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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010東京大 文系数学1



第1問

  Oを原点とする座標平面上に点A(-3,0)をとり、$\small\sf{\sf 0^{\circ}\lt\theta\lt 120^{\circ}}$
  の範囲にある$\small\sf{\theta}$ に対して、次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をみたす2点B、C
  を考える。
   (ⅰ) Bはy>0の部分にあり、OB=2かつ∠AOB=180°-$\small\sf{\theta}$
      である。
   (ⅱ) Cはy<0の部分にあり、OC=1かつ∠BOC=120°である。
      ただし△ABCはOを含むものとする。
  以下の問(1)、(2)に答えよ。

 (1) △OABと△OACの面積が等しいとき、$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\lt 0^{\circ}\theta\lt 120^{\circ}}$ の範囲で動かすとき、△OABと△OACの
    面積の和の最大値と、そのときのsin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。



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  1. 2018/11/23(金) 01:01:00|
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2010東京大 文系数学2



第2問

  2次関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x^2+ax+b\end{align*}}$
  に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x+1 \right)=c\int_0^1\left(3x^2+4xt \right)f\ '(t)\ dt\end{align*}}$
  がxについての恒等式になるような定数a、b、cの組をすべて求めよ。



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2010東京大 文系数学3




第3問

  2つの箱LとR、ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出る
  コイン1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Lにx個、Rに
  30-x個のボールを入れ、次の操作(#)を繰り返す。

  (#) 箱Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、
     表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、
     k(z)個のボールを移す。ただし、0≦z≦15のときK(z)=z、
     16≦z≦30のときK(z)=30-z とする。

  m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をPm(x)とする。
  たとえば、P1(15)=P2(15)= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となる。以下の問(1)、(2)に答えよ。

 (1) m≧2のとき、xに対してうまくyを選び、Pm(x)をPm-1(y)で表せ。

 (2) nを自然数とするとき、P2n(10)を求めよ。




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2010東京大 文系数学4



第4問

  Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを
  時刻t=0に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回り
  に、Rは時計回りに、時刻t=2$\small\sf{\pi}$ まで動く。P、Q、Rの速さは、
  それぞれm、1、2であるとする。
  (したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mは1≦m≦10
  を満たす整数である。△PQRがPQを斜辺とする直角二等辺三角形
  となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。



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