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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012旭川医科大 数学1



第1問

  正の奇数pに対して、3つの自然数の組(x,y,z)で、x2+4yz=pを
  満たすもの全体の集合をSとおく。すなわち、
      S={(x,y,z)|x、y、zは自然数、x2+4yz=p} .
  次の問いに答えよ。

 (1) Sが空集合でないための必要十分条件は、p=4k+1 (kは自然数)
    と書けることであることを示せ。

 (2) Sの要素の個数が奇数ならばSの要素(x,y,z)でy=zとなるものが
    存在することを示せ。


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  1. 2018/10/10(水) 01:23:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2012
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2012旭川医科大 数学2



第2問

  C21を中心(0,0)、半径1の円とし、C2を中心(0,0)、半径r>1の
  円とする。ad-bc>0を満たす行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される1次変換に
  より円C1が円C2に移るとする。次の問いに答えよ。

 (1) a2+c2=b2+d2=r2、 ab+cd=0が成り立つことを示せ。

 (2) a=r⁢cos$\small\sf{\theta}$ 、 c=rsin$\small\sf{\theta}$ ($\small\sf{\theta}$ は実数)とおくとき、b、dをr、$\small\sf{\theta}$ を
    用いて表せ。

 (3) B=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。また、C1に外接し、C2に内接する8個の相異
    なる円S1、S2、…、S8が次の3条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)を満たして
    いるとする。このとき、rを求めよ。
  (ⅰ) 行列Bで表される1次変換によりSi(i=1、2、…、7)はSi+1に、
     S8はS1に移る。
  (ⅱ) Si+1(i=1、2、…、7)はSiに外接し、S8はS1にも外接する。
  (ⅲ) S1はS3、S4、…、S7と交わらない。



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  1. 2018/10/10(水) 01:24:00|
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2012旭川医科大 数学3



第3問

  aを正の実数とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f_n\left(x \right)=\int_0^xe^{-ax}\sin nt\ dt\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
  とおく。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) a=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)\end{align*}}$ が最大となる自然数n、および
    そのときの最大値を求めよ。


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  1. 2018/10/10(水) 01:25:00|
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2012旭川医科大 数学4



第4問

  曲線C: y=logx上に異なる2点A(a,loga)、B(b,logb)をとり、
  CのAにおける接線とBにおける接線の交点について考える。次の
  問いに答えよ。

 (1) 任意に与えられたa>1に対して、2本の接線の交点がちょうど
    直線x=1上にくるようなbが唯一つだけ存在し、b<1であること
    を示せ。

 (2) 2点
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left( a\ ,\ \log a\right)\ ,\ B\left( \frac{1}{a}\ ,\ \log\frac{1}{a}\right)\ \ \ \left( a>1\right)\end{align*}}$
    について、2本の接線の交点のx座標が1より大きいか小さいか
    を調べよ。

 (3) kを自然数とする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a=1+\frac{1}{k}\end{align*}}$
    として(2)の結果を使って,次の不等式が成りたつことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n} \right)+\log n\ \ \ \left(n\geqq 2 \right)\end{align*}}$




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