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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2006大阪大 理系数学1



第1問

  曲線y=xsin2xと直線y=xの共有点のうち、x座標が正のものを、
  x座標が小さいものから順にA1、A2、A3、・・・とし、第n番目の点を
  Anとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 点 Anのx座標を求めよ。また、点Anにおいて、曲線$\small\sf{\sf y=x\sin^2 x}$ と
    直線y=xは接していることを示せ。

 (2) 線分AnAn+1と曲線$\small\sf{\sf y=x\sin^2 x}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。



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  1. 2012/01/23(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2006
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2006大阪大 理系数学2




第2問

  直線y=xをL1で、直線y=-xをL2で表す。直線L1、L2のどちらの上にも
  ない点A(a,b)をとる。点Aを通る直線mが2直線L1、L2とそれぞれ点P1
  P2で交わるとする。点Qを、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1}+\overrightarrow{\sf OP_2}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OQ} \end{align*}}$
  を満たすようにとる。ただし、Oはxy平面の原点である。直線mを変化さ
  せるとき、点Qの軌跡はL1とL2を漸近線とする双曲線となることを示せ。



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  1. 2012/01/24(火) 23:57:00|
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2006大阪大 理系数学3




第3問

  x、yを変数とする。

 (1) nを自然数とする。次の等式が成り立つように定数a、bを定めよ。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+1}{y(y+1)\ldots(y+n)(y+n+1)}\end{align*}}$
              $\small\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{y(y+1)\ldots(y+n)}+\frac{b}{(y+1)(y+2)\ldots(y+n+1)}\end{align*}}$

 (2) すべての自然数nについて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{x(x+1)\ldots(x+n)}=\sum_{r=0}^{n}\ (-1)^r\ \frac{_nC_r}{x+r}\end{align*}}$




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  1. 2012/01/25(水) 23:57:00|
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2006大阪大 理系数学4



第4問

  三角形OABの辺OA、OB上に、それぞれ点P、Qをとり
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=a\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=b\ \overrightarrow{\sf OB}\ \ \ \ (0\lt a<1\ ,\ 0\lt b<1) \end{align*}}$
  とする。三角形OABの重心Gが三角形OPQの内部に含まれるための
  必要十分条件をa、bを用いて表せ。また、その条件を満たす点(a,b)
  はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ。
  ただし、三角形OPQの辺上の点は、三角形OPQの内部に含まれない
  と考える。



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  1. 2012/01/26(木) 23:54:00|
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2006大阪大 理系数学5



第5問

  一辺の長さが1の正方形ABCDの辺BC、CD、DA、AB上に、それぞれ点
  P、Q、R、Sを、
     ∠APB=∠QPC 、 ∠PQC=∠RQD 、 ∠QRD=∠SRA
  となるようにとる。ただし、点P、Q、R、Sは、どれも正方形ABCDの頂点
  とは一致しないものとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 線分BPの長さtのとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) 直線APと直線RSの交点をTとする。四角形PQRTの面積を線分BPの
    長さtについての関数と考えて f(t)で表す。f(t)の最大値を求めよ。




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  1. 2012/01/26(木) 23:57:00|
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