第１問
正の奇数pに対して、3つの自然数の組(x，y，z)で、x2+4yz=pを
満たすもの全体の集合をSとおく。すなわち、
S={(x，y，z)|x、y、zは自然数、x2+4yz=p} ．
次の問いに答えよ。
(１) Sが空集合でないための必要十分条件は、p=4k+1 （kは自然数）
と書けることであることを示せ。
(２) Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x，y，z)でy=zとなるものが
存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ある自然数の組(x，y，z)がSに属するとき、すなわち
x2+4yz=pを満たすとき、
pは奇数、4yzは偶数なので、x2は奇数である。
よって、xも奇数なので、x=2n-1（n：自然数）と表すことが
できる。このとき
p=(2n-1)2+4yz=4(n2-n+yz)+1
となるので、
k=n2-n+yz
とおくと、n、y、zは自然数なので、kも自然数となる。
よって、p=4k+1（k：自然数）と書くことができる。
逆に、p=4k+1（k：自然数）とすると、(x，y，z)=(1，1，k)は、
x2+4yz=4k+1=p
を満たすので、(1，1，k)∈Sである。
よって、Sは空集合ではない。
(２)
(１)より、x=2n-1、p=4k+1（k、n：自然数）と表すことができる。
(x，y，z)=(2n-1，Y，Z)がSに属するとすると、
(2n-1)2+4YZ=4k+1
⇔ YZ=k-n2+4n ……(#)
となるので、YとZはk-n2+4nの正の約数なので
(x，y，z)=(2n-1，Z，Y)もSに属することになる。
よって、Y=Zとなるような(x，y，z)=(2n-1，Y，Z)が存在しない
ならば、(#)を満たす(x，y，z)の組は偶数個になる。
このことは、(x，y，z)∈Sを満たす全てのxに対して言えるので、
Sの要素の中にy=zとなる物が存在しないときは、Sの要素の個数
は偶数となる。
対偶をとると、「Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x，y，z)で
y=zとなるものが存在する」が成り立つ。
(２)は対偶をとると書きやすいです。
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第２問
C21を中心(0，0)、半径1の円とし、C2を中心(0，0)、半径r＞1の
円とする。ad-bc＞0を満たす行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される1次変換に
より円C1が円C2に移るとする。次の問いに答えよ。
(１) a2+c2=b2+d2=r2、 ab+cd=0が成り立つことを示せ。
(２) a=rcos$\small\sf{\theta}$ 、 c=rsin$\small\sf{\theta}$ （$\small\sf{\theta}$ は実数）とおくとき、b、dをr、$\small\sf{\theta}$ を
用いて表せ。
(３) B=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。また、C1に外接し、C2に内接する8個の相異
なる円S1、S2、…、S8が次の3条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)を満たして
いるとする。このとき、rを求めよ。
(ⅰ) 行列Bで表される1次変換によりSi（i=1、2、…、7）はSi+1に、
S8はS1に移る。
(ⅱ) Si+1（i=1、2、…、7）はSiに外接し、S8はS1にも外接する。
(ⅲ) S1はS3、S4、…、S7と交わらない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{a}{c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{b}{d}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{a+b}{c+d}\end{align*}}$
より、C1上の3点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left( 1\ ,\ 0\right)\ ,\ P_2\left(0\ ,\ 1 \right)\ ,\ P_3\left( \frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$
は行列Aによって、それぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_1\left( a\ ,\ c\right)\ ,\ Q_2\left(b\ ,\ d \right)\ ,\ Q_3\left( \frac{a+b}{\sqrt2}\ ,\ \frac{c+d}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$
に移る。Q1、Q2はともにC2上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+c^2=b^2+d^2=r^2\end{align*}}$ ……①
また、Q3がC2上にあることと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{a+b}{\sqrt2}\right)^2+\left( \frac{c+d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{\left(a^2+c^2 \right)+\left(b^2+d^2 \right)+2\left(ab+cd \right)}{2}=r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab+cd=0\end{align*}}$ ……②
を得る。
逆に、①、②が成り立つとき、
C1上の任意の点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left( \cos t\ ,\ \sin t\right)\end{align*}}$ は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{\cos t}{\sin t}=\binom{a\cos t+b\sin t}{c\cos t+d\sin t}\end{align*}}$
より、点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(a\cos t+b\sin t\ ,\ c\cos t+d\sin t\right)\end{align*}}$ に移り、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a\cos t+b\sin t\right)^2+\left( c\cos t+d\sin t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( a^2+c^2\right)\cos^2t+\left(b^2+d^2 \right)\sin^2t+2\left(ab+cd \right)\sin t\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^2\cos^2t+r^2\sin^2t+0\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^2\end{align*}}$
となるので、QはC2上の点である。
以上より、C1がAによってC2に移るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+c^2=b^2+d^2=r^2\ \ ,\ \ ab+cd=0\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
b2+d2=r2より、b、dは実数φを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=r\cos\phi\ \ ,\ \ d=r\sin\phi\end{align*}}$
と表すことができる。このとき、加法定理を用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ad-bc=r^2\cos\theta\sin\phi-r^2\sin\theta\cos\phi>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\phi -\theta \right)>0\end{align*}}$ ……③
を得る。
また、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab+cd=r^2\cos\theta\cos\phi+r^2\sin\theta\sin\phi=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\phi-\theta \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \phi-\theta =\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi\end{align*}}$ （n：整数）
となり、これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \phi =\theta +\frac{\pi}{2}+2n\pi\end{align*}}$
を得る。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=r\cos\phi=r\cos\left(\theta +\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\underline{\ -r\sin\theta\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=r\sin\phi=r\sin\left(\theta +\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\underline{\ r\cos\theta\ }\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\frac{1}{r}\begin{pmatrix} \sf r\cos\theta&\sf -r\sin\theta \\ \sf r\sin\theta & \sf r\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、Bは原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる移動を表す。
よって、S1～S8はすべて合同な円であり、その位置関係は
下左図のようになる。（青がC1、緑がC2、赤がS1～S8）
原点をO、S1の中心をA、S1とS2の接点をBとおくと（上右図）、
図形の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle AOB=\frac{\pi}{8}\ \ ,\ \ \angle ABO=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
であり、C1の半径は1、C2の半径はrなので、S1の半径をRとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2R=r\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\frac{r-1}{2}\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}=\frac{R}{R+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\frac{\pi}{8}=\frac{\frac{r-1}{2}}{\frac{r-1}{2}+1}=\frac{r-1}{r+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( r+1\right)\sin\frac{\pi}{8}=r-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1+\sin\frac{\pi}{8}}{1-\sin\frac{\pi}{8}}\end{align*}}$
ここで、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{4}=\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1+\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}}=\underline{\ \frac{2+\sqrt{2-\sqrt2}}{2-\sqrt{2-\sqrt2}}\ }\end{align*}}$
どこかで同じ問題を見た気がするんですが・・・・
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第３問
aを正の実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n\left(x \right)=\int_0^xe^{-ax}\sin nt\ dt\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
とおく。このとき、次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) a=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)\end{align*}}$ が最大となる自然数n、および
そのときの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(e^{-ax}\sin nx \right)'=-ae^{-ax}\sin nx+ne^{-ax}\cos nx\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(e^{-ax}\cos nx \right)'=-ne^{-ax}\sin nx-ae^{-ax}\cos nx\end{align*}}$ ……②
①×a+②×nより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{e^{-ax} \left(a\sin nx+n\cos nx \right)\right\}'=-\left(n^2+a^2 \right)e^{-ax}\sin nx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-ax}\sin nx=\left\{\frac{1}{n^2+a^2}\ e^{-ax} \left(a\sin nx+n\cos nx \right)\right\}'\ \ \ \left(\because\ n^2+a^2\ne 0 \right)\end{align*}}$
両辺をxで積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int e^{-ax}\sin nx\ dx=\frac{1}{n^2+a^2}\ e^{-ax} \left(a\sin nx+n\cos nx \right)+C\end{align*}}$ (C：積分定数）
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\left( x\right)=\int_0^xe^{-ax}\sin nt\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{n^2+a^2}\ e^{-at} \left(a\sin nt+n\cos nt \right)\bigg]_0^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n^2+a^2}\left\{ e^{-ax} \left(a\sin nx+n\cos nx \right)-n\right\}\end{align*}}$ ……③
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\sin nx+n\cos nx=\sqrt{n^2+a^2}\sin\left(x+A \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos A= \frac{a}{\sqrt{n^2+a^2}}\ ,\ \sin A=\frac{n}{\sqrt{n^2+a^2}}\right)\end{align*}}$
と合成できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \left|a\sin nx+n\cos nx\right|\leqq\sqrt{n^2+a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \left|e^{-ax}\left(a\sin nx+n\cos nx\right)\right\}\leqq\sqrt{n^2+a^2}\ e^{-ax}\ \ \ \left(\because\ e^{-ax}>0 \right)\end{align*}}$ ．
0＜e-ax＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+a^2}\ e^{-ax}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}e^{-ax}\left(a\sin nx+n\cos nx\right)=0\end{align*}}$
となる。よって、これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f_n\left( x\right)=\underline{\ \frac{n}{n^2+a^2}\ }\end{align*}}$
(２)
極限Lnおよび関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n=\lim_{x\rightarrow\infty}\ f_n\left( x\right)=\frac{n}{n^2+\left( \frac{3}{2}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{x}{x^2+\left( \frac{3}{2}\right)^2}=\frac{4x}{4x^2+9}\ \ \ \left(x\geqq 1 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=4\cdot \frac{\left(4x^2+9\right)-x\cdot 8x}{\left(4x^2+9\right)^2}=\frac{4\left(9-4x^2\right)}{\left(4x^2+9\right)^2}\end{align*}}$
なので、h(x)の増減は次のようになる。
これと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(1)=\frac{4}{13}\ \ ,\ \ h(2)=\frac{8}{25}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(1)\lt h(2)\gt h(3)\gt h(4)\gt h(5)\gt \ldots\end{align*}}$
となる。
よって、Lnが最大になるのは、n=2のときであり、
その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L_2=\frac{8}{25}\ }\end{align*}}$
(１)は部分積分でもOKです。
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第４問
曲線C： y=logｘ上に異なる2点A(a，logａ)、B(b，logｂ)をとり、
CのAにおける接線とBにおける接線の交点について考える。次の
問いに答えよ。
(１) 任意に与えられたa＞1に対して、2本の接線の交点がちょうど
直線x=1上にくるようなbが唯一つだけ存在し、b＜1であること
を示せ。
(２) 2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\left( a\ ,\ \log a\right)\ ,\ B\left( \frac{1}{a}\ ,\ \log\frac{1}{a}\right)\ \ \ \left( a>1\right)\end{align*}}$
について、2本の接線の交点のx座標が1より大きいか小さいか
を調べよ。
(３) kを自然数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=1+\frac{1}{k}\end{align*}}$
として(２)の結果を使って，次の不等式が成りたつことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n} \right)+\log n\ \ \ \left(n\geqq 2 \right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log x \right)'=\frac{1}{x}\end{align*}}$ より、A、Bにおける接線をそれぞれLA、LBとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_A:\ y-\log a=\frac{1}{a}\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{a}\ x+\log a-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_B:\ y=\frac{1}{b}\ x+\log b-1\end{align*}}$
となり、これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\ x+\log a-1=\frac{1}{b}\ x+\log b-1\end{align*}}$ ……①
LAとLBの交点のx座標が1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}+\log a-1=\frac{1}{b}+\log b-1\end{align*}}$
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{x}+\log x-1\ \ \ \left(x>0 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、右図のように任意のa（＞1）に対して 
f(a)=f(b)となるb（＜1）がただ1つ存在するので
題意は示された。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{1}{a}\end{align*}}$ のとき、LAとLBの交点のx座標をtとおくと、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\ t+\log a-1=a\ t+\log \frac{1}{a}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-\frac{1}{a} \right)t=\log a-\log\frac{1}{a}=2\log a\end{align*}}$ ……②
ここで、aの関数h(a)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)=2\log a-\left(a-\frac{1}{a} \right)\ \ \ \ \left(a>1 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(a)=\frac{2}{a}-1-\frac{1}{a^2}=-\frac{a^2-2a+1}{a^2}=-\left( \frac{a-1}{a}\right)^1<0\end{align*}}$
より、h(a)は単調に減少する。このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 1}\ h(a)=0\end{align*}}$
より、a＞1で常にh(a)＜0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)=2\log a-\left(a-\frac{1}{a} \right)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\log a\lt a-\frac{1}{a}\end{align*}}$ ……③
これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-\frac{1}{a} \right)t=2\log a\lt a-\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ t\lt 1\ \ \ \ \left(\because\ a\gt 1\gt \frac{1}{a} \right)\end{align*}}$
なので、LAとLBの交点のx座標は1より小さい。
(３)
③に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=1+\frac{1}{k}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\log \left(1+\frac{1}{k} \right)<\left(1+\frac{1}{k} \right)-\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\log\frac{k+1}{k}<1+\frac{1}{k}-\frac{k}{k+1}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\end{align*}}$ ．
この不等式は、k=1，2，…，n-1に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sum_{k=1}^{n-1}\log\frac{k+1}{k}<\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)\end{align*}}$ ……④
④の左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sum_{k=1}^{n-1}\log\frac{k+1}{k}=2\left(\log\frac{2}{1}+\log\frac{3}{2}+\log\frac{4}{3}+\ldots +\log\frac{n}{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\log\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots \cdot\frac{n}{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\log n\end{align*}}$
④の右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left( \frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}\right)+\left( \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{n-1}\right)+\frac{1}{n}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\log n<1+2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{n-1}\right)+\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\frac{1}{n}+2\log n<2\left(1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)=2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n} \right)+\log n\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(１)の $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow +0}\ f(x)=+\infty}\end{align*}}$ は、きちんと議論しようとすると大変なことになるので、
さりげなく誤魔化してますｗｗ
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