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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010一橋大 数学1



第1問

  実数p、q、rに対して、3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと
  定める。実数a、c、および0でない実数bに対して、a+biとcは
  いずれも方程式f(x)=0の解であるとする。ただし、iは虚数単位
  を表す。

 (1) y=f(x)のグラフにおいて、点(a,f(a))における接線の傾きを
    s(a)とし、点(c,f(c)) における接線の傾きをs(c)とする。
    a≠cのとき、s(a)とs(c)の大小を比較せよ。

 (2) さらに、a、cは整数であり、bは0でない整数であるとする。
    次を証明せよ。
  (ⅰ) p、q、rはすべて整数である。
  (ⅱ) pが2の倍数であり、qが4の倍数であるならば、a、b、cは
     すべて2の倍数である。



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  1. 2018/11/15(木) 01:01:00|
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2010一橋大 数学2



第2問

  aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線y=x3-3ax2
  それぞれ点A、点Bで接している。

 (1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線y=x3-3ax2上にあることを
    示せ。

 (2) 直線ABの方程式がy=-x-1であるとき、a、mの値を求めよ。



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2010一橋大 数学3



第3問

  原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点A、xy平面上の点B、z軸上の
  点Cを、次をみたすように定める。
      ∠OAC=∠OBC=$\small\sf{\theta}$ 、 ∠AOB=2$\small\sf{\theta}$ 、 OC=3
  ただし、Aのx座標、Bのy座標、Cのz座標はいずれも正であるとする。
  さらに、△ABC内の点のうち、O からの距離が最小の点をHとする。また、
  t=tan$\small\sf{\theta}$ とおく。

 (1) 線分OHの長さをtの式で表せ。

 (2) H のz座標をtの式で表せ。


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2010一橋大 数学4



第4問

  0以上の整数a1、a2があたえられたとき、数列{an}を
        an+2=an+1+6an
  により定める。

 (1) a1=1、 a2=2のとき、a2010を10で割った余りを求めよ。

 (2) a2=3a1のとき、an+4-anは10の倍数であることを示せ。


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2010一橋大 数学5



第5問

  nを3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数を
  それぞれ順にX1、X2、……、Xnとする。i=2,3,…,nに対し
  てXi=Xi-1となる事象をAiとする。

 (1) A2,A3,……,Anのうち少なくとも1つが起こる確率pn
    求めよ。

 (2) A2,A3,……,Anのうち少なくとも2つが起こる確率qn
    求めよ。




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