第１問
関数f(x)を次で定める。
f(x)=x+x3
x0は整数であり、数列{xn}を次のように定める。
xn+1=f(xn) （n=0，1，2，…）
このとき、すべての正の整数nについて、xn-(-1)nx0は
3で割り切れることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
yn=xn-(-1)nx0 （n=1，2，3，…）
とおき、ynが3の倍数であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
y1=x1-(-1)x0
=(x0+x03)+x0
=x0(x02+2)
ここで、x0=3m （m：整数）のときは、
y1=3m(x02+2)
となるので、y1は3の倍数であり、
x0=3m±1 （m：整数）のときも、
y1=x0{(3m±1)2+2}
=3x0(3m2±2m+1) （複符同順）
となるので、y1は3の倍数である。
(ⅱ) ykが3の倍数であると仮定すると、
yk=xk-(-1)kx0=3N （N:整数）
と表すことができる。
このとき、
yk+1
=xk+1-(-1)k+1x0
=(xk+xk3)+(-1)kx0
={3N+(-1)kx0}+{3N+(-1)kx0}3+(-1)kx0
=3A+(-1)3kx03+2(-1)kx0 （A：整数）
=3A+(-1)kx0(x02+2)
=3A+(-1)ky1
となるので、yk+1も3の倍数となる。
よって、任意の自然数nに対してyk+1は3の倍数である。
それほど難しくないですね。
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第２問
円Cは点 $\small\sf{\begin{align*}\sf P\left(a, \frac{1}{2}\right)\ \ (a\gt 0)\end{align*}}$ を中心とし、x軸に接しているものとする。
円Cが曲線y=x2と1点のみを共有する（すなわち、接する）ようなaを
求めよ。さらに、このaに対して、円Cの外側で、x軸と曲線y=x2と円
Cの円周とで囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円Cはx軸に接するので、半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
Cと曲線y=x2の接点をQ(t，t2)とおくと、
(x2)’=2xより、Qにおけるy=x2の接線Lの
傾きは2tとなる。
PQ⊥Lより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p^2-\frac{1}{2}}{p-a}\cdot 2p=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2p^3\end{align*}}$ ……(ⅰ)
また、PQは半径に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\left(p-a \right)^2+\left(p^2- \frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、両辺を2乗して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^4-2ap+a^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^4-4p^4+4p^6=0\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^4\left(4p^2-3 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{\sqrt3}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
よって、接点Qの座標およびaの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{3}{2} \right)\ \ ,\ \ \underline{\ a=\frac{3\sqrt3}{4}\ }\end{align*}}$
このとき、Cとx軸の接点をTとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(-\frac{\sqrt3}{4}\ ,\ \frac{1}{4} \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PT}=\left(0\ ,\ - \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle QPT=\frac{0-\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \angle QPT=120^{\circ}\ \ \ \left(\because\ 0^{\circ}\leqq \angle QPT\leqq 180^{\circ} \right)\end{align*}}$ ．
Qからx軸に下ろした垂線の足をRとおくと、x軸と曲線y=x2と円
Cの円周とで囲まれた部分の面積Sは、
図形OQR+台形PQRT-扇形PQT
として求めることができる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^{\frac{\sqrt3}{4}}x^2dx+\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt3}{4}-\left( \frac{1}{2}\right)^2\pi\cdot\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{3}\cdot\left( \frac{\sqrt3}{4}\right)^3+\frac{5}{32}\sqrt3-\frac{\pi}{12}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{9}{32}\sqrt3-\frac{\pi}{12}\ }\end{align*}}$
これもそれほど難しくありませんね。
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第３問
1から7までの番号が付けられた7枚のカードがある。
AさんとBさんは次のように3枚のカードをでたらめに選ぶ。
まず、Aさんは7枚のカードから3枚を選び、もとに戻す。
次に、Bさんは7枚のカードから3枚を選ぶ。
この試行について、次の確率を既約分数で求めよ。
(１) 2人ともに選ばれたカードがちょうど3枚ある確率を求めよ。
(２) 2人ともに選ばれたカードがちょうど2枚ある確率を求めよ。
(３) 2人ともに選ばれたカードがちょうど1枚ある確率を求めよ。
(４) 2人ともに選ばれたカードがまったくない確率を求めよ。
(５) 番号1のカードが2人ともに選ばれる確率を求めよ。
(６) 番号1のカードがどちらか1人だけに選ばれる確率を求めよ。
(７) 番号1のカードが誰にも選ばれない確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Aが引いた3枚のカードをa、b、cとする。
(１)
Bもa、b、cの3枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_3}{_7C_3}=\underline{\ \frac{1}{35}\ }\end{align*}}$
(２)
Bが、a、b、cから2枚、それ以外の4枚から1枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_2\times _4C_1}{_7C_3}=\underline{\ \frac{12}{35}\ }\end{align*}}$
(３)
Bが、a、b、cから1枚、それ以外の4枚から2枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_1\times _4C_2}{_7C_3}=\underline{\ \frac{18}{35}\ }\end{align*}}$
(４)
Bが、a、b、c以外の4枚から3枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{ _4C_3}{_7C_3}=\underline{\ \frac{4}{35}\ }\end{align*}}$
(５)
A、Bとも、1のカードと、2～7のカードから2枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1\times _6C_2}{_7C_3}\right)^2=\underline{\ \frac{9}{49}\ }\end{align*}}$
(６)
Aだけが1のカードを引くのは、
Aが1のカードと、2～7のカードから2枚を引き、
Bが2～7のカードから3枚を引けばよい。
Bだけが1のカードを引く場合も同様なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1\times _6C_2}{_7C_3}\cdot\frac{_6C_3}{_7C_3}\times 2=\underline{\ \frac{24}{49}\ }\end{align*}}$
(７)
A、Bとも、2～7のカードから3枚を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{ _6C_3}{_7C_3}\right)^2=\underline{\ \frac{16}{49}\ }\end{align*}}$
これも簡単ですね。
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第４問
aは正の定数で、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。
xyz座標空間内において、
点$\small\sf{ A(a\cos\theta,-a\sin\theta,,0)}$ とz軸を含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とし、
点$\small\sf{B(a\cos\theta,a\sin\theta,0)}$ とz軸を含む平面を$\small\sf{\beta}$ とする。
原点を中心とし、半径aの球面をSとする。
球面Tは、その中心がxz平面内のx＞0、z＞0の部分にあり、
次を満たすとする：
球面Tは、平面$\small\sf{\alpha,\beta}$ とxy平面に接し、球面Sに内接している。
このとき、次の問いに答えよ。
(１) 曲面Tの半径rをaと$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(２) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{r}{\theta}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
球面Tの中心（Pとする）がxz平面内のx＞0、z＞0の部分に
あるので、Pのz座標は半径rに等しい。
よって、Pの座標をは正数pを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p\ ,\ 0\ ,\ r \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
Tと平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ および$\scriptsize\sf{\beta}$ との接点をそれぞれC、Dとし、
z軸上に点O’(0，0，r)をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PC=PD=r\ \ ,\ \ PO'=p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle PCO'=\angle PDO'=90^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle PO'C=\angle PO'D=\theta\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=p\sin\theta\end{align*}}$ ……(#)
一方、Tとx軸との接点をH、SとTの接点をQとすると、
Sもxz平面について対称なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP=OQ-PQ=a-r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=r\ \ \ ,\ \ OH=p\end{align*}}$
△OPHに三平方の定理を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a-r \right)^2=r^2+p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+2ar-a^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+2a\left(\sin\theta\right)p-a^2=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=-a\sin\theta+\sqrt{a^2\sin^2\theta+a^2}\ \ \ (\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\ \ \ \ (\because\ a\gt 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\underline{\ a\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\sin\theta\ }\end{align*}}$ ←(#)より
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\ \frac{r}{\theta}=a\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\sqrt{1+\sin^2\theta}-\sin\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\cdot 1\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\left( 1+\sin^2\theta\right)-\sin^2\theta}{\sqrt{1+\sin^2\theta}+\sin\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a\cdot \frac{1}{\sqrt{1+0}+0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ a\ }\end{align*}}$
これも例年の問題に比べるとずいぶん易しいです。
この年は、手が付けれないような難問が１問もないので、
ミスが命取りです。
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