきらめてはいけません！
明日も全力で頑張ってください。

第６問

　　地球上の北緯60°東経135°の地点をＡ、北緯60°東経75°の地点をＢとする。
　　ＡからＢに向かう２種類の飛行経路Ｒ₁、Ｒ₂を考える。Ｒ₁は西に向かって同一緯度で
　　飛ぶ経路とする。Ｒ₂は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。
　　Ｒ₁に比べてＲ₂は飛行距離が３%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体で
　　あるとし、飛行機は高度０を飛ぶものとする。また必要があれば、三角関数表を用いよ。
　　　　注：大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円の
　　　　　　ことである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　地球の半径をＲ、中心をＯとする。

　　北緯60°を表す緯線を円Ｃ₁、
　　その中心をＯ₁とすると、
　　　　　∠ＡＯＯ₁＝∠ＢＯＯ₁＝30°
　　となるので、Ｃ₁の半径をｒ₁とすると、
　　　　　 $\rm r_1=R\ \sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\ R$
　　　　　∠ＡＯ₁Ｂ＝135－75＝60°
　　なので、Ｒ₁の長さは、
　　　　　 $\rm R_1=2\ \pi\ r_1\times\frac{60}{360}=\frac{\pi}{6}\ R$ ．
　　また、△ＡＢＯ₁は正三角形となるので、
　　弦ＡＢの長さは、
　　　　　 $\rm AB=r_1=\frac{1}{2}\ R$

　　一方、２点Ａ、Ｂを通る大円をＣ₂とし、
　　∠ＡＯＢ＝θ°とする。
　　△ＯＡＢで余弦定理を用いると、
　　　　　 $\rm \cos\theta=\frac{R^2+R^2-\left(\frac{1}{2}R\right)^2}{2\cdot R\cdot R}=\frac{7}{8}=0.875$ ．
　　三角関数表を用いると、
　　　　　28.5°＜θ＜29°
　　となるので、Ｒ₂の長さは、
　　　　　 $\rm R_2=2\ \pi\ R\times\frac{\theta}{360}<2\ \pi\ R\times\frac{29}{360}=\frac{29\pi}{180}\ R$

　　以上より、
　　　　　 $\rm \frac{R_2}{R_1}=\frac{\frac{29\pi}{180}\ R}{\frac{\pi}{6}\ R}=\frac{29}{30}=0.966\ldots$
　　となるので、Ｒ₂の長さはＲ₁より３％以上短い。

　　　
　　うまく平面でとらえることができれば
　　問題ないと思います。　　

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2012/01/14(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2008乙

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