第１問
すべての実数xに対して不等式
22x+2+2xa+1-a＞0
が成り立つような実数aの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2x+2}+2^xa+1-a>0\end{align*}}$ ……(*)
t=2xとおくと、任意の実数xに対してt＞0が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ 4t^2+at+1-a>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(t+ \frac{a}{8}\right)^2-\frac{a^2}{16}-a+1>0\end{align*}}$ ．
左辺をf(t)とおくと、t＞0の範囲で常にf(t)＞0が成り立てばよい。
(ⅰ) a≧0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{8}\leqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=1-a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq 1\end{align*}}$
であればよい。よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq 1\end{align*}}$
(ⅱ) a＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{8}> 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-\frac{a}{8} \right)=-\frac{a^2}{16}-a+1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+16a-16<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8-4\sqrt5 \lt a<-8+4\sqrt5\end{align*}}$
であればよい。よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8-4\sqrt5\lt a<0\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、(*)を常に満たすようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -8-4\sqrt4 \lt a\leqq 1\ }\end{align*}}$
である。
tの変域に注意です！
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第２問
辺ABの長さが1、∠Aが直角となる三角形△ABCがある。辺BC上を
点Cから点Bまで動く点Dを考え、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ をtとおく。以下の問い
に答えよ。
(１) tの動く範囲を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf CD}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$ が成り立つとき、tの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
とおくと、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|=1\end{align*}}$ ……(ア)
また、∠Aが直角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$ ……(イ)
(１)
辺BC上の点Dは実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=k\overrightarrow{\sf b}+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf c}\ \ \ \ \left(0\leqq k\leqq 1 \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{k\overrightarrow{\sf b}+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf c} \right\}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k|\overrightarrow{\sf b}|^2+\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k\end{align*}}$ ←(ア)、(イ)より
よって、tの取り得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq t\leqq 1\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf CD}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf c} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf c}-|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left\{t\overrightarrow{\sf b}+ \left(1-t \right)\overrightarrow{\sf c}\right\}\cdot\overrightarrow{\sf c}-|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$ ←(１)よりk=t
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-2t \right)|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$ ←(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{1}{2}\ }\ \ \ \ \left(\because\ |\overrightarrow{\sf c}|\ne 0 \right)\end{align*}}$
そのまま内積計算していきましょう。
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第３問
袋の中に青玉が7個、赤玉が3個入っている。袋から1回につき1個
ずつ玉を取り出す。一度取り出した玉は袋に戻さないとして、以下の
問いに答えよ。
(１) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ。
(２) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を
求めよ。
(３) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1～3回目に青玉を3個取り出し、4回目に赤玉が取り出されれば
よいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_3}{_{10}C_3}\cdot\frac{_3C_1}{_{6}C_1}=\underline{\ \frac{35}{48}\ }\end{align*}}$
(２)
1～8回目に赤玉3個と青玉5個を取り出せばよいので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_3\cdot _7C_5}{_{10}C_8}=\underline{\ \frac{7}{15}\ }\end{align*}}$
(３)
1～7回目に赤玉2個と青玉5個を取り出し、8回目に赤玉を
取り出せばよいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_2\cdot _7C_5}{_{10}C_7}\cdot\frac{_1C_1}{_3C_1}=\underline{\ \frac{7}{40}\ }\end{align*}}$
気づけば簡単です。
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第４問
不等式 2y＞x+1+3|x-1| が表す座標平面上の領域をDとする。
実数aに対して、放物線Cをy=x2-2ax+a2+a+2で定める。
このとき、C上の点がすべてDの点となるようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ) x≧1のとき
Dの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2y>x+1+3\left(x-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y>2x-1\end{align*}}$
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2-2ax+a^2+a+2-\left(2x-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2-2\left(a+1 \right)x+a^2+a+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg\{x-\left(a+1 \right)\bigg\}^2-a+2\end{align*}}$
とおく。
・ a+1≧1 すなわち a≧0 のとき
x≧1の範囲で常にf(x)＞0となるには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(a+1 \right)=-a+2>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<2\end{align*}}$
・ a+1＜1 すなわち a＜0 のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)=a^2-a+2=\left(a-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{7}{4}>0\end{align*}}$
なので、つねにf(x)＞0を満たす。
以上より、a＜2であれば、x≧1で常にCは領域Dに含まれる。
(ⅱ) x＜1のとき
Dの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2y>x+1-3\left(x-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y>-x+2\end{align*}}$
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=x^2-2ax+a^2+a+2-\left(-x+2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2-\left(2a-1 \right)x+a^2+a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x-\frac{2a-1}{2}\right)^2+2a-\frac{1}{4}\end{align*}}$
とおく。
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{2}\end{align*}}$ ≦1 すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき
x＜1の範囲で常にh(x)＞0となるには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{2a-1}{2} \right)=2a-\frac{1}{4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{8}\lt a\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{2}\end{align*}}$ ＞1 すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>\frac{3}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(1)=a^2-a+2=\left(a-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{7}{4}>0\end{align*}}$
なので、つねにh(x)＞0を満たす。
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\end{align*}}$ ＜aであれば、x＜1で常にCは領域Dに含まれる。
(ⅰ)、(ⅱ)より、C上の点がすべてDの点となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{8}\lt a<2\ }\end{align*}}$
のときである。
細かい場合分けに注意が必要です。
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