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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2002京都府立医科大 数学1



第1問

 (1) 実数を係数とする任意の4次式は実数を係数とする2つの
    2次式の積であることを示せ。ただし、n次方程式が複素数
    の範囲で解をもつことは知られているとする。

 (2) f(x)は次の実数を係数とする4次式とする。
        f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
    このとき、次を満たす実数を係数とする2次式
        g(x)=px2+qx+r
    が存在することを示せ。
     4次方程式f(x)=g(x)は4つの相異なる実数解をもつ。



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2002京都府立医科大 数学2



第2問

  1から20までの相異なる数がそれぞれに書かれた20枚のカード
  がある。このとき、下の問いに対して、考え方を述べ、求める確率
  を既約分数で表せ。

 (1) A君が2枚をでたらめに選び、その後、残りの18枚のカードから
    B君が5枚をでたらめに選ぶ。このとき、
   ①A君の2枚のカードの2つの数値がB君の5枚のどの数値よりも
    小さくなる確率を求めよ。
   ②A君の2枚のカードとB君の5枚のカードの数値の総和が30以下
    である確率を求めよ。

 (2) A君が2枚をでたらめに選び、それらをもとに戻した後、20枚の
    カードからB君が5枚をでたらめに選ぶ。このとき、
   ①A君の2枚のカードの2つの数値がB君の5枚のどの数値よりも
    小さくなる確率を求めよ。
   ②B君の5枚のカードの数値の少なくとも1つがA君の2枚のカード
    の数値に一致する確率を求めよ。



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2002京都府立医科大 数学3



第3問

  a、b、cは正の定数とする。

 (1) 四角形ABCDにおいて、AB=a、BC=b、CD=c、∠ABDは直角
    とする。∠Cの外角$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf0\lt \theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で変化するとき、
    このような四角形ABCDの面積が最大となるのは、$\small\sf{\theta}$ =∠DABが
    成り立つときである。

 (2) 四角形ABCDにおいて、AB=a、BC=b、CD=cとする。このような
    四角形ABCDの面積が最大となるとき、四角形ABCDの特徴を
    求めよ。



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2002京都府立医科大 数学4



第4問

  nは2以上の整数とする。
  xyz座標空間において、xy平面上に、次で定められたn本の直線
  g1、g2、……、gnがある。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf g_k:\ x\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)+y\sin\left(\frac{k}{n}\pi\right)=0\ \ ,\ \ z=0\ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,n \right)\end{align*}}$
  n本の直線g1、g2、……、gnを中心軸にもち、半径aのn本の円柱の
  内部の共通部分をKnとし、その体積をVnとする。このとき、

 (1) n=2のときの立体図形K2のz≧0の部分の概形を描け。

 (2) 体積Vnを求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ V_n\end{align*}}$ を求めよ。



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