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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009北海道大 文系数学1




第1問

  r=1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ iとする。ただし、iは虚数単位である。実数a、bに対して
  多項式P(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=x^4+ax^3+bx^2-8\left(\sqrt3+1 \right)x+16\end{align*}}$
  で定める。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) P(r)=0となるようにaとbを定めよ。

 (2) (1)で定めたaとbに対して、P(x)=0となる複素数xでr以外のもの
    をすべて求めよ。



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2009北海道大 文系数学2



第2問

  座標平面上の点(a,b)でaとbのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ。
  y=3x2-6xで表される放物線をCとする。nを自然数とし、C上の点P
  (n,3n2-6n)をとる。原点をO(0,0)とする。Cと線分OPで囲まれる図形
  をDとする。ただし、Dは境界を含むとする。0≦k≦nをみたす整数kに対し
  て、直線x=k上にありDに含まれる格子点の個数をf(k)とする。このとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) f(k)を求めよ。

 (2) Dに含まれる格子点の総数を求めよ。

 (3) f(k)が最大になるようなkを求めよ。



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2009北海道大 文系数学3



第3問

  実数t>0に対して、座標平面上に点P(t,0)、点Q(2t,1-4t2)、
  点R(-t,1-t2)をとる。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) P、Q、Rが一直線上にあるようなtの値を求めよ。

 (2) (1)で求めた値をt0とする。0<t<t0のとき、三角形△PQRの
    面積S(t)の最大値とそのときのtの値を求めよ。



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2009北海道大 文系数学4



第4問

  図はある三角錐Vの展開図である。ここでAB=4、AC=3、BC=5、
  ∠ACD=90°で△ABE は正三角形である。このとき、Vの体積
  を求めよ。

        図02




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