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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2002奈良県立医科大 数学1



第1問

  次の小問の    に適する数を解答欄に記せ。

 (1) 1から10までの整数をそれぞれ記した10枚のカードがある。
    これらのカードのうちから、2枚を同時に無作為に抜き取り、
    これら2枚のカードに記された二つの数の積を得点とする。
    このとき、得点の期待値は    である。

 (2) 四辺形ABCDにおいて、∠A=60°、∠B=75°、DA=1、
    AB=2、BC=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ であるとき、この四辺形の面積は   
    ある。

 (3) 座標平面藍の四点A(2,0,-1)、B(0,-1,1)、C(-2,-3,3)、
    D(1,-3,-1)に対し、二直線AB、CDのなす角を$\small\sf{\theta\ \ (0^{\circ}\leqq\theta\leqq 180^{\circ})}$
    とするとき、$\small\sf{\sin\theta}$ =    である。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2002
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2002奈良県立医科大 数学2



第2問

  2次の正方行列(成分はすべて実数とする)の集合
      $\small\sf{\begin{align*}\sf M=\bigg\{\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\bigg|\ a+3d=0\bigg\}\ \ ,\ \ N=\bigg\{\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\bigg|\ 2b-3c=0\bigg\}\end{align*}}$
  について、次のことを示せ。

 (1) 集合M∩Nに属する行列Aが零行列でなければ、Aは逆行列をもつ。

 (2) $\small\sf{6\tan^2\theta-7\tan\theta-3=0}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sin\theta \\ \sf \cos\theta & \sf \tan\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$ ∈M∪N



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2002奈良県立医科大 数学3



第3問

  数列{an}において、a1=1、a2=5であるとし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=a_{n+1}-2a_n\ \ \ \left(k=1,2,\ldots \right)\end{align*}}$
  とおく。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^{n-1}2^{n-1-k}b_k\ \ \ \left(k=1,2,\ldots \right)\end{align*}}$ とおくとき、Snを求めよ。
    (anを含む式で表せ。)

 (2) {bn}が公比rの等比数列をなしているとする。このとき、
    anを求めよ。(rとnの式で表せ)。



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2002奈良県立医科大 数学4



第4問

  複素数平面上に三点A(a)、B(b)、C(c)があり、a=-1-2i、b=-2
  、∠ABC=90°(∠ABCは半直線BAから半直線BCへ向かう角)、
  BC=L>0である。この平面上に∠BCD=120°である点D(d)をとる。

 (1) CD=mとおくとき、dをL、mを用いて表せ。

 (2) dが実数であるとき、CDを求めよ(Lを用いて表せ)。

 (3) d=0となるためには、Lはいくらでなければならないか。

 (4) dが純虚数であるための、Lのとり得る値の範囲を求めよ。



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2002奈良県立医科大 数学5



第5問

        $\small\sf{\begin{align*}\sf f (x)=\int_0^1|x-t|\ e^t\ dt\end{align*}}$
  とおく(eは自然対数の底e=2.718…である)。

 (1) f(x)を求めよ(積分を計算せよ)。

 (2) f(x)の最小値を求めよ。

 (3) 関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。



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