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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003京都府立医科大 数学1



第1問

  関数f(x)を次で定める。
       f(x)=x+x3
  x0は整数であり、数列{xn}を次のように定める。
       xn+1=f(xn)  (n=0,1,2,…)
  このとき、すべての正の整数nについて、xn-(-1)nx0
  3で割り切れることを証明せよ。




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2003京都府立医科大 数学2



第2問

  円Cは点 $\small\sf{\begin{align*}\sf P\left(a, \frac{1}{2}\right)\ \ (a\gt 0)\end{align*}}$ を中心とし、x軸に接しているものとする。
  円Cが曲線y=x2と1点のみを共有する(すなわち、接する)ようなaを
  求めよ。さらに、このaに対して、円Cの外側で、x軸と曲線y=x2と円
  Cの円周とで囲まれた部分の面積を求めよ。



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2003京都府立医科大 数学3



第3問

  1から7までの番号が付けられた7枚のカードがある。
  AさんとBさんは次のように3枚のカードをでたらめに選ぶ。
    まず、Aさんは7枚のカードから3枚を選び、もとに戻す。
    次に、Bさんは7枚のカードから3枚を選ぶ。
  この試行について、次の確率を既約分数で求めよ。

 (1) 2人ともに選ばれたカードがちょうど3枚ある確率を求めよ。

 (2) 2人ともに選ばれたカードがちょうど2枚ある確率を求めよ。

 (3) 2人ともに選ばれたカードがちょうど1枚ある確率を求めよ。

 (4) 2人ともに選ばれたカードがまったくない確率を求めよ。

 (5) 番号1のカードが2人ともに選ばれる確率を求めよ。

 (6) 番号1のカードがどちらか1人だけに選ばれる確率を求めよ。

 (7) 番号1のカードが誰にも選ばれない確率を求めよ。
 



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2003京都府立医科大 数学4



第4問

  aは正の定数で、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。
  xyz座標空間内において、
    点$\small\sf{ A(a\cos\theta,-a\sin\theta,,0)}$ とz軸を含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とし、
    点$\small\sf{B(a\cos\theta,a\sin\theta,0)}$ とz軸を含む平面を$\small\sf{\beta}$ とする。
    原点を中心とし、半径aの球面をSとする。
  球面Tは、その中心がxz平面内のx>0、z>0の部分にあり、
  次を満たすとする:
   球面Tは、平面$\small\sf{\alpha,\beta}$ とxy平面に接し、球面Sに内接している。
  このとき、次の問いに答えよ。
 
 (1) 曲面Tの半径rをaと$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{r}{\theta}\end{align*}}$ を求めよ。



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