第１問
a、b、cを実数とする。以下の問いに答えよ。
(１) a+b=cであるときa3+b3+3abc=c3 が成り立つことを示せ。
(２) a+b≧cであるときa3+b3+3abc≧c3 が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a+b=cのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3-c^3+3abc\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a+b-c \right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca \right)\end{align*}}$ ･･････(*)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3+3abc=c^3\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
(*)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)=\frac{1}{2}\left(a+b-c \right)\bigg\{\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ca+a^2 \right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(a+b-c \right)\bigg\{\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a \right)^2\bigg\}\end{align*}}$
と変形できる。
a+b≧cのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\geqq \frac{1}{2}\bigg\{\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a \right)^2\bigg\}\geqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3+b^3+3abc\geqq c^3\end{align*}}$
が成り立つ。
等号成立は、
a+b=c または a=b=-c
のときである。
公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\end{align*}}$
を知らないと厳しいでしょうね。
(２)の変形までセットで使えるようにしておきましょう！
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第３問
袋の中に青玉が7個、赤玉が3個入っている。袋から1回につき1個
ずつ玉を取り出す。一度取り出した玉は袋に戻さないとして、以下の
問いに答えよ。
(１) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ。
(２) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を
求めよ。
(３) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ。
(４) 4回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数の期待値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1～3回目に青玉を3個取り出し、4回目に赤玉を取り出せば
よいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_3}{_{10}C_3}\cdot\frac{_3C_1}{_{6}C_1}=\underline{\ \frac{35}{48}\ }\end{align*}}$
(２)
1～8回目に赤玉3個と青玉5個を取り出せばよいので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_3\cdot _7C_5}{_{10}C_8}=\underline{\ \frac{7}{15}\ }\end{align*}}$
(３)
1～7回目に赤玉2個と青玉5個を取り出し、8回目に赤玉を
取り出せばよいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_2\cdot _7C_5}{_{10}C_7}\cdot\frac{_1C_1}{_3C_1}=\underline{\ \frac{7}{40}\ }\end{align*}}$
(４)
【0個】
1～4回目に青玉を4個取り出すときなので、確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_4}{_{10}C_4}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
【1個】
1～4回目に青玉3個と赤玉1個を取り出すときなので、
確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_3\cdot _3C_1}{_{10}C_4}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
【2個】
1～4回目に青玉2個と赤玉2個を取り出すときなので、
確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_2\cdot _3C_2}{_{10}C_4}=\frac{3}{10}\end{align*}}$
【3個】
1～4回目に青玉1個と赤玉3個を取り出すときなので、
確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_1\cdot _3C_3}{_{10}C_4}=\frac{1}{30}\end{align*}}$
以上より、出された赤玉の個数の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\cdot\frac{1}{6}+1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{30}=\underline{\ \frac{6}{5}\ }\end{align*}}$
である。
文系３番の類題です。それほど難しくありません。
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第４問
aを$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数とする。以下の問いに答えよ。
(１) 実数$\small\sf{\theta}$ に対して$\small\sf{\sin\theta}$ と$\small\sf{\sin(\theta-2a)}$ のうち小さくないほうを
$\small\sf{f(\theta)}$ とおく。すなわち、
$\small\sf{\sin\theta\geqq\sin(\theta-2a)}$ のとき $\small\sf{f(\theta)=\sin\theta}$
$\small\sf{\sin\theta\lt\sin(\theta-2a)}$ のとき $\small\sf{f(\theta)=\sin(\theta-2a)}$
となる関数 f($\small\sf{\theta}$ ) を考える。このとき定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\pi}\ f(\theta)\ d\theta\end{align*}}$
を求めよ。
(２) aを$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で動かすとき、(１)のIの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
曲線$\scriptsize\sf{C_1:\ y=\sin\theta}$ を$\scriptsize\sf{\theta}$ 軸方向に+2aだけ平行移動したものが、
曲線$\scriptsize\sf{C_2:\ y=\sin(\theta-2a)}$ である。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{0\lt\theta\lt\pi}$ の範囲で2曲線C1、C2
の共有点の$\scriptsize\sf{\theta}$ 座標を求めると、
$\scriptsize\sf{\sin\theta=\sin(\theta-2a)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\pi-(\theta-2a)}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=a+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
これらより、$\scriptsize\sf{y=f(\theta)}$ の概形は下図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{\pi}\ f(\theta)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{a+\pi /2}\sin\theta d\theta+\int_{a+\pi /2}^{\pi}\sin\left(\theta-2a \right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\cos\theta\bigg]_0^{a+\pi /2}+\bigg[-\cos\left(\theta-2a \right)\bigg]_{a+\pi /2}^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos\left(a+ \frac{\pi}{2}\right)+1-\cos\left(\pi -2a \right)+\cos\left(-a+ \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin a+1+\cos 2a+\sin a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin a+1+\left( 1-2\sin^2a\right)\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2\sin^2a+2\sin a+2\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =-2\left(\sin a- \frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}\end{align*}}$
と変形できる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\sin ａ\lt 1\end{align*}}$なので、
Ｉの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \rm I_{\sf max}\sf =\frac{5}{2}\ \ \ \ \left(\sin a= \frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$
これもさほど難しくないので、落とせません。
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第５問
a、b、c、d、p、qはad-bc＞0、p＞0、q＞0を満たす実数とする。
2つの行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ P=\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0& \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$
が APA=P2を満たすとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(１) P3A=AP3が成り立つことを示せ。
(２) Aをpとqで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf APA=P^2\end{align*}}$ ……(#)
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^3A=P^2\cdot PA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =APA\cdot PA\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =AP\cdot A PA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =AP\cdot P^2\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =AP^3\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^3=\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf p^3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q^3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^3A=AP^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf p^3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p^3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q^3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf ap^3&\sf bp^3 \\ \sf cq^3 & \sf dq^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ap^3&\sf bq^3 \\ \sf cp^3 & \sf dq^3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf b\left(p^3-q^3\right) \\ \sf c\left(q^3-p^3\right) & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\left(p^3-q^3 \right)=c\left(q^3-p^3 \right)=0\end{align*}}$ ……①
(ⅰ) p=qのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}=pE\end{align*}}$ (Eは単位行列)
となるので、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\cdot pEA=\left(pE \right)^2=p^2E\ \ \Leftrightarrow\ \ A^2=pE\ \ \ \left(\because\ p\ne 0 \right)\end{align*}}$ ……②
と変形できる。
一方、ハミルトン・ケーリーの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-\left(a+d \right)A+\left(ad-bc \right)E=O\end{align*}}$ ．
これと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ｐE-\left(a+d \right)A+\left(ad-bc \right)E=O\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+d \right)A=\left(ad-bc+p \right)E\end{align*}}$ ……③
ここで、題意よりad-bc＞0、p＞0なので、
a+d=0のときは③が成り立たない。
よって、a+d≠0なので、実数kを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{ad-bc+p}{a+d}\end{align*}}$
とおくと、③はA=kEとなるので、これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\left( kE\right)^2=k^2E=pE\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\pm\sqrt{p}\ \ \ \ \left(\because\ p>0 \right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\pm\begin{pmatrix} \sf \sqrt{p}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \sqrt{p} \end{pmatrix}\end{align*}}$
(ⅱ) p≠qのとき
①より、b=c=0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これを(#)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf a^2p&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf d^2q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf p^2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q^2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf p\left(a^2-p\right)&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q\left(d^2-q\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
成分比較すると、p、q≠0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left(a^2-p\right)=q\left(d^2-q\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-p=d^2-q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\sqrt{p}\ ,\ d=\pm\sqrt{q}\end{align*}}$ ．
ここで、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ad-bc=ad>0\end{align*}}$
なので、aとdは同符号である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\pm\begin{pmatrix} \sf \sqrt{p}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \sqrt{q} \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
と表すことができ、これは(ⅰ)の場合も含まれる。
計算の細かい部分に気をつけましょう。
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第６問
実数aに対して、xの方程式
|x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1=0
が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|x\left(x-2\right)\right|+2a\left|x\right|-4a\left|x-2\right|-1=0\end{align*}}$ ……(#)
この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|x\left(x-2\right)\right|-1}{2\left(2\left|x-2\right|-\left|x\right| \right)}=a\end{align*}}$
と変形でき、左辺をf(x)とおくと、(#)の実数解の個数は、
曲線y=f(x)と直線y=aの共有点の個数に等しい。
(ⅰ) x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{x\left(x-2\right)-1}{2\left\{-2\left(x-2\right)+x \right\}}=-\frac{x^2-2x-1}{2\left(x-4 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{\left(2x-2 \right)\left(x-4 \right)-\left(x^2-2x-1\right)}{2\left(x-4 \right)^2}=-\frac{x^2-8x+9}{2\left(x-4 \right)^2}\end{align*}}$
(ⅱ) 0≦x＜2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{-x\left(x-2\right)-1}{2\left\{-2\left(x-2\right)-x \right\}}=\frac{x^2-2x+1}{2\left(3x-4 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\left(2x-2 \right)\left(3x-4 \right)-3\left(x^2-2x+1\right)}{2\left(3x-4 \right)^2}=-\frac{\left(3x-5 \right)\left( x-1\right)}{2\left(3x-4 \right)^2}\end{align*}}$
(ⅲ) 2≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{x\left(x-2\right)-1}{2\left\{2\left(x-2\right)-x \right\}}=\frac{x^2-2x-1}{2\left(x-4 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{x^2-8x+9}{2\left(x-4 \right)^2}\end{align*}}$
これらよりf(x)の増減は次のようになる。
よって、曲線y=f(x)の概形は下図のようになる。
よって、(#)が相異なる4つの実数解をもつのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{8}\lt a<0\ \ ,\ \ \frac{2}{9}\lt a<\frac{1}{4}\ \ ,\ \ 3+\sqrt7\lt a\ }\end{align*}}$
のときである。
グラフは、増減が分かりやすいように、極端に歪んだ縮尺で描いています。
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