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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009北海道大 理系数学1



第1問

  図はある三角錐Vの展開図である。ここでAB=4、AC=3、BC=5、
  ∠ACD=90°で△ABE は正三角形である。このとき、Vの体積
  を求めよ。

        図02




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  1. 2018/11/03(土) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2009
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2009北海道大 理系数学2



第2問

  直角三角形△ABCにおいて∠Bは直角であるとし、辺ACの長さをa
  とする。辺ACをn等分し、その分点をAに近い方から順にD1、D2
  D3、……、Dn-1とおく。1≦k≦n-1に対し、線分BDkの長さをLk
  する。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(L_k \right)^2\end{align*}}$ をaとnで表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{n}\end{align*}}$ をaで表せ。
        



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2009北海道大 理系数学3



第3問

  t>0とし、x=tで表される直線をL1とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$ で表される
  放物線をCとおく。CとL1の共有点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t,\frac{t^2}{4}\right)\end{align*}}$ におけるCの接線を
  L2とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) L1とL2のなす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ を求めよ。ただし、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\theta\leqq\pi\end{align*}}$ とする。

 (2) L1をL2に関して対称移動させた直線をL3とおくとき、L3
    方程式を求めよ。

 (3) L3はtによらない定点を通ることを示せ。

 (4) L3とCの2つの共有点をP、Qとする。線分PQの長さが最小に
    なるようなtの値を求めよ。
        
 


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2009北海道大 理系数学4



第4問

  0<a<1、 $\small\sf{0\lt \theta\lt \pi}$ とする。4点O(0,0)、A(a,0)、
  P$\small\sf{\sf (\cos\theta,\sin\theta)}$ 、Q(x,y)が条件
       OQ=AQ =PQ
  をみたすとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 点Qの座標をaと$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (2) aを固定する。0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ の範囲で$\small\sf{\theta}$ が動くとき、
    yの最小値を求めよ。



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2009北海道大 理系数学5



第5問

  自然数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_0^{\pi /4}\left( \tan x\right)^{2n}dx\end{align*}}$
  とおく。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) a1を求めよ。

 (2) an+1をanで表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ を求めよ.

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^{k+1}}{2k-1} \end{align*}}$ を求めよ。



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