FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010旭川医科大 数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) 整数を係数とするn次方程式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots + a_{n-1}x+a_n=0\end{align*}}$
    が有理数の解 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{B}{A}\end{align*}}$ (AとBは互いに素な整数とする)をもつとき、
    Aはa0の約数であり、Bはanの約数であることを示せ。

 (2) 素数pに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x+y+z=\frac{p}{3}\ \ ,\ \ xy+yz+zx=\frac{1}{p}\ \ ,\ \ xyz=\frac{1}{p^3}\end{align*}}$
    を満たすx、y、zがすべて正の有理数であるとき、pおよびx、y、z
    を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/11(木) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2010
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2010旭川医科大 数学2



第2問

  a>1とする。0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{a-1}\end{align*}}$ となるtに対して、xy平面上の2点
      $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos t\ ,\ \sin t \right)\ \ ,\ \ Q\left(\cos at\ ,\ \sin at \right)\end{align*}}$
  を通る直線をLtとする。次の問いに答えよ。

 (1) 直線Ltの方程式を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)x+g(t)y=h(t)\end{align*}}$
    とする。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf h(t)=-\sin\left(a-1 \right)t \end{align*}}$
    のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(t)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}\end{align*}}$ は逆行列をもつことを示せ。

 (3) x(t)、y(t)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf f(t)&\sf g(t) \\ \sf f\ '(t) & \sf g\ '(t) \end{pmatrix}\binom{x(t)}{y(t)}=\binom{h(t)}{h\ '(t)}\end{align*}}$
    を満たすものとし、点R(x(t)、y(t))が描く曲線をCとする。
    このとき、点Rは直線Lt上にあり、曲線Cの点Rにおける接線は
    Ltと一致することを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/11(木) 01:02:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2010
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2010旭川医科大 数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\sin x\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  の逆関数を$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\ \left(-1\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$ とおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf -1
 (2) 曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sin^2x\ \left(0\leqq x\leqq \pi\right)\end{align*}}$ と直線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=t\ \left(0    $\small\sf{\begin{align*} \sf x\end{align*}}$ 座標を,それぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf a\ , b\ \left(a    $\small\sf{\begin{align*} \sf g\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{2}{\pi}\int_a^b\sin^2x\ dx-\sqrt{1-t^2}\ \left(0\lt t\lt 1\right)\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf h(t)\lt 0\ \left(0\lt t<\lt \right)\end{align*}}$
    を示し $\small\sf{\begin{align*} \sf h(t)\end{align*}}$ を最小にする $\small\sf{\begin{align*} \sf t\end{align*}}$ の値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/11(木) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2010
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2010旭川医科大 数学4



第4問

  次の問いに答えよ。

問1 関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}\end{align*}}$
    について、次の問いに答えよ。
 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f(x)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 区間0<x<$\small\sf{\pi}$ でf(x)の増加減少を調べよ。

問2 三角形ABCにおいて、∠A、∠Bの大きさをそれぞれA、Bとし、
   それらの角の対辺の長さをそれぞれa、bで表す。0<A<B<$\small\sf{\pi}$
   のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos B}{1-\cos A}<\frac{B^2}{A^2}\end{align*}}$


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/11(木) 01:04:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2010
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0