第1問
Oを原点とする座標平面上に点A(-3，0)をとり、$\small\sf{\sf 0^{\circ}\lt\theta\lt 120^{\circ}}$
の範囲にある$\small\sf{\theta}$ に対して、次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をみたす2点B、C
を考える。
(ⅰ) Bはy＞0の部分にあり、OB=2かつ∠AOB=180°-$\small\sf{\theta}$
である。
(ⅱ) Cはy＜0の部分にあり、OC=1かつ∠BOC=120°である。
ただし△ABCはOを含むものとする。
以下の問(1)、(2)に答えよ。
(1) △OABと△OACの面積が等しいとき、$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\lt 0^{\circ}\theta\lt 120^{\circ}}$ の範囲で動かすとき、△OABと△OACの
面積の和の最大値と、そのときのsin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle AOC=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\theta \right)-120^{\circ}=\theta +60^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot\sin\left(180^{\circ}-\theta \right)=3\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1\cdot\sin\left(\theta +60\right)=\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\end{align*}}$ ←加法定理より
(1)
△OAB=△OACなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sin\theta=\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3\sin\theta-\sqrt3\ \cos\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt3\sin\left(\theta-30^{\circ}\right)=0\end{align*}}$ ←合成
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=30^{\circ}\ \ \ \ \left(\because\ 0^{\circ}<\theta<120^{\circ} \right)\ }\end{align*}}$
(2)
△OABと△OACの面積の和をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=3\sin\theta+\left(\frac{3}{4}\sin\theta+\frac{3\sqrt3}{4}\cos\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\left(5\sin\theta+\sqrt3\ \cos\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt7}{2}\sin\left(\theta +t \right)\end{align*}}$ ←合成
となる。ただし、tは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos t=\frac{5\sqrt7}{14}\ \ ,\ \ \sin t=\frac{\sqrt{21}}{14}\ \ ,\ \ 0^{\circ}\lt t<90^{\circ}\end{align*}}$
を満たす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0^{\circ}\lt t<\theta +t<120^{\circ}+t<210^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta +t=90^{\circ}\end{align*}}$
のとき、Sは最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{3\sqrt7}{2}\ }\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sin\left(90^{\circ}-t \right)=\cos t=\underline{\ \frac{5\sqrt7}{14}\ }\end{align*}}$
それほど難しくないですね。
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第2問
2次関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x^2+ax+b\end{align*}}$
に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x+1 \right)=c\int_0^1\left(3x^2+4xt \right)f\ '(t)\ dt\end{align*}}$
がxについての恒等式になるような定数a、b、cの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x+1 \right)=\left(x+1 \right)^2+a\left(x+1 \right)+b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\left(a+2 \right)x+a+b+1\end{align*}}$
右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c\int_0^1\left(3x^2+4xt \right)f\ '(t)\ dt \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c\int_0^1\left(3x^2+4xt \right)\left( 2t+a\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =c\left[\frac{8}{3}xt^3+\left(3x^2+2ax \right)t^2+3ax^2t \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3c\left(a+1 \right)x^2+\frac{2c}{3}\left(3a+4 \right)x\end{align*}}$
両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3c\left(a+1 \right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2c}{3}\left(3a+4 \right)=a+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+1=0\end{align*}}$
これらの3式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( a\ ,\ b\ ,\ c\right)=\left(-\frac{2}{3}\ , -\frac{1}{3}\ ,\ 1 \right)\ ,\ \left(-\frac{5}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ , -\frac{1}{2} \right)\ }\end{align*}}$
最後の計算を省略していますが、さほど難しくありません。
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第3問
2つの箱LとR、ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出る
コイン1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Lにx個、Rに
30-x個のボールを入れ、次の操作(#)を繰り返す。
(#) 箱Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、
表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Ｌから箱Rに、
k(z)個のボールを移す。ただし、0≦z≦15のときK(z)=z、
16≦z≦30のときK(z)=30-z とする。
m回の操作の後、箱Ｌのボールの個数が30である確率をPm(x)とする。
たとえば、P1(15)=P2(15)= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となる。以下の問(1)、(2)に答えよ。
(1) m≧2のとき、xに対してうまくyを選び、Pm(x)をPm-1(y)で表せ。
(2) nを自然数とするとき、P2n(10)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、k回の操作の後の状態を、
Bk(箱Lのボールの個数，箱Rのボールの個数)
のように表すことにすると、初期の状態は、B0(x，30－x) であり、
確率Pm(x)は、Bm(30，0)となる確率を表す。
(1)
(ⅰ) 0≦x≦15のとき
B0(x，30－x)の状態で、K(z)=x．
(ア)1回目のコインが表のときは、B1(2x，30-2x)となる。
この状態からBm(30，0)となるためには、残りのm-1回の
操作で、Bm(30，0)となればよいので、その確率は
Pm-1(2x)と表される。
(イ)1回目のコインが裏のときは、B1(0，30)となる。
この状態では、K(z)=0となるため、以降はずっと
Bk(0，30)のまま。（k=2，3，4，････）
よって、(ア)、(イ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_m(x)=\frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x)\end{align*}}$
(ⅱ) 16≦x≦30のとき
B0(x，30-x)の状態で、K(z)=30-x．
(ウ)1回目のコインが表のときは、B1(30，0)となる。
この状態では、K(z)=0となるため、以降はずっと
Bk(30，0)のまま。（k=2，3，4，････）
(イ)1回目のコインが裏のときは、B1(2x-30，60+2x)となる。
この状態からBm(30，0)となるためには、残りのm-1回の
操作で、Bm(30，0)となればよいので、その確率は
Pm-1(2x-30)と表される。
よって、(ウ)、(エ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_m(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x-30)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_m(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x) & (\sf 0\leqq x\leqq 15) \\ \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ \sf P_{m-1}(2x-30) & (\sf 16\leqq x\leqq 30) \\\end{array} \right.\ \ }\end{align*}}$
ルールが少し複雑なので、うまく整理する必要があります。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{2n}(10)=\frac{1}{2}\ P_{2n-1}(20)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{2n-2}(10)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ P_{2n}(10)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ P_{2n-2}(10)\end{align*}}$
ここで、qn=P2n(10) とおくと、
q0=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ q_{n-1}\end{align*}}$ ････①
①は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\left(q_{n-1}-\frac{1}{3}\right) \end{align*}}$ と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf q_{n}-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ の等比数列となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\ \left(\frac{1}{4}\right)^n \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_{2n}(10)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\ \ }\end{align*}}$
(1)の結果を使うと隣接二項間の漸化式ができるので、あとは解くだけです！
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第4問
Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを
時刻t=0に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回り
に、Rは時計回りに、時刻t=2$\small\sf{\pi}$ まで動く。P、Q、Rの速さは、
それぞれm、1、2であるとする。
（したがって、QはCをちょうど一周する。）ただし、mは1≦ｍ≦10
を満たす整数である。△PQRがPQを斜辺とする直角二等辺三角形
となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3点P、Q、Rが、時刻tまでに点Aから動いた角度は、
左回りを正として測ると、それぞれ
mt、t、-2t
と表せる。
△PQRがPQを斜辺とする直角二等辺三角形となるためには、
∠QOR=90°･･･(A)
かつ
∠POR=180°･･･(B)
になればよい。
まず、(A)について
∠QOR=t-(-2t)=3tなので、
nを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3t=\frac{\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{\pi}{6}+\frac{2n\pi}{3}\end{align*}}$ ･･･①
ここで、0≦t≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、この範囲で①を満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ \ ,\ \frac{5\pi}{6}\ ,\ \frac{7\pi}{6}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\ ,\ \frac{11\pi}{6}\end{align*}}$
(B)について
∠POR=mt-(-2t)=(m+2)tなので、
kを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m+2)t=\pi+2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{(2k+1)\ \pi}{t}-2\end{align*}}$ ･･･②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a)\ \ t=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より m=6(2k+1)-2=12k+4
1≦m≦10より、m=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b)\ \ t=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より m=2(2k+1)-2=4k
1≦m≦10より、m=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (c)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{5}-2\end{align*}}$
2k+1が5の倍数になることと、1≦m≦10より、m=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (d)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{7}-2\end{align*}}$
2k+1が7の倍数になることと、1≦m≦10より、m=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (e)\ \ t=\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2(2k+1)}{3}-2\end{align*}}$
2k+1が3の倍数になることと、1≦m≦10より、m=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (f)\ \ t=\frac{11\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{11}-2\end{align*}}$
2k+1が11の倍数になることと、1≦m≦10より、m=4
以上より、条件を満たすm、tの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m\ , t)=\ \left(4\ ,\frac{\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{5\pi}{6}\right)\ ,\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(4\ ,\frac{7\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{11\pi}{6}\right)\ \ }\end{align*}}$
理系との共通問題です。
考え方は難しくないでしょうが、計算が面倒ですね。
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