第１問
r=1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ iとする。ただし、iは虚数単位である。実数a、bに対して
多項式P(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=x^4+ax^3+bx^2-8\left(\sqrt3+1 \right)x+16\end{align*}}$
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) P(r)=0となるようにaとbを定めよ。
(２) (1)で定めたaとbに対して、P(x)=0となる複素数xでr以外のもの
をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
方程式f(x)=0は実数係数なので、複素数rを解にもつとき
rの共役複素数も解となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\sqrt3\ i \right)+\left(1-\sqrt3\ i \right)=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\sqrt3\ i \right)\left(1-\sqrt3\ i \right)=4\end{align*}}$
より、rとその共役複素数は、二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-2x+4=0\end{align*}}$
の2解となる。
筆算を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x^2-2x+4\right)\left\{x^2+\left(a+2\right)x+2a+b\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left(2b+8\sqrt3-16\right)x-8a-4b+16\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(r)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2b+8\sqrt3-16\right)r-8a-4b+16=0\end{align*}}$ ．
ここで、rは虚数、a、bは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2b+8\sqrt3-16=-8a-4b+16=0\end{align*}}$ ．
であり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-2-2\sqrt3\ \ ,\ \ b=8+4\sqrt3\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2-2\sqrt3\ x+4\right)\end{align*}}$
となるので、方程式f(x)=0のr以外の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1-\sqrt3\ i\ ,\ \sqrt3\pm i\ }\end{align*}}$
10分で入力完了ｗｗ！！
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第２問
座標平面上の点(a，b)でaとbのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ。
y=3x2-6xで表される放物線をCとする。nを自然数とし、C上の点P
(n，3n2-6n)をとる。原点をO(0，0)とする。Cと線分OPで囲まれる図形
をDとする。ただし、Dは境界を含むとする。0≦k≦nをみたす整数kに対し
て、直線x=k上にありDに含まれる格子点の個数をf(k)とする。このとき、
以下の問いに答えよ。
(１) f(k)を求めよ。
(２) Dに含まれる格子点の総数を求めよ。
(３) f(k)が最大になるようなkを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
nは自然数なので、直線OPの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3n^2-6n}{n}\ x=\left(3n-6 \right)x\end{align*}}$ ．
よって、直線x=k上にありDに含まれる格子点の
y座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3k^2-6k\leqq y\leqq \left(3n-6\right)k\end{align*}}$
を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(k)=\left(3n-6\right)k-\left( 3k^2-6k\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -3k^2+3nk+1\ }\end{align*}}$
(２)
kは0≦k≦nの範囲で動くので、Dに含まれる
格子点の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^n f(k)=1+\sum_{k=1}^n\left( -3k^2+3nk+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{3}{6}n\left(n+1 \right)\left( 2n+1\right)+\frac{3}{2}n^2\left(n+1 \right)+n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{2}n+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(n+1 \right)\left(n^2-n+2 \right)\ }\end{align*}}$
(３)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(k)=-3\left(k- \frac{n}{2}\right)^2+\frac{9}{4}n^2+1\end{align*}}$
と変形できるので、f(k)が最大になるときのkの値は、
・nが偶数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ k=\frac{n}{2}\ }\end{align*}}$
・nが奇数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ k=\frac{n\pm 1}{2}\ }\end{align*}}$
時間がないので図は省略ですｗ！
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第３問
実数t＞0に対して、座標平面上に点P(t，0)、点Q(2t，1-4t2)、
点R(-t，1-t2)をとる。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) P、Q、Rが一直線上にあるようなtの値を求めよ。
(２) (１)で求めた値をt0とする。0＜t＜t0のとき、三角形△PQRの
面積S(t)の最大値とそのときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(t\ ,\ 1-4t^2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PR}=\left(-2t\ ,\ 1-t^2 \right)\end{align*}}$
なので、3点P、Q、Rが一直線上にあるとき、
実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=k\overrightarrow{\sf PQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(-2t\ ,\ 1-t^2 \right)=k\left(t\ ,\ 1-4t^2 \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-2\ \ ,\ \ \underline{\ t=\frac{1}{\sqrt3}\ (>0)\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\frac{1}{2}\left| t\left( 1-t^2\right)-\left(-2t \right)\left(1-4t^2 \right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left| 3t-9t^3\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(t-3t^3 \right)\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt t< \frac{1}{\sqrt3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'(t)=\frac{3}{2}\left( 1-9t^2\right)=\frac{3}{2}\left(1-3t \right)\left(1+3t \right)\end{align*}}$
これらより、S(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S(t)_{max}=S\left( \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
面積の公式を使ってますけど大丈夫ですか？
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第４問
図はある三角錐Vの展開図である。ここでAB=4、AC=3、BC=5、
∠ACD=90°で△ABE は正三角形である。このとき、Vの体積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
△ABCにおいて
AB2+AC2=BC2
が成り立つので、∠BAC=90°である。
展開図を組み立てたとき、3点D、E、Fが重なる点をPとおく。
xyz座標空間内に、
A(0，0，0)、B(4，0，0)、C(0，3，0)
と配置すると、AC(y軸）⊥CDなので、点Pの座標は(X，3，Z)
と表すことができる。ここで、Z＞0としておく。
△ABP（ABE)は一辺4の正角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=X^2+3^2+Z^2=4^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP^2=\left( X-4\right)^2+3^2+Z^2=4^2\end{align*}}$
であり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=2\ \ ,\ \ Z=\sqrt3\ (>0)\end{align*}}$
よって、三角錐Vの体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\cdot Z\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\right)\cdot \sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt3\ }\end{align*}}$
理系との共通問題です。いろいろな解き方がありそうですが、
これが一番楽だと思います。
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