第1問
曲線y=xsin2xと直線y=xの共有点のうち、x座標が正のものを、
x座標が小さいものから順にA1、A2、A3、･･･とし、第n番目の点を
Anとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点 Anのx座標を求めよ。また、点Anにおいて、曲線$\small\sf{\sf y=x\sin^2 x}$ と
直線y=xは接していることを示せ。
(2) 線分AnAn+1と曲線$\small\sf{\sf y=x\sin^2 x}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
曲線$\scriptsize\sf{\sf C:\ y=f(x)=x\sin^2x}$ 、 直線L：y=x とおき、
以下はx＞0の範囲で考える。
(1)
CとLの共有点を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf x\sin^2 x=x}$
$\scriptsize\sf{\sf x\ne 0}$ より、
$\scriptsize\sf{\sf \sin x=\pm 1}$
これを満たすxは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\ ,\ \frac{5\pi}{2}\ ,\ \ldots\end{align*}}$.
よって、小さい方からn番目の共有点Anのx座標をanとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\ \left(n-\frac{1}{2}\right)\ \pi\ \ }\end{align*}}$.
また、f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=\sin^2x+x\cdot 2\sin x\cos x}$
$\scriptsize\sf{\sf =\sin^2 x+x\sin 2x}$
よって、点Anにおける接線の傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a_n)=(\pm\ 1)^2+\left(n-\frac{1}{2}\right)\ \pi\cdot\sin(2n-1)\pi=1\end{align*}}$
となるので、点AnにおいてCとLは接する．
(2)
x＞0より、
$\scriptsize\sf{\sf x-f(x)=x(1-\sin^2 x)\geqq 0}$
なので、CのグラフはLの下側にある。
よって、求める部分は右図のようになり、
その面積をSnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\ \left(x-x\sin^2x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{a_n}^{a_{n+1}}\ x\ \cos^2x\ dx\end{align*}}$
これにcosの倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)=\frac{1}{2}\ \int_{a_n}^{a_{n+1}}\ x\left(1+\cos 2x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{a_n}^{a_{n+1}}+\frac{1}{2}\ \left[\frac{1}{2}x\sin2x\right]_{a_n}^{a_{n+1}}-\frac{1}{2}\ \int_{a_n}^{a_{n+1}}\ \frac{1}{2}\sin2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\ \left(a_{n+1}^2-a_n^2\right)+\frac{1}{4}\ \left[\ x\sin2x\right]_{a_n}^{a_{n+1}}+\frac{1}{8}\ \left[\cos2x\right]_{a_n}^{a_{n+1}}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^2-a_n^2=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2\pi^2-\left(n-\frac{1}{2}\right)^2\pi^2=2n\ \pi^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf \sin 2a_n=\sin (2n-1)\pi=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \sin 2a_{n+1}=\sin (2n+1)\pi=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \cos 2a_n=\cos (2n－1)\pi =-1}$
$\scriptsize\sf{\sf \cos 2a_{n+1}=\cos (2n+1)\pi=-1}$
なので、これらを代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)=\underline{\ \frac{n}{2}\ \pi^2\ \ }\end{align*}}$
これはよくある問題ですね。阪大にしては易しいと思います。
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- 2012/01/23(月) 23:57:00|
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第2問
直線y=xをL1で、直線y=－xをL2で表す。直線L1、L2のどちらの上にも
ない点A(a，b)をとる。点Aを通る直線mが2直線L1、L2とそれぞれ点P1、
P2で交わるとする。点Qを、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1}+\overrightarrow{\sf OP_2}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OQ} \end{align*}}$
を満たすようにとる。ただし、Oはxy平面の原点である。直線mを変化さ
せるとき、点Qの軌跡はL1とL2を漸近線とする双曲線となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
直線L1、L2を原点中心に-45°回転させた直線をL1’、L2’とすると、
L1’、L2’はそれぞれx軸およびy軸と一致する。
また、点Aおよび直線mを原点中心に-45°回転させた点および直線を
それぞれA’、m’とする。
A'の座標を(a’，b’)とし、m’の傾きをt （t≠0）とおくと、
m’の方程式は
$\scriptsize\sf{\sf y-b'=t(x-a')}$ ．
m’とx軸およびy軸との交点をそれぞれP1’、P2’とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{1}\ '\left(a'-\frac{b'}{t}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ P_2\ '\left(0\ ,b'-a't\right)\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1\ '}+\overrightarrow{\sf OP_2\ '}=\overrightarrow{\sf OA\ '}+\overrightarrow{\sf OQ\ '} \end{align*}}$
を満たす点Q’(X，Y)を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ\ '}=\overrightarrow{\sf OP_1\ '}+\overrightarrow{\sf OP_2\ '}-\overrightarrow{\sf OA\ '} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \left(X\ ,\ Y\right)=\left(a'-\frac{b'}{t}\ ,\ 0\right)+\left(0\ ,\ b'-a't\right)-\left(a'\ ,\ b'\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{b'}{t}\ ,\ -a't\right)\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf XY=-\frac{b'}{t}\cdot\left(-a't\right)=a'\ b'\end{align*}}$
これは、点Q’(X，Y)が、x軸とy軸(L1’とL2’)を
漸近線とする双曲線$\scriptsize\sf{\sf xy=a'b'}$ 上にあることを表す。
原点中心に45°回転させても互いの位置関係は変化しないので、
点Qは、L1とL2を漸近線とする双曲線上を動く。
そのまま計算しようとすると、ちょっと大変なことになりそうです。
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- 2012/01/24(火) 23:57:00|
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第3問
x、yを変数とする。
(1) nを自然数とする。次の等式が成り立つように定数a、bを定めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+1}{y(y+1)\ldots(y+n)(y+n+1)}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{y(y+1)\ldots(y+n)}+\frac{b}{(y+1)(y+2)\ldots(y+n+1)}\end{align*}}$
(2) すべての自然数nについて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{x(x+1)\ldots(x+n)}=\sum_{r=0}^{n}\ (-1)^r\ \frac{_nC_r}{x+r}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
右辺を通分して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a(y+n+1)+by}{y(y+1)\ldots(y+n)(y+n+1)}=\frac{(a+b)y+a(n+1)}{y(y+1)\ldots(y+n)(y+n+1)}\end{align*}}$
左辺と係数を比較すると、
a+b=0 かつ a=1
よって、
a=1 、 b=－1
(2)
すべての自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{x(x+1)\ldots(x+n)}=\sum_{r=0}^{n}\ (-1)^r\ \frac{_nC_r}{x+r}\end{align*}}$ ･･････(※)
が成立することを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\ !}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}\end{align*}}$
右辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (-1)^0\cdot\frac{_1C_0}{x}+(-1)^1\cdot\frac{_1C_1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}\end{align*}}$
よって、左辺=右辺となりOK
(ⅱ) n=kのとき、(※)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k\ !}{x(x+1)\ldots(x+k)}=\sum_{r=0}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r}{x+r}\end{align*}}$ ･･････①
①の仮定の下に、n=k+1のときも(※)が成り立つことを示せばよい。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(k+1)\ !}{x(x+1)\ldots(x+k)(x+k+1)}=\sum_{r=0}^{k+1}\ (-1)^r\ \frac{_{k+1}C_r}{x+r}\end{align*}}$ ･･････②
が成り立つことを示せばよい。
②の左辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(k+1)\ !}{x(x+1)\ldots(x+k)(x+k+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k+1}{x(x+1)\ldots(x+k)(x+k+1)}\times n!\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{x(x+1)\ldots(x+k)}-\frac{1}{(x+1)\ldots(x+k)(x+k+1)}\right)\times n!\end{align*}}$ ← (1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n!}{x(x+1)\ldots(x+k)}-\frac{n!}{(x+1)\ldots(x+k)(x+k+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{r=0}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r}{x+r}-\sum_{r=0}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r}{x+1+r}\end{align*}}$ ← ①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{r=0}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r}{x+r}+\sum_{r=1}^{k+1}\ (-1)^r\ \frac{_kC_{r-1}}{x+r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_kC_0}{x}+\sum_{r=1}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r}{x+r}+\sum_{r=1}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_{r-1}}{x+r}+(-1)^{k+1}\ \frac{_{k}C_k}{x+k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_kC_0}{x}+\sum_{r=1}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_kC_r+_kC_{r-1}}{x+r}+(-1)^{k+1}\ \frac{_{k}C_k}{x+k+1}\end{align*}}$ ･････③
ここで、kC0=k+1C0=1 、 kCk=k+1Ck+1=1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{_kC_0}{x}=\frac{_{k+1}C_0}{x}\ \ ,\ \ \frac{_{k}C_k}{x+k+1}=\frac{_{k+1}C_{k+1}}{x+k+1}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _kC_r+_kC_{r-1}=\frac{k!}{r!\ (k-r)!}+\frac{k!}{(r-1)!\ (k-r+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k!(k-r+1)+k!\ r}{r!\ (k-r+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(k+1)!}{r!\ (k-r+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_{k+1}C_r\end{align*}}$
なので、③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{k+1}C_0}{x}+\sum_{r=1}^{k}\ (-1)^r\ \frac{_{k+1}C_r}{x+r}+(-1)^{k+1}\ \frac{_{k+1}C_{k+1}}{x+k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{r=0}^{k+1}\ (-1)^r\ \frac{_{k+1}C_r}{x+r}\end{align*}}$
と変形できるので、②の等式は成立する。
(ⅰ)、(ⅱ)より
すべての自然数nに対して(※)は成立する。
中盤に出てくるΣに関する変形がすこし難しいかもしれません。
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- 2012/01/25(水) 23:57:00|
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第4問
三角形OABの辺OA、OB上に、それぞれ点P、Qをとり
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=a\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=b\ \overrightarrow{\sf OB}\ \ \ \ (0\lt a<1\ ,\ 0\lt b<1) \end{align*}}$
とする。三角形OABの重心Gが三角形OPQの内部に含まれるための
必要十分条件をa、bを用いて表せ。また、その条件を満たす点(a，b)
はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ。
ただし、三角形OPQの辺上の点は、三角形OPQの内部に含まれない
と考える。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
OMとPQの交点をRとすると、O、R、Mは一直線上に
あるので、実数kを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\ \overrightarrow{\sf OM}=\frac{k}{2}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{k}{2}\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ･･････①
と表される。
また、PR：QR=s：(1－s)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=(1-s)\ \overrightarrow{\sf OP}+s\ \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-s)a\ \overrightarrow{\sf OA}+sb\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ･･････②
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{2}=(1-s)a\ \ ,\ \ \frac{k}{2}=sb\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、a+b≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{a}{a+b}\ \ ,\ \ k=\frac{2ab}{a+b}\end{align*}}$
となるので、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{2ab}{a+b}\ \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ ･･････③
一方、△OABの重心Gは中線OMを2：1に内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ ･･････④
Gが△OPQの内部にあるためには、O、G、Rがこの順に並べば
よいので、③と④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{a+b}>\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 3ab-a-b>0\ \ }\end{align*}}$
であればよい。
次に、点(a，b)の存在範囲を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3ab-a-b>0\ \ \Leftrightarrow\ \ ab-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \left(a-\frac{1}{3}\right)\left(b-\frac{1}{3}\right)>\frac{1}{9}\end{align*}}$
これをab平面上に図示ればよい。
曲線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-\frac{1}{3}\right)\left(b-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}\end{align*}}$
は、2直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ b=\frac{1}{3}\end{align*}}$
を漸近線とする双曲線を表し、
直線a=1およびb=1とは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ \ , \ \ \left(\frac{1}{2}\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
で、それぞれ交わる。
これらを考慮に入れて、0＜a＜1、0＜b＜1の範囲で図示したものが、
右の図である（境界線上の点は含まない）。
これも阪大にしては、楽な感じですね。
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- 2012/01/26(木) 23:54:00|
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第5問
一辺の長さが1の正方形ABCDの辺BC、CD、DA、AB上に、それぞれ点
P、Q、R、Sを、
∠APB=∠QPC 、 ∠PQC=∠RQD 、 ∠QRD=∠SRA
となるようにとる。ただし、点P、Q、R、Sは、どれも正方形ABCDの頂点
とは一致しないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 線分BPの長さtのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 直線APと直線RSの交点をTとする。四角形PQRTの面積を線分BPの
長さtについての関数と考えて f(t)で表す。f(t)の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
右図において、
正方形ABCDおよび折れ線PQRSを
線分BCに関して折り返したものが、
正方形A1BCD1および折れ線PQ1R1S1
である。
次に、正方形A1BCD1および折れ線Q1R1S1
を線分CD1に関して折り返したものが、
正方形A2B2CD1および折れ線Q1R2S2
であり、これをさらに線分A2D2に関して折り
返すと、正方形A2B3C3D1と線分R2S3が
得られる。
このとき、
∠APB=∠QPC=∠Q1PC
となるので、3点A、P、Q1は一直線上
にあることになる。他についても同様に考えると、
5点A、P、Q1、R2、S3は一直線上に並ぶ。
よって、右図より、題意を満たすような4点P、Q、
R、Sが存在するためには、点S3が線分A2B3上
にくればよい（端点は除く）。
①S3がA2と一致するとき（緑色の線）
PはCと一致するので、このときのBPの長さは、
t=1
②S3がB3と一致するとき（オレンジ線）
このときのPの位置をP’とすると、
△ABP’∽△B3B2P’ （相似比1：2）
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\end{align*}}$
①、②より、求めるtの範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{2}{3}\lt t<1\ \ }\end{align*}}$
(2)
CDに関する点Pの対称点をP1とすると、
P1、Q、Rは一直線上に並び、
AP//RP1、RS//QPとなる。
よって、四角形APP1Rは平行四辺形。
また、BP=t、CP=CP1=1－tで
△ABPと△QCPは相似なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QC=\frac{1-t}{t}\end{align*}}$
よって、四角形PQRTの面積は
（平行四辺形APP1R）－(△QPP1)－(△TRA)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=(2-2t)\cdot1-\left(\frac{1}{2}(2-2t)\cdot\frac{1-t}{t}\right)\times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-4t^2+6t-2}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-2\left(2t+\frac{1}{t}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 6-2\cdot \sqrt{2t\cdot \frac{1}{t}}\end{align*}}$ ←相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\sqrt{2}\end{align*}}$
相加・相乗平均の等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2t=\frac{1}{t}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
(1)で求めたtの範囲より、f(t)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき最大値 6－4$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をとる。
阪大お得意の反射の問題です。対称点をとって考えるのが鉄則です。
これを知らないと難しいでしょうね＾＾；；
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- 2012/01/26(木) 23:57:00|
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