第１問
次の に適する数を解答欄に記せ。
(１) 2個のさいころを同時に投げ、出た目の数を大きさの順にm、n
（m≦n）とする。このとき、2次方程式x2+mx+n=0が実数解を
もつ確率は である。
(２) 各辺の長さが2である正四面体ABCDにおいて、弦ABを2:1に
内分する点Pおよび辺CDを3:2に内分する点Qに対し、二つの
ベクトル $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の内積 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は である。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)}-\sqrt{\left(1-x \right)\left(1-2x \right)}}=\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
目の出方の総数は62通り．
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=m^2-4n\geq 0\end{align*}}$ ．
これと m≦nを満たすようなm、nの組み合わせは
(m，n)=(4，4)、(5，5)、(5，6)、(6，6)
の4通りある。2つのさいころの順序も考慮に入れると、
(m，n)=(5，6)となる場合は2通りあるので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{6^2}=\underline{\ \frac{5}{36}\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=|\overrightarrow{\sf d}|=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf d}\cdot\overrightarrow{\sf b}=2\cdot 2\cdot \cos\frac{\pi}{3}=2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left( \overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AP}\right)\cdot\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\frac{2\overrightarrow{\sf c}+3\overrightarrow{\sf d}}{5}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b} \right)\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{5}|\overrightarrow{\sf c}|^2+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{4}{3}+\frac{8}{5}+\frac{6}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{22}{15}\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{7-x}}{\sqrt{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)}-\sqrt{\left(1-x \right)\left(1-2x \right)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left\{\left(3+x\right)-\left(7-x\right)\right\}\left\{\sqrt{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)}+\sqrt{\left(1-x \right)\left(1-2x \right)} \right\}}{\left\{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)-\left(1-x \right)\left(1-2x \right)\right\}\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left(2x-4\right)\left\{\sqrt{\left( 1+x\right)\left(3-x \right)}+\sqrt{\left(1-x \right)\left(1-2x \right)} \right\}}{\left( -3x^2+5x+2\right)\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2\left\{\sqrt{3\cdot 1}+\sqrt{\left(-1 \right)\cdot\left(-3 \right)} \right\}}{\left(3x+1\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{5} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ -\frac{2\sqrt3}{7\sqrt5}\ }\end{align*}}$
ここは落とせません。
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第２問
自然数mに対し、mの約数の全体からなる集合をD(m)とかく。
例えば、D(6)={1，2，3，6}である。自然数m、nに関して、
次のことを証明せよ。
(１) D(m)∩D(n)⊂D(m+n)
(２) D(m)∪D(n)⊂D(mn)
(３) m∈D(n) ならば D(m)⊂D(n) であり、逆もまた成立する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x∈D(m)∩D(n)であるxを考える。
xは、mの約数 かつ nの約数なので、
xM=m、 xN=n
となる自然数M、Nが存在する。
これら2式の和をとると、
x(M+N)=m+n
となり、M+Nは自然数なので、xはm+nの約数である。
すなわち、x∈D(m+n)であり、このことは、
x∈D(m)∩D(n)を満たすすべてのxに対して成り立つので、
D(m)∩D(n)⊂D(m+n)
である。
(２)
x∈D(m)∪D(n)であるxを考えると、
xは、mの約数 または nの約数である。
xがmの約数であるとき
xM=m
となる自然数Mが存在し、この式の両辺にnをかけると、
xMn=mn ．
Mnは自然数なので、xはmnの約数、
すなわち、x∈D(mn) である。
xがnの約数であるときも同様に考えると、
x∈D(mn) が成り立つ。
これらのことは、x∈D(m)∪D(n)を満たすすべてのxに対して
成り立つので、
D(m)∪D(n)⊂D(mn)
である。
(３)
【m∈D(n) ⇒ D(m)⊂D(n) の証明】
mはnの約数なので、
mk=n
となる自然数kが存在する。
ここで、x∈D(m)であるxを考えると、
xM=m
これら2式より
ｘｋM=n
となり、kMは自然数なので、xはnの約数、
すなわち、x∈D(mn) である。
このことは、x∈D(m)を満たすすべてのxに対して
成り立つので、
D(m)⊂D(n)
である。
【D(m)⊂D(n) ⇒ m∈D(n) の証明】
mはmの約数なので、
m∈D(m)⊂D(n)
が成り立つ。よって、
m∈D(n)
である。
2つの集合A、Bに対して、
A⊂B というのは、Aの全ての要素がBに属することです。
定義は大丈夫ですか？
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第３問
実数aに対し、
$\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf 1+a&\sf 2a \\ \sf 2a & \sf 1-a \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、関係式
$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2A^2-3xA-4E=O\end{align*}}$
を満たす実数xが存在するという。aの値およびそれに対応する
xの値をすべて求めよ。ただし、E、Oはそれぞれ2次の単位行列、
零行列を表す。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf 1+a&\sf 2a \\ \sf 2a & \sf 1-a \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2A^2-3xA-4E=O\end{align*}}$ ……②
ハミルトン・ケーリーの定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A^2-2A+\left(1-5a^2 \right)E=O\end{align*}}$ ……③
が成り立ち、②-③×x2を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left( 2x^2-3x\right)A=\left\{ \left(1-5a^2 \right)x^2+4\right\}E\end{align*}}$ ……④
が得られる。
(ⅰ) x=0のときは、②を満たさない。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき
④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf O=\left\{\frac{9}{4}\left(1-5a^2 \right)+4\right\}E\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{9}{4}\left(1-5a^2 \right)+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{5}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{\sqrt5}{3}\end{align*}}$
(ⅲ) 2x2-3x≠0のとき
④式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\frac{\left(1-5a^2 \right)x^2+4}{2x^2-3x}\ E\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(1-5a^2 \right)x^2+4}{2x^2-3x}=k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=kE=\begin{pmatrix} \sf k&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf k \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これと①の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf 1+a=1-a=k \\ \sf 2a=0 \\\end{array} \right.\ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \begin{array}{ll}\sf a=0 \\ \sf k=1 \\\end{array} \right.\ \ \Leftrightarrow\ \ A=E\end{align*}}$
となる。これを②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x^2-3x-4 \right)E=O\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\ ,\ -1\end{align*}}$
以上より、題意を満たすx、aの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left( x\ ,\ a\right)=\underline{\ \left(\frac{3}{2}\ ,\ \pm\frac{\sqrt5}{3} \right)\ ,\ \left(4\ ,\ 0 \right)\ ,\ \left(-1\ ,\ 0 \right)\ }\end{align*}}$
よくある問題ですが、場合分けに気をつけましょう。
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第４問
関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x+\frac{1}{x}\ \ \ \left(x\gt 0 \right)\end{align*}}$
を考える。曲線y=f(x)上の点P(t，f(t))におけるこの曲線の接線と、
x軸との交点Qが存在するようなt （t＞0）について、点R(t，0)に
対して、三角形PQRの面積をS(t)とおく。
(１) 関数S(t)の極値を求めよ。
(２) 関数S(t)の最小値があるかどうか調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\end{align*}}$
なので、点Pにおける接線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-\left(t+\frac{1}{t} \right)=\frac{t^2-1}{t^2}\left(x-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{t^2-1}{t^2}\ x+\frac{2}{t}\end{align*}}$ ．
よって、Lとx軸との交点Qのx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\frac{t^2-1}{t^2}\ x+\frac{2}{t}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{2t}{1-t^2}\ \ \left(t\ne 1 \right)\end{align*}}$
(ⅰ) 0＜t＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QR=\left|-\frac{2t}{1-t^2}-t \right|=-\frac{t^2+1}{t^2-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)=\frac{1}{2}\left(-\frac{t^2+1}{t^2-1} \right)\left( t+\frac{1}{t}\right)=-\frac{\left(t^2+1 \right)^2}{2\left(t^2-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(t)=-\frac{2\left(t^2+1 \right)\cdot 2t\left(t^2-1 \right)-\left( t^2+1\right)^2\cdot 2t}{\left(t^2-1 \right)^2}=-\frac{t\left(t^2+1 \right)\left(t^2-3 \right)}{\left(t^2-1 \right)^2}\end{align*}}$
(ⅱ) 1＜tのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QR=\frac{t^2+1}{t^2-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)=\frac{\left(t^2+1 \right)^2}{2\left(t^2-1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(t)=\frac{t\left(t^2+1 \right)\left(t^2-3 \right)}{\left(t^2-1 \right)^2}\end{align*}}$
これらより、S(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)の極小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ S\left(\sqrt3 \right)=4\ }\end{align*}}$
(２)
t→+0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ S(t)=-\frac{1}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{1}{2}lt 4\end{align*}}$
となるので、S(t)の最小値は存在しない。
tの値で場合分けが必要ですが、それほど難しくはありません。
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第５問
(１) mを自然数とするとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int\cos^{2m-1}x\ dx=\sum_{k=1}^na_k\sin^k x+C\end{align*}}$ （Cは積分定数）
を満たす自然数nおよび実数ak （k=1，2，…，n）を求めよ。
(２) f(t)を多項式とするとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int f\left(\cos x \right)dx-\int f\left(-\cos x \right)dx=g\left(\sin x \right)+C\end{align*}}$ （Cは積分定数）
を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\cos^{2m-1}x\ dx=\sum_{k=1}^na_k\sin^k x+C\end{align*}}$
両辺をxで微分
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^{2m-1}x=\sum_{k=1}^nk a_k\sin^{k-1}x\cos x\end{align*}}$
両辺÷cosx
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^{2\left(m-1 \right)}x=\sum_{k=1}^nk a_k\sin^{k-1}x\end{align*}}$ ……(#)
(#)の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^{2\left(m-1 \right)}x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(1-\sin^2x \right)^{m-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1-_{m-1}C_1\sin^2x +_{m-1}C_2\sin^4x-_{m-1}C_3\sin^6x+\ldots \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ldots+_{m-1}C_j\left(-\sin^2x\right)^j+\ldots +_{m-1}C_{m-1}\left(-\sin^2x\right)^{m-1} \end{align*}}$
(#)の右辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^nk a_k\sin^{k-1}x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a_1+2a_2\sin x+3a_3\sin^3x+\ldots +k a_k\sin^{k-1}x+\ldots +n a_n\sin^{n-1}x\end{align*}}$
と変形できるので、(#)の両辺の次数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left( m-1\right)=n-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=2m-1\ }\end{align*}}$
となり、両辺の係数を比較すると、
・k=2j （j=1，2，…，m-1）のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k}=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
・k=2j-1 （j=1，2，…，m）のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left( 2j-1\right)a_{2j-1}=_{m-1}C_{j-1}\cdot\left( -1\right)^{j-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2j-1}=\frac{1}{2j-1}\cdot\left( -1\right)^{j-1}\cdot_{m-1}C_{j-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k}=\underline{\ \frac{1}{k}\cdot\left( -1\right)^{\frac{k-1}{2}}\cdot_{m-1}C_{\frac{k-1}{2}}\ }\end{align*}}$
(２)
f(x)をN次式とすると、f(x)は実定数b0、b1、…、bN を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\sum_{i=0}^N b_i\ x^{i}\end{align*}}$
と表すことができる（ただし、bN≠0）。
自然数mに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\cos x \right)^{2m}-\left(-\cos x \right)^{2m}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\cos x \right)^{2m-1}-\left(-\cos x \right)^{2m-1}=2\cos^{2m-1} x\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{N-1}{2}\lt M\leqq\frac{N+1}{2}\end{align*}}$
を満たす自然数Mを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f\left(\cos x \right)dx-\int f\left(-\cos x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int\bigg\{f\left(\cos x \right)- f\left(-\cos x \right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int\bigg\{\sum_{i=0}^N b_i\left(\cos x \right)^i- \sum_{i=0}^N b_i\left(-\cos x \right)^i\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int\sum_{i=0}^N b_i\bigg\{\left(\cos x \right)^i- \left(-\cos x \right)^i\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\int\left(\sum_{m=1}^M b_{2m-1}\cos ^{2m-1}x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sum_{m=1}^M\left( b_{2m-1}\int \cos^{2m-1} x\ dx\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sum_{m=1}^M\bigg\{ b_{2m-1}\left(\sum_{k=1}^{2m-1}a_k\sin^k x \right)\bigg\}+C\end{align*}}$ ←(１)より。Cは定数
よって、多項式g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=2\sum_{m=1}^M\bigg\{ b_{2m-1}\left(\sum_{k=1}^{2m-1}a_k\ x^k \right)\bigg\}\end{align*}}$
と定めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f\left(\cos x \right)dx-\int f\left(-\cos x \right)dx=g\left(\sin x \right)+C\end{align*}}$
を満たすので、題意は示された。
(１) 二項定理に気づきましょう。
(２) (１)の結果をうまく使いましょう。
細かい部分に注意が必要です。
Nの偶奇での場合分けを避けるためにMを定義しました。
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