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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011札幌医科大 数学1



第1問

  a、bを実数とし、xに関する方程式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos 2x+a\cos x+b=0\end{align*}}$
  を考える。この方程式が0≦x<2$\small\sf{\pi}$ の範囲で、2個の異なる実数解を
  持つためのa、bに関する条件を求めよ。



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  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大  2011
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2011札幌医科大 数学2



第2問

  1からnまでの番号が書かれたn個の箱があり、各々の箱には2n本の
  くじが入っている。番号がLの箱にはL本の当たりが入っているとする。
  この条件で次の①、②を試行する。
    ① 無作為に箱を1つ選ぶ。
    ② ①で選んだ箱を用いて、くじを1本ひいては戻すことをm回繰り
      返す。
  この試行でk回当たりくじを引く確率をPn(m,k)とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,0 \right)\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,1 \right)\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(2,2 \right)\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n\left(m,1 \right)\end{align*}}$ をmを用いて表せ。


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2011札幌医科大 数学3



第3問

  aを正の定数、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ /2 とし、行列Xa,$\small\sf{\theta}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf X_{a,\theta}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \frac{1}{a} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf \sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf -\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定義する。またEを2次の単位行列とする。

 (1) 2次の正方行列Xが、X2=Eを満たし、行列Xの表す1次変換は、
    点(1,0)を第1象限内に、点(0,1)を第4象限内に移すとする。
    このとき行列XはXa,$\small\sf{\theta}$ の形になることを示せ。

 (2) a1とa2を正の定数、$\small\sf{\theta}$ 1と$\small\sf{\theta}$ 2を第1象限の角とする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=X_{a_1,\theta_1}\ \ ,\ \ B=X_{a_2,\theta_2}\end{align*}}$
    とするとき(AB)2=Eとなるための条件をa1、a2、$\small\sf{\theta}$ 1、$\small\sf{\theta}$ 2
    用いて表せ。



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2011札幌医科大 数学4



第4問

  0≦x≦aで定義された2つの関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(a-x \right)e^x\ \ ,\ \ h(x)=bx^2\end{align*}}$
  を考える。ただしa、bは定数とし、aは1<a≦2を満たすとする。
  さらに2曲線y=f(x)とy=h(x)がf(x)の最大値をとる点で交わる
  とする。

 (1) 曲線y=f(x)の概形を描け。

 (2) bをaを用いて表せ。

 (3) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int xe^{2x}dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) 2曲線y=f(x)、y=h(x)およびx軸で囲まれる図形をx軸の周りに
    一回転させてできる回転体の体積をaを用いて表せ。




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