第１問
(１) 実数を係数とする任意の4次式は実数を係数とする2つの
2次式の積であることを示せ。ただし、n次方程式が複素数
の範囲で解をもつことは知られているとする。
(２) f(x)は次の実数を係数とする4次式とする。
f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
このとき、次を満たす実数を係数とする2次式
g(x)=px2+qx+r
が存在することを示せ。
4次方程式f(x)=g(x)は4つの相異なる実数解をもつ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a、b、c、d、eを実数とし（a≠0）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\end{align*}}$
とおく。
4次方程式f(x)=0は解をもつので、それをz1とおくと、
f(x)は3次式P(x)を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=a\left(x-z_1 \right)\ P\left(x \right)\end{align*}}$
と因数分解できる。
3次方程式P(x)=0は解をもつので、それをz2とおくと、
f(x)は2次式Q(x)を用いてさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=a\left(x-z_1 \right)\left( x-z_2\right)\ Q\left(x \right)\end{align*}}$
と因数分解できる。
2次方程式Q(x)=0は解をもつので、それをz3とおくと、
f(x)は1次式R(x)を用いてさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=a\left(x-z_1 \right)\left( x-z_2\right)\left( x-z_3\right)\ R\left(x \right)\end{align*}}$
と因数分解できる。
1次方程式R(x)=0は解をもつので、それをz4とおくと、
f(x)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=a\left(x-z_1 \right)\left( x-z_2\right)\left( x-z_3\right)\left(x-z_4 \right)\end{align*}}$
と因数分解できるので、4次方程式f(x)=0は4つの解をもつ。
一方、方程式f(x)=0が虚数zを解にもつとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(z\right)=a\ z^4+b\ z^3+c\ z^2+d\ z+e=0\end{align*}}$
であり、両辺の共役複素数を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{ a z^4+b\ z^3+c\ z^2+d\ z+e}=\overline{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{ a}\ \overline{z^4}+\overline{b}\ \overline{z^3}+\overline{c}\ \overline{z^2}+\overline{d} \ \overline{z}+\overline{e}=\overline{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\left(\overline{z}\right)^4+\left(\overline{z}\right)^3+c\left(\overline{z}\right)^2+d\ \overline{z}+e=0\end{align*}}$ ←a、b、c、d、eは実数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\left(\overline{z} \right)=0\end{align*}}$
となるので、z も方程式f(x)=0の解となる。
(ⅰ) f(x)=0が4つの実数解s、t、u、vをもつとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=a\left(x- s\right)\left(x-t \right)\left(x-u \right)\left(x- v\right)\end{align*}}$
と因数分解でき、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left\{ax^2- a\left(s+t\right)x+ast \right\}\left\{x^2-\left(u+v \right)x+u v\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、f(x)は実数係数の2つの2次式の積である。
(ⅱ) f(x)=0が2つの実数解s、tと2つの虚数解z、zをもつとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=a\left(x- s\right)\left(x-t \right)\left(x-z \right)\left(x- \overline{z}\right)\end{align*}}$
と因数分解でき、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left\{ax^2- a\left(s+t\right)x+ast \right\}\left\{x^2-\left(z+\overline{z} \right)x+z \overline{z}\right\}\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、zの実部をRe(z)、zの絶対値を|z|で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+\overline{z}=2Re(z)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z\ \overline{z}=|z|^2\end{align*}}$
であり、これらは共に実数なので、
f(x)は実数係数の2つの2次式の積である。
(ⅲ) f(x)=0が4つの虚数解z、z、w、wをもつとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=a\left(x-z \right)\left(x- \overline{z}\right)\left(x-w \right)\left(x- \overline{w}\right)\end{align*}}$
と因数分解でき、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left\{ax^2-a\left(z+\overline{z} \right)x+az \overline{z}\right\}\left\{x^2-\left(w+\overline{w} \right)x+w \overline{w}\right\}\end{align*}}$
と変形できる。
(ⅱ)と同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+\overline{z}\ ,\ z\ \overline{z}\ ,\ w+\overline{w}\ ,\ w\ \overline{w}\end{align*}}$ はすべて実数なので、
f(x)は実数係数の2つの2次式の積である。
以上より、題意は示された。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s+t+u+v=-a\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b-st-su-sv-tu-tv-uv\ne 0\end{align*}}$
を満たすような4つの異なる実数s、t、u、vを考える。
このs、t、u、vに対して、二次式g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\left(b-st-su-sv-tu-tv-uv \right)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\left(c+stu+tuv+uvs+vst \right)x+d-stuv\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=g(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=\left(b-st-su-sv-tu-tv-uv \right)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\left(c+stu+tuv+uvs+vst \right)x+d-stuv\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-\left(s+t+u+v \right)x^3+\left(st+su+sv+tu+tv+uv \right)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\left(stu+tuv+uvs+vst \right)x+stuv=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-s \right)\left(x-t \right)\left(x-u \right)\left(x-v \right)=0\end{align*}}$
となるので、方程式f(x)=g(x)は、相異なる4つの実数解
s、t、u、vをもつ。
よって、題意は示された。
(１) 細かいところまで証明しましたが、
・4次方程式が4つの解を持つ
・実数係数の方程式が複素数解を持つとき、その共役複素数も解となる
は、既知のものとしても構わないと思います。
(２) 逆から作っていきましょう
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第２問
1から20までの相異なる数がそれぞれに書かれた20枚のカード
がある。このとき、下の問いに対して、考え方を述べ、求める確率
を既約分数で表せ。
(１) A君が2枚をでたらめに選び、その後、残りの18枚のカードから
B君が5枚をでたらめに選ぶ。このとき、
①A君の2枚のカードの2つの数値がB君の5枚のどの数値よりも
小さくなる確率を求めよ。
②A君の2枚のカードとB君の5枚のカードの数値の総和が30以下
である確率を求めよ。
(２) A君が2枚をでたらめに選び、それらをもとに戻した後、20枚の
カードからB君が5枚をでたらめに選ぶ。このとき、
①A君の2枚のカードの2つの数値がB君の5枚のどの数値よりも
小さくなる確率を求めよ。
②B君の5枚のカードの数値の少なくとも1つがA君の2枚のカード
の数値に一致する確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
A君、B君のカードのとり出し方はそれぞれ20C2通り、18C2通りある。
①取り出された計7つの数の組み合わせは、20C7通りあり、
このうちで、小さい方から2つの数をA君が選んでいればよいので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_{20}C_7}{_{20}C_2\cdot _{18}C_5}=\underline{\ \frac{1}{21}\ }\end{align*}}$
②和が30以下になるような異なる7つの数の組み合わせは
1+2+3+4+5+6+7=28
1+2+3+4+5+6+8=29
1+2+3+4+5+7+8=30
1+2+3+4+5+6+9=30
の4通りある。このうちの2つをA君が選ぶので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4\cdot _{7}C_2}{_{20}C_2\cdot _{18}C_5}=\underline{\ \frac{1}{19380}\ }\end{align*}}$
(２)
A君、B君のカードのとり出し方はそれぞれ20C2通り、20C2通りある。
①数の選び方は(１)の①と同様なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_{20}C_7}{_{20}C_2\cdot _{20}C_5}=\underline{\ \frac{1}{38}\ }\end{align*}}$
②余事象を考える。1枚も一致しないのは、A君が選んだ数以外の18個
の数の中からB君が5つ選べばよいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{ _{18}C_5}{ _{20}C_5}=\underline{\ \frac{17}{38}\ }\end{align*}}$
これはそれほど難しくありませんね。
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第３問
a、b、cは正の定数とする。
(１) 四角形ABCDにおいて、AB=a、BC=b、CD=c、∠ABDは直角
とする。∠Cの外角$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf0\lt \theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で変化するとき、
このような四角形ABCDの面積が最大となるのは、$\small\sf{\theta}$ =∠DABが
成り立つときである。
(２) 四角形ABCDにおいて、AB=a、BC=b、CD=cとする。このような
四角形ABCDの面積が最大となるとき、四角形ABCDの特徴を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
BD=Lとおくと、△BCDにおける余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\left(\pi-\theta \right)}=\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dL}{d\theta}=\frac{-bc\sin\theta}{\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos\theta}}=-\frac{bc\sin\theta}{L}\end{align*}}$
四角形ABCDの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\triangle ABC+\triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}aL+\frac{1}{2}bc\sin\left(\pi-\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}aL+\frac{1}{2}bc\sin \theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{d\theta}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{dL}{d\theta}+\frac{1}{2}bc\cos \theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{bc\left(L\cos\theta-a\sin\theta \right)}{2L}\end{align*}}$
ここで、関数f($\scriptsize\sf{\theta}$ )を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\theta)=L\cos\theta-a\sin\theta\ \ \ \left(0<\theta\leqq\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(\theta)=\frac{dL}{d\theta\ }\cos\theta-L\sin\theta-a\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{bc\sin\theta\cos\theta}{L}-L\sin\theta-a\cos\theta<0\ \ \ \left(\because\ 0<\theta\leqq\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
となり、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )は単調に減少する。
このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\ f(\theta)=\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos 0}\cdot\cos 0-a\sin 0=b+c>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left( \frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos\frac{\pi}{2}}\cdot\cos\frac{\pi}{2}-a\sin\frac{\pi}{2}=-a<0\end{align*}}$
より、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )=0となる$\scriptsize\sf{\theta}$ が0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲にただ1つ存在する。
その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{d\theta}\bigg|_{\theta=\alpha}=\frac{bc}{2L}\ f\left( \alpha\right)=0\end{align*}}$
なので、Sの増減は次のようになる。
これより、Sは$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\alpha}$ のとき最大となり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\alpha)=L\cos\alpha-a\sin\alpha=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{L}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha=\tan\angle DAB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\angle DAB\ \ \ \ \left(\because \ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ ．
よって、四角形ABCDの面積が最大となるのは、$\scriptsize\sf{\theta}$ =∠DABが
成り立つときである。
(２)
$\scriptsize\sf{\theta}$ をある値で固定すると、Lの値および△BCDの面積は
一定値となる。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABD=\frac{1}{2}aL\sin\angle ABD\end{align*}}$
なので、これが最大となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle ABD=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ……(#)
のときである。
(#)を満たすとき、(１)より、四角形ABCDの面積が最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\theta}$ =∠DAB ……(*)
が成り立つときである。
以上より、四角形ABCDの面積が最大になるのは、(#)かつ(*)が
成り立つとき、すなわち、四角形ABCDが辺ADを直径とする円に
内接するときである。
(２) 2変数が動くときは、まずは一方の値を固定して考えましょう。
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第４問
nは2以上の整数とする。
xyz座標空間において、xy平面上に、次で定められたn本の直線
g1、g2、……、gnがある。
$\small\sf{\begin{align*}\sf g_k:\ x\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)+y\sin\left(\frac{k}{n}\pi\right)=0\ \ ,\ \ z=0\ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,n \right)\end{align*}}$
n本の直線g1、g2、……、gnを中心軸にもち、半径aのn本の円柱の
内部の共通部分をKnとし、その体積をVnとする。このとき、
(１) n=2のときの立体図形K2のz≧0の部分の概形を描け。
(２) 体積Vnを求めよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ V_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(２)
直線gkを中心軸とする半径aの円柱をAk （k=1，2，…，n)
とし、円柱Akを平面z=t （-a≦t≦a）で切った断面をFk(t)
（k=1，2，…，n)とおく。
gn：x=0はy軸と一致するので、Anをzx平面で切った断面は
半径aの正円となり、2点
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\pm\sqrt{a^2-t^2}\ ,\ 0\ ,\ t \right)\end{align*}}$
を通る。よって、Fn(t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt{a^2-t^2}\leqq x\leqq\sqrt{a^2-t^2}\ \ ,\ \ z=t\end{align*}}$
で表される領域となる。
F1、F2、……は、Fnをz軸の周りに $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{n}\end{align*}}$ ずつ回転したものなので、
F1、F2、……、Fnの共通部分は、点O’(0，0，t)を中心とする
正2n角形となる。これをDn(t)とおく。
Dn(t)の隣り合う2頂点をP0、P1とし、辺P0P1の中点をMとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf MO'=\sqrt{a^2-t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_0O'M=\angle P_1O'M=\frac{2\pi}{4n}=\frac{\pi}{2n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_0P_1=2MO'\tan\angle P_0O'M=2\sqrt{a^2-t^2}\ \tan\frac{\pi}{2n}\end{align*}}$
となるので、Dn(t)の面積をSn(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n(t)=2n\triangle O'P_0P_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2n\left(\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a^2-t^2}\ \tan\frac{\pi}{2n}\cdot\sqrt{a^2-t^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2n\left( \tan\frac{\pi}{2n}\right)\left(a^2-t^2 \right)\end{align*}}$
Knを平面z=t （-a≦t≦a）で切った断面は
Fk(t)になるので、Knの体積Vnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_n=\int_{-a}^aS_n(t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2n\left(\tan\frac{\pi}{2n}\right)\int_{-a}^a\left(a^2-t^2 \right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4n\left(\tan\frac{\pi}{2n}\right)\left[a^2t-\frac{t^3}{3} \right]_0^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{8}{3}na^3\tan\frac{\pi}{2n}\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{n}=h\end{align*}}$ とおくと、n→∞のとき h→0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ V_n=\frac{8}{3}a^3\lim_{n\rightarrow\infty} n\tan\frac{\pi}{2n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{8}{3}a^3\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}\tan\frac{\pi }{2}h\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{8}{3}a^3\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin\frac{\pi }{2}h}{\frac{\pi }{2}h}\cdot\frac{\pi }{2}\cdot\frac{1}{\cos\frac{\pi }{2}h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{8}{3}a^3\cdot 1\cdot\frac{\pi }{2}\cdot\frac{1}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4}{3}\pi a^3\ }\end{align*}}$
なかなか図がイメージしにくいでしょうが、計算は難しくありません。
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