FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012札幌医科大 数学1



第1問

  全ての面が合同な三角形である四面体OABCを考える。
  この四面体について、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf OA=\sqrt3\ ,\ OB=2\ ,\ OC=\sqrt5\end{align*}}$
  とする。

 (1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

 (2) 点Oから3点A、B、Cを含む平面に下ろした垂線をOHとするとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 四面体OABCの体積を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/13(土) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大  2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012札幌医科大 数学2



第2問

  箱の中に1、2、3の数字が書かれたカードが1枚ずつ、合計で3枚
  入っている。また箱の外に1が書かれたカードを2枚、2が書かれた
  カードを1枚用意しておく。いま、箱の中からカードを1枚取り出し、
  外にあるカード1枚と交換して箱に戻すという試行を考える。
  ただし、交換は以下のルールで行う。
   ・取り出されたカードが1の場合は,交換せずに箱に戻す。
   ・それ以外の場合は、取り出したカードに書かれている数字より
    1小さい数の書かれているカードと交換し、箱に戻す。
  第k回目の試行の後に、箱の中のカードに書かれてある数字が、
  1,m,n (ただし1≦m≦n≦3とする)となる確率を P1,m,n(k) と
  書く。ただし k は自然数とする。

 (1) P1,1,2⁡(k)およびP1,1,3(k)をkを用いて表せ。

 (2) 0<q<1に対して$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^{k-1}\end{align*}}$ をqを用いて表せ。
    ただし $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^2q^t=0\end{align*}}$ であることは用いてよい。

 (3) 箱の中のカードに書かれてある数字が、第k回目の試行の後で
    初めて全て1となる確率を rkとする。このとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}k\ r_k\end{align*}}$ を求めよ。
        
                


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/13(土) 01:02:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大  2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012札幌医科大 数学3



第3問

  a、b、p、qを実数(ただしp≠0)とし、行列Xを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf p&\sf -q \\ \sf q & \sf p^{-1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定義する。また、命題P(a,b)を「X2-aX+bE=Oをみたすpとqが
  存在する」とする。ただしEは2次の単位行列、Oは2次の零行列と
  する。

 (1) 命題P(a,b)が真となる条件をaとbを用いて表せ。

 (2) nを自然数としたとき、命題P(a,b)が真となる整数の組(a,b)で、
    |a|≦nかつ|b|≦nとなるものの個数を、nを用いて表せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/13(土) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大  2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012札幌医科大 数学4



第4問

  aを実数とする。また、関数f(x)をx>1の範囲において
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{-a}\left\{\log \left(x+1 \right)-\log\left(x-1 \right)\right\}\end{align*}}$
  で定義する。

 (1) 関数f(x)が単調減少であるためのaの条件を求めよ。

 (2) 級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{\infty}f\left( n\right)\end{align*}}$ が正の無限大に発散するようなaの条件を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/13(土) 01:04:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大  2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0