第１問
実数p、q、rに対して、3次多項式f(x)をf(x)=x3+px2+qx+rと
定める。実数a、c、および0でない実数bに対して、a+biとcは
いずれも方程式f(x)=0の解であるとする。ただし、iは虚数単位
を表す。
(１) y=f(x)のグラフにおいて、点(a，f(a))における接線の傾きを
s(a)とし、点(c，f(c)) における接線の傾きをs(c)とする。
a≠cのとき、s(a)とs(c)の大小を比較せよ。
(２) さらに、a、cは整数であり、bは0でない整数であるとする。
次を証明せよ。
(ⅰ) p、q、rはすべて整数である。
(ⅱ) pが2の倍数であり、qが4の倍数であるならば、a、b、cは
すべて2の倍数である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)=x3+px2+qx+r
f’(x)=3x2+2px+q
a、b、p、q、rは実数なので、複素数a+biが方程式f(x)=0の
解であるとき、共役複素数a-biも解となる。
よって、解と係数の関係より
p=-{(a+bi)+(a-bi)+c}=-2a-c
q=(a+bi)(a-bi)+(a+bi)c+(a-bi)c=a2+b2+2ac
r=-(a+bi)(a-bi)c=-(a2+b2)c ……(#)
(１)
s(c)-s(a)=f’(c)-f’(a)
=(3c2+2pc+q)-(3a2+2pa+q)
=3c2-3a2+2p(c-a)
=3c2-3a2+2(-2a-c)(c-a) ←(#)より
=c2-2ac+a2
=(a-c)2>0 (∵ a≠c)
よって、s(c)＞s(a)である。
(２)(ⅰ)
a、b、cが整数なので、(#)よりp、q、rはすべて整数となる。
(２)(ⅱ)
pは2の倍数、qは4の倍数なので、整数m、nを用いてそれぞれ
p=2m、 q=4nと表される。
(#)より
p=-2a-c=2m ⇔ c=-2(a+m)
となるので、cは2の倍数である。よって、c=2Cとおくと、
(#)より
q=a2+b2+2ac=4n ⇔ a2+b2=4(n-aC)
となるので、a2+b2は4の倍数である。
以下、A、Bを整数とする。
(ア) a=2A-1、 b=2B-1のとき
a2+b2=(2A-1)2+(2B-1)2
=4(A2+B2-A-B)+2
となるので、a2+b2は4の倍数とならない。
(イ) a=2A、 b=2B-1のとき
a2+b2=(2A)2+(2B-1)2
=4(A2+B2-B)+1
となるので、a2+b2は4の倍数とならない。
(ウ) a=2A-1、 b=2Bのとき
a2+b2=(2A-1)2+(2B)2
=4(A2+B2-A)+1
となるので、a2+b2は4の倍数とならない。
(エ) a=2A、 b=2Bのとき
a2+b2=(2A)2+(2B)2
=4(A2+B2)
となるので、a2+b2は4の倍数となる。
以上より、a、b、cはすべて2の倍数である。
3次方程式の解と係数の関係は知ってますか？
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第２問
aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線y=x3-3ax2と
それぞれ点A、点Bで接している。
(１) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線y=x3-3ax2上にあることを
示せ。
(２) 直線ABの方程式がy=-x-1であるとき、a、mの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^3-3ax^2\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-6ax\end{align*}}$ ．
2点A、Bの座標をA(p，f(p))、B(q，f(q)) （p＜q）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=f\ '(q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p^2-6ap=3q^2-6aq\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(p-q \right)a=p^2-q^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{p+q}{2}\ \ \ \ \left(\because\ p\ne q \right)\end{align*}}$ ……(#)
となるので、ABの中点のCの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{p+q}{2}\ ,\ \frac{f(p)+f(q)}{2} \right)=\left(a\ ,\ \frac{p^3+q^2-3a\left(p^2+q^2 \right)}{2} \right)\end{align*}}$
となる。
このとき、Cのy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^3+q^3-3a\left(p^2+q^2 \right)}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(p+q \right)^3-3pq\left(p+q \right)-3a\left\{\left(p+q \right)^2-2pq \right\}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(2a \right)^3-3pq\cdot 2a-3a\left\{\left(2a \right)^2-2pq \right\}}{2}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2a^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f(a)\end{align*}}$
となるので、Cは曲線y=f(x)上にある。
(２)
ABの中点C(a，-2a3)は直線AB：y=-x-1上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2a^3=-a-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^3-a-1=\left(a-1 \right)\left(2a^2+2a+1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=1\ }\end{align*}}$
このとき、直線ABと曲線Cの2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3-3x^2=-x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3-3x^2+x+1=\left(x-1 \right)\left(x^2-2x-1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ ,\ 1\pm\sqrt2\end{align*}}$
となるので、2点A、Bの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(1-\sqrt2\ ,\ f \left(1-\sqrt2 \right)\right)\ \ ,\ \ B\left(1+\sqrt2\ ,\ f \left(1+\sqrt2 \right)\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=f\ '\left(1\pm\sqrt2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(1\pm\sqrt2\right)^2-6\left(1\pm\sqrt2\right)\end{align*}}$ （複号同順）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\ }\end{align*}}$
難しくないですね。
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第３問
原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点A、xy平面上の点B、z軸上の
点Cを、次をみたすように定める。
∠OAC=∠OBC=$\small\sf{\theta}$ 、 ∠AOB=2$\small\sf{\theta}$ 、 OC=3
ただし、Aのx座標、Bのy座標、Cのz座標はいずれも正であるとする。
さらに、△ABC内の点のうち、O からの距離が最小の点をHとする。また、
t=tan$\small\sf{\theta}$ とおく。
(１) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(２) H のz座標をtの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\sqrt{\frac{1}{\tan^2\theta+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\ (>0)\end{align*}}$ ……(#)
∠OAC=∠OBC=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、OC=3より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=\frac{OC}{\tan\theta}=\frac{3}{t}\end{align*}}$
となり、△OABは頂角2$\scriptsize\sf{\theta}$ の二等辺三角形なので、
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=OA\cos\theta=\frac{3}{t\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$ ←(#)より
また、△OAC≡△OBCなので、四面体COABは、
平面OCMについて対称なので、Oから平面ABCに下ろした
垂線の足Hは、OからCMに下ろした垂線の足と一致する。
∠OCM=∠HOM=$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\frac{OM}{OC}=\frac{1}{t\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は鋭角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan^2\alpha}+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\tan^2\alpha}+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH=OC\sin\alpha=\underline{\ \frac{3}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\ }\end{align*}}$
(２)
Hからxy平面に下ろした垂線の足をDとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf HD=OH\sin\alpha=\frac{3}{t^4+t^2+1}\end{align*}}$ ．
よって、Hのz座標（＞0）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\underline{\ \frac{3}{t^4+t^2+1}\ }\end{align*}}$ ．
立体の対称性に気づかないと、とんでもないことになります！
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第４問
0以上の整数a1、a2があたえられたとき、数列{an}を
an+2=an+1+6an
により定める。
(１) a1=1、 a2=2のとき、a2010を10で割った余りを求めよ。
(２) a2=3a1のとき、an+4-anは10の倍数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
an+2=an+1+6an ……(#)
(１)
anの1の位の数をbnとおくと、(#)より
b1=1、 b2=2、 b3=8、 b4=0、 b5=8、 b6=8、
b7=6、 b8=4、 b9=0、 b10=4、 b11=4、 b12=8、
b13=2、 b14=0、 b15=2、 b16=2、 b17=4、 b18=6、
b19=0、 b20=6、 b21=6、 b22=2、 b23=8、……
となり、
b2=b22=2、 b3=b23=8
なので、b2～b21の20個の数が周期的に繰り返すことになる。
すなわち、k≧2のkに対して
bk+20=bk
が成り立つので、
2010=20×100+10
より、
b2010=b10=4．
よって、a2010の1の位の数は4である。
(２)
a2=3a1のとき、(#)より
a3=3a1+6a1=9a1
a4=9a1+3・6a1=27a1
となるので、一般項は
an=3n-1a1 ……(A)
であると類推できる。これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1、2のときは明らか
(ⅱ) n=kおよびn=k+1のとき(A)が成り立つと仮定すると、
(#)より
ak+2=ak+1+6ak
=3ka1+6・3k-1a1
=3k+1a1
となるので、n=k+1のときも(A)は成り立つ。
以上より、数列{an}の一般項は
an=3n-1a1
で表される。
これより、
an+4-an=3n+3a1-3n-1a1
=(34-1)・3n-1a1
=80・3n-1a1
となるので、an+4-anは10の倍数である。
(１)は、なかなか繰り返しが出てこずイライラしましたが、
まさか周期20だとは（笑）
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- 2018/11/15(木) 01:04:00|
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第５問
nを3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数を
それぞれ順にX1、X2、……、Xnとする。i=2，3，…，nに対し
てXi=Xi-1となる事象をAiとする。
(１) A2，A3，……，Anのうち少なくとも1つが起こる確率pnを
求めよ。
(２) A2，A3，……，Anのうち少なくとも2つが起こる確率qnを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
あるi （i=2，3，…，n）に対して
Xi=Xi-1となる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$
Xi≠Xi-1となる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\end{align*}}$
(１)
すべてのi （i=2，3，…，n）に対して
Xi≠Xi-1となる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$ なので、
A2，A3，……，Anのうち少なくとも1つが起こる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\ }\end{align*}}$
(２)
A2，A3，……，Anのうち1つだけが起こる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n-1 \right)\cdot\frac{1}{6}\cdot\left( \frac{5}{6}\right)^{n-2}\end{align*}}$
これと(１)より、A2，A3，……，Anのうち少なくとも2つが
起こる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(n-1 \right)\cdot\frac{1}{6}\cdot\left( \frac{5}{6}\right)^{n-2}=\underline{\ 1-\frac{5^{n-2}}{6^n}\left(n+4 \right)\ }\end{align*}}$
これは易しいですね。
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