第１問
次の小問の に適する数を解答欄に記せ。
(１) 1から10までの整数をそれぞれ記した10枚のカードがある。
これらのカードのうちから、2枚を同時に無作為に抜き取り、
これら2枚のカードに記された二つの数の積を得点とする。
このとき、得点の期待値は である。
(２) 四辺形ABCDにおいて、∠A=60°、∠B=75°、DA=1、
AB=2、BC=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ であるとき、この四辺形の面積は で
ある。
(３) 座標平面藍の四点A(2，0，-1)、B(0，-1，1)、C(-2，-3，3)、
D(1，-3，-1)に対し、二直線AB、CDのなす角を$\small\sf{\theta\ \ (0^{\circ}\leqq\theta\leqq 180^{\circ})}$
とするとき、$\small\sf{\sin\theta}$ = である。
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【解答】
(１)
2枚カードの選び方の総数は、10C2通り。
1～10の中の異なる2数の積の総和をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}\bigg\{\left(1+2+\ldots +10 \right)^2-\left(1^2+2^2+\ldots +10^2 \right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg\{\left( \sum_{k=1}^{10}k\right)^2-\sum_{k=1}^{10}k^2\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\bigg\{\left( \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 11\right)^2-\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11\cdot 21\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1320\end{align*}}$ ．
よって、求める期待値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1320}{_{10}C_2}=\underline{\ \frac{88}{3}\ }\end{align*}}$
(２)
AB=1、AD=2、∠A=60°より
∠ADB=90°、∠ABD=30°
BD=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$
∠CBD=75-30=45°
よって、四辺形ABCDの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\triangle ABD+\triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\cdot \sqrt3\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot \sqrt2\cdot\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \sqrt3\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm AB}=\left(-2,-1,2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm CD}=\left(3,0,-4 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( \frac{\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}}{|\overrightarrow{\rm AB}||\overrightarrow{\rm CD}|}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( \frac{-6+0-8}{\sqrt{4+1+4}\ \sqrt{9+0+16}}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{1-\left( -\frac{14}{15}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{\sqrt{29}}{15}\ }\end{align*}}$
(１)のSの求め方
上は1～10の2数の積を表にまとめたもので、
Sは水色部分の数の総和となります。
水色部分=緑色部分 なので、
S=(全体－ピンク)÷2
として求めることができます。
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第２問
2次の正方行列（成分はすべて実数とする）の集合
$\small\sf{\begin{align*}\sf M=\bigg\{\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\bigg|\ a+3d=0\bigg\}\ \ ,\ \ N=\bigg\{\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\bigg|\ 2b-3c=0\bigg\}\end{align*}}$
について、次のことを示せ。
(１) 集合M∩Nに属する行列Aが零行列でなければ、Aは逆行列をもつ。
(２) $\small\sf{6\tan^2\theta-7\tan\theta-3=0}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sin\theta \\ \sf \cos\theta & \sf \tan\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$ ∈M∪N
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、A∈M∩Nより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+3d=2b-3c=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
Aのデターミナントを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf detA=ad-bc\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-3d\cdot d-\frac{3}{2}c\cdot c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{3}{2}\left(2d^2+c^2 \right)\leq 0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅱ)の等号が成立するのは、c=d=0のときあるが、
このとき(ⅰ)よりAは零行列となる。
よって、(ⅱ)の等号は成立しないので、Aは逆行列をもつ。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sin\theta \\ \sf \cos\theta & \sf \tan\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6\tan^2\theta-7\tan\theta-3=\left(3\tan\theta+1 \right)\left(2\tan\theta-3 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=-\frac{1}{3}\ ,\ \frac{3}{2}\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta=-\frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+3\tan\theta=0\end{align*}}$ より、B∈M
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta=\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sin\theta-3\cos\theta=\cos\theta\left(2\tan\theta-3\right)=0\end{align*}}$ より、B∈N
以上より、B∈M∪N が成り立つ。
これは難しくないです。
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第３問
数列{an}において、a1=1、a2=5であるとし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=a_{n+1}-2a_n\ \ \ \left(k=1,2,\ldots \right)\end{align*}}$
とおく。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}2^{n-1-k}b_k\ \ \ \left(k=1,2,\ldots \right)\end{align*}}$ とおくとき、Snを求めよ。
（anを含む式で表せ。）
(２) {bn}が公比rの等比数列をなしているとする。このとき、
anを求めよ。（rとnの式で表せ）。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}2^{n-1-k}b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=1}^{n-1}2^{n-1-k}\left(a_{k+1}-2a_{k} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left\{2^{n-(k+1)}a_{k+1}-2^{n-k}a_k \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(2^{n-2}a_{2}-2^{n-1}a_{1} \right)+\left(2^{n-3}a_{3}-2^{n-2}a_{2} \right)+\ldots +\left(2^{0}a_{n}-2^{1}a_{n-1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2^0a_n-2^{n-1}a_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ a_n-2^{n-1}\ }\end{align*}}$
(２)
等比数列{bn}の一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=b_1r^{n-1}=\left(a_2-2a_1 \right)r^{n-1}=3\ r^{n-1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}-2a_{n}=3r^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^n}=\frac{3}{4}\left(\frac{r}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ← 両辺÷2n+1
これは、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\frac{a_{n}}{2^n} \right\}\end{align*}}$ の階差数列を表しているので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a_{n}}{2^n}=\frac{a_{1}}{2^1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{3}{4}\left(\frac{r}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=2^n\left\{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{r}{2}\right)^{k-1} \right\}\end{align*}}$
(ⅰ) r≠2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=2^n\left\{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac{r}{2}\right)^{n-1}}{1-\frac{r}{2}} \right\}=\underline{\ \frac{2^{n-1}\left(5-r \right)-3r^{n-1}}{2-r}\ }\end{align*}}$
これはn=1のときも成り立つ。
(ⅱ) r=2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=2^n\left\{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\left( n-1\right) \right\}=\underline{\ 2^{n-2}\left(3n-1 \right)\ }\end{align*}}$
これはn=1のときも成り立つ。
(２)は、等比数列の「公比=1」と「公比≠1」の場合分けが必要です 。
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第４問
複素数平面上に三点A(a)、B(b)、C(c)があり、a=-1-2i、b=-2
、∠ABC=90°（∠ABCは半直線BAから半直線BCへ向かう角）、
BC=L＞0である。この平面上に∠BCD=120°である点D(d)をとる。
(１) CD=mとおくとき、dをL、mを用いて表せ。
(２) dが実数であるとき、CDを求めよ(Lを用いて表せ）。
(３) d=0となるためには、Lはいくらでなければならないか。
(４) dが純虚数であるための、Lのとり得る値の範囲を求めよ。
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【解答】
以下、複素数zの実部および虚部をそれぞれ Re(z)、Im(z)と
表すことにする。
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5\ \ ,\ \ BC=L\ \ ,\ \ \angle ABC=90^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{c-b}{a-b}=\frac{L}{\sqrt5}\left(\cos 90^{\circ}+i\sin 90^{\circ} \right)=\frac{L}{\sqrt5}\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c-b=\frac{L}{\sqrt5}\ i\left( a -b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=-2+\frac{L}{\sqrt5}\ i\left( 1-2i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2\left(L-\sqrt5\right)+L\ i}{\sqrt5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BC=L\ \ ,\ \ CD=m\ \ ,\ \ \angle BCD=120^{\circ}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d-c}{b-c}=\frac{m}{l}\left(\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ} \right)=\frac{m}{2L}\left(-1+\sqrt3\ i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d-c=\frac{m}{2L}\left(-1+\sqrt3\ i\right)\left( b-c\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{m}{2L}\left(-1+\sqrt3\ i\right)\cdot\frac{L}{\sqrt5}\ i\left( a -b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d=c-\frac{m}{2\sqrt5}\left(-1+\sqrt3\ i\right) i\left( 1-2i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2\left(L-\sqrt5\right)+L\ i}{\sqrt5}+\frac{m}{2\sqrt5}\left\{\left(2+\sqrt3\right)-\left( 2\sqrt3-1\right)i\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4L+\left(2+\sqrt3 \right)m-4\sqrt5}{2\sqrt5}+\frac{2L-\left(2\sqrt3-1 \right)m}{2\sqrt5}\ i\ }\end{align*}}$
(２)
dが実数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Im(d)=\frac{2L-\left(2\sqrt3-1 \right)m}{2\sqrt5}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ m=\frac{2}{2\sqrt3-1}\ L\ }\end{align*}}$
(３)
d=0のとき、Re(d)=Im(d)=0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Re(d)=\frac{4L+\left(2+\sqrt3 \right)m-4\sqrt5}{2\sqrt5}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{4\left(\sqrt5-L \right)}{2+\sqrt3}\end{align*}}$
これと(１)を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{2\sqrt3-1}\ L=\frac{4\left(\sqrt5-L \right)}{2+\sqrt3}\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ L=\frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}\ }\end{align*}}$
をえる 。
(４)
dが純虚数となるのは、Re(d)=0 かつ d≠0 のとき、
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m=\frac{4\left(\sqrt5-L \right)}{2+\sqrt3}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\ne\frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}\end{align*}}$ ．
ここで、m＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m=\frac{4\left(\sqrt5-L \right)}{2+\sqrt3}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ L\lt\sqrt5\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5-\frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}=\frac{3\sqrt5+2\sqrt{15}}{15}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}\lt\sqrt5\end{align*}}$
なので、Lの満たすべき値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ 0\lt L\lt \frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}\ ,\ \frac{2\sqrt5\left(6-\sqrt3 \right)}{15}\lt L\lt\sqrt5\ }\end{align*}}$
計算が面倒ですが、(１)さえできれば、
(２)～(４)は難しくありません。
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第５問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f (x)=\int_0^1|x-t|\ e^t\ dt\end{align*}}$
とおく（eは自然対数の底e=2.718…である）。
(１) f(x)を求めよ（積分を計算せよ）。
(２) f(x)の最小値を求めよ。
(３) 関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ⅰ) x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_0^1\left( t-x\right)e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[\left(t-x \right)e^t\bigg]_0^1-\int_0^1e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ -\left(e-1 \right)x+1\ }\end{align*}}$
(ⅱ) 0≦x≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_0^x\left( x-t\right)e^t\ dt+\int_0^x\left( t-x\right)e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[\left(x-t \right)e^t\bigg]_0^x-\int_0^x\left(-e^t\right) dt+\bigg[\left(t-x \right)e^t\bigg]_x^1-\int_x^1e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 2e^x-\left(e+1 \right)x-1\ }\end{align*}}$
(ⅲ) 1＜xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_0^1\left( x-t\right)e^t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \left(e-1 \right)x-1\ }\end{align*}}$
(２)(３)
(ⅰ) x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\left(e-1 \right)\ (<0)\end{align*}}$
(ⅱ) 0≦x≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=2e^x-\left(e+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=2e^x\ (>0)\end{align*}}$
f’(x)=0となるxの値をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(p)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^p=\frac{e+1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\log\frac{e+1}{2}\end{align*}}$
であり、e=2.718…なので、0＜p＜1である。
(ⅲ) 1＜xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=e-1 \ (>0)\end{align*}}$
これらより、f(x)の増減は次のようになる。
よって、関数y=f(x)のグラフは右図のようになり、
f(x)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{min}=f\left( p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2e^p-\left(e+1 \right)p+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ e-\left(e+1 \right)\log\frac{e+1}{2}\ }\end{align*}}$
場合分けにさえ注意すれば難しくはありません。
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