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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009東北大 理系数学1



第1問

   a、b、cを実数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) a+b=cであるときa3+b3+3abc=c3 が成り立つことを示せ。

 (2) a+b≧cであるときa3+b3+3abc≧c3 が成り立つことを示せ。



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  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2009
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2009東北大 理系数学2



第2問

  Lを2以上の自然数、aを0<a<1を満たす実数とする。縦1cm、
  横(L+1)cmの長方形の紙を用いて、次のように長方形A、Bを作る。

  長方形Aの作り方。L枚の紙を横に並べて、順に1辺1cmの正方形
  をのりしろとして(隣り合う紙が横1cm重なるように)はり合わせ、
  縦1cmの横長の長方形を作る。

      図01


  長方形Bの作り方。L枚の紙を縦に並べて、隣り合う紙が縦acm
  重なるようにはり合わせて、横(L+1)cmの長方形を作る。
  長方形A、Bの面積をそれぞれS1cm2およびS2cm2とおくとき、
  以下の問いに答えよ。

            図02

 (1) S1とS2を求めよ。

 (2) L=2のとき、S1-1<S2となるaの範囲を求めよ。

 (3) S1-1<S2となる2以上の自然数Lがあるようなaの範囲を
    求めよ。


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2009東北大 理系数学3



第3問

  袋の中に青玉が7個、赤玉が3個入っている。袋から1回につき1個
  ずつ玉を取り出す。一度取り出した玉は袋に戻さないとして、以下の
  問いに答えよ。

 (1) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ。

 (2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を
    求めよ。

 (3) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ。

 (4) 4回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数の期待値を
    求めよ。


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2009東北大 理系数学4



第4問

  aを$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 実数$\small\sf{\theta}$ に対して$\small\sf{\sin\theta}$ と$\small\sf{\sin(\theta-2a)}$ のうち小さくないほうを
    $\small\sf{f(\theta)}$ とおく。すなわち、
       $\small\sf{\sin\theta\geqq\sin(\theta-2a)}$ のとき $\small\sf{f(\theta)=\sin\theta}$
       $\small\sf{\sin\theta\lt\sin(\theta-2a)}$ のとき $\small\sf{f(\theta)=\sin(\theta-2a)}$
    となる関数 f($\small\sf{\theta}$ ) を考える。このとき定積分
              $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\pi}\ f(\theta)\ d\theta\end{align*}}$
    を求めよ。
 (2) aを$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で動かすとき、(1)のIの最大値を求めよ。




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2009東北大 理系数学5



第5問

  a、b、c、d、p、qはad-bc>0、p>0、q>0を満たす実数とする。
  2つの行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ P=\begin{pmatrix} \sf p&\sf 0 \\ \sf 0& \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$
  が APA=P2を満たすとする。このとき,以下の問いに答えよ。

 (1) P3A=AP3が成り立つことを示せ。

 (2) Aをpとqで表せ。



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2009東北大 理系数学6



第6問

  実数aに対して、xの方程式
        |x(x-2)|+2a|x|-4a|x-2|-1=0
  が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。



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