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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011旭川医科大 数学1



第1問

  △ABCはAB=ACの2等辺三角形とする。Dを辺BC上の点とし、
  ADの延長線が△ABCの外接円と交わる点をPとする。
  次の問いに答えよ。

 (1) AP=BP+CPであるとき、△ABCは正三角形であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{BP}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{DP}\end{align*}}$ であるとき、△ABCは正三角形であることを示せ。
        



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  1. 2018/10/10(水) 01:27:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2011
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2011旭川医科大 数学2



第2問

  平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BC、
  CA、ABの長さをそれぞれa、b、cとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}}$ とおく。さらに、
  辺BC、CA、ABをそれぞれs-c:s-b、s-a:s-c、s b:s-aに内分
  する点をX、Y、Zとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。

 (1) 点N を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ON}=\frac{\left(s-a \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(s-b \right)\overrightarrow{\sf OB}+\left(s-c \right)\overrightarrow{\sf OC}}{s}\end{align*}}$
    と定義するとき、3直線AX、BY、CZはNで交わることを示せ。

 (2) Pを△ABCの内部の点、△PBC、△PCA、△PABの面積をそれぞれ
    SA、SB、SCとするとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{S_A\overrightarrow{\sf OA}+S_B\overrightarrow{\sf OB}+S_C\overrightarrow{\sf OC}}{S_A+S_B+S_C}\end{align*}}$
    と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、a、b、cを用いて表せ。

 (3) △ABCの重心をGとする。点NがQとGを通る直線上にあるとき、
    △ABCは2等辺三角形であることを示せ。


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2011旭川医科大 数学3



第3問

  曲線y=eax+b (a≧1)と曲線y=e-xが一点で交わり、交点における
  それぞれの接線が垂直に交わっているとする。次の問いに答えよ。

 (1) 交点の座標を(x(a),y(a))とおくとき、b、x(a)、y(a)をそれぞれ
    aを用いて表せ。

 (2) 曲線y=eax-b(a≧1)をC(a)で表す。曲線C⁡(a)と曲線C(a+1)の
    交点のx座標をX(a)とおくとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\left(X(a)-x(a) \right)\end{align*}}$
    を求めよ。

 (3) X(a)-x(a)はa≧1のとき単調減少であることを示せ。



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2011旭川医科大 数学4



第4問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x\ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) h(x)を0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /2で連続で、0≦x<$\small\sf{\pi}$ /2ではh(x)=f(x)を
    満たす関数とする。
  (a) h($\small\sf{\pi}$ /2)を求めよ。
  (b) h(x)の増加、減少を調べよ。
  (c)  $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xh(t)dt\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) nを自然数とし、cn
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi /2-c_n}^{\pi /2}h(t)dt=\frac{1}{n}\int_0^{\pi /2}h(t)dt\end{align*}}$
    を満たす0と$\small\sf{\pi}$ /2の間の数とする。次の極限を求めよ。
  (a)$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} n\left(1-\cos c_n \right)\end{align*}}$
  (b)$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n}\ c_n\end{align*}}$

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