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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003奈良県立医科大 数学1



第1問

  次の    に適する数を解答欄に記せ。

 (1) 2個のさいころを同時に投げ、出た目の数を大きさの順にm、n
    (m≦n)とする。このとき、2次方程式x2+mx+n=0が実数解を
    もつ確率は    である。

 (2) 各辺の長さが2である正四面体ABCDにおいて、弦ABを2:1に
    内分する点Pおよび辺CDを3:2に内分する点Qに対し、二つの
    ベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の内積 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は    である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)}-\sqrt{\left(1-x \right)\left(1-2x \right)}}=\end{align*}}$    



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2003奈良県立医科大 数学2



第2問

  自然数mに対し、mの約数の全体からなる集合をD(m)とかく。
  例えば、D(6)={1,2,3,6}である。自然数m、nに関して、
  次のことを証明せよ。

 (1) D(m)∩D(n)⊂D(m+n)

 (2) D(m)∪D(n)⊂D(mn)

 (3) m∈D(n) ならば D(m)⊂D(n) であり、逆もまた成立する。



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2003奈良県立医科大 数学3



第3問

  実数aに対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf 1+a&\sf 2a \\ \sf 2a & \sf 1-a \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおくと、関係式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x^2A^2-3xA-4E=O\end{align*}}$
  を満たす実数xが存在するという。aの値およびそれに対応する
  xの値をすべて求めよ。ただし、E、Oはそれぞれ2次の単位行列、
  零行列を表す。




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2003奈良県立医科大 数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x+\frac{1}{x}\ \ \ \left(x\gt 0 \right)\end{align*}}$
  を考える。曲線y=f(x)上の点P(t,f(t))におけるこの曲線の接線と、
  x軸との交点Qが存在するようなt (t>0)について、点R(t,0)に
  対して、三角形PQRの面積をS(t)とおく。

 (1) 関数S(t)の極値を求めよ。

 (2) 関数S(t)の最小値があるかどうか調べよ。



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2003奈良県立医科大 数学5



第5問

 (1) mを自然数とするとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int\cos^{2m-1}x\ dx=\sum_{k=1}^na_k\sin^k x+C\end{align*}}$  (Cは積分定数)
    を満たす自然数nおよび実数ak (k=1,2,…,n)を求めよ。

 (2) f(t)を多項式とするとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int f\left(\cos x \right)dx-\int f\left(-\cos x \right)dx=g\left(\sin x \right)+C\end{align*}}$  (Cは積分定数)
    を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。



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