第１問
∠Aが直角の二等辺三角形ABCを考える。辺BCの中点をMとし、
線分AMを1：3に内分する点をPとする。また、点Pを通り辺BCに
平行な直線と、辺AB、ACとの交点をそれぞれQ、Rとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(１) cos∠QMRを求めよ。
(２) ∠QMRの2倍と∠QMBの大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
AB=AC=4aとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=BM=CM=2\sqrt2\ a\end{align*}}$
AP：MP=1：3、BC//QRより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=a\ ,\ BQ=3a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=PQ=PR=\frac{a}{\sqrt2}\ \ ,\ \ PM=\frac{3a}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QM=RM=\sqrt{\left( \frac{a}{\sqrt2}\right)^2+\left( \frac{3a}{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt5\ a\ (>0)\end{align*}}$
よって、△QMRで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle QMR=\frac{2\left(\sqrt5 a \right)^2-\left(\sqrt2\ a \right)^2}{2\cdot\left(\sqrt5\ a \right)^2}=\underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
(２)
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\angle QMR=2\cos^2\angle QMR-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\left(\frac{4}{5} \right)^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{25}\end{align*}}$
また、△QMBで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle QMB=\frac{-\left(3a \right)^2+\left(\sqrt5\ a \right)^2+\left(2\sqrt2\ a \right)^2}{2\cdot \sqrt5\ a\cdot 2\sqrt2\ a}=\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 2\angle QMR=\frac{7}{25}=\sqrt{\frac{49}{625}}<\sqrt{\frac{1}{10}}=\cos\angle QMB\end{align*}}$
であり、2∠QMR、∠QMBともに鋭角なので、
2∠QMR＞∠QMB
すみません。図は省略です。
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第２問
座標平面に3点O(0，0)、A(2，6)、B(3，4)をとり、点Oから直線ABに
垂線OCを下ろす。また、実数sとtに対し、点Pを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
で定める。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 点Cの座標を求め、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ をsとtを用いて表せ。
(２) s=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とし、tをt≧0の範囲で動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ の最小値を求めよ．
(３) s=1とし、tをt≧0の範囲で動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ の最小値を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線ABの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-6=\frac{4-6}{3-2}\left(x-2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-2x+10\end{align*}}$
なので、Oを通りABに垂直な直線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x\end{align*}}$
である。これら2直線の交点がCなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x+10=\frac{1}{2}x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\ ,\ y=2\end{align*}}$
より、Cの座標は、(4，2)である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\left(2\ ,\ 6 \right)+t\left(3\ ,\ 4 \right)=\left(2s+3t\ ,\ 6s+4t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}=\left(2s+3t-4\ ,\ 6s+4t-2 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=\left(2s+3t-4\right)^2+\left( 6s+4t-2 \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20\ }\end{align*}}$
(２)
s=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=25t^2-10t+10=25\left(t- \frac{1}{5}\right)^2+9\end{align*}}$
t≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf CP}|^2_{min}=9\ \ \ \ \ \ \ \left(t= \frac{1}{5}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
s=1 のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=25t^2+20t+20=25\left(t+\frac{2}{5}\right)^2+16\end{align*}}$
t≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf CP}|^2_{min}=20\ \ \ \ \ \ \ \left(t=0\right)\ }\end{align*}}$
これも図は省略で。
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第３問
1から6までの数字が1つずつ書かれている6枚のカードがある。
これらをよくきった上で、左から右に一列に並べる。カードに書か
れた数字を左から順にa、b、c、d、e、fとする。このとき、次の
問いに答えよ。
(１) a+b=cとなる確率を求めよ。
(２) a+b=c+dとなる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
a、b、c 3数の順列の総数は、6P3通り。
a+b=cとなる3数の組み合わせは、
1+2=3
1+3=4
1+4=5、 2+3=5
1+5=6、 2+4=6
の6通りあり、順序も考慮に入れると、それぞれ2通りずつある。
（1+2=3 と 2+1=3 など）
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot 2}{_6P_3}=\underline{\ \frac{1}{10}\ }\end{align*}}$
(２)
a、b、c、d 4数の順列の総数は、6P4通り。
a+b=c+dとなる4数の組み合わせは、
1+4=2+3
1+5=2+4
1+6=2+5、 1+6=3+4、 2+5=3+4
2+6=3+5
3+6=4+5
の7通りあり、順序も考慮に入れると、それぞれ23通りずつある。
（1+4=2+3、 4+1=2+3、 1+4=3+2、 4+1=3+2
2+3=1+4、 2+3=4+1、 3+2=1+4、 3+2=4+1 など）
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7\cdot 2^2}{_6P_4}=\underline{\ \frac{7}{45}\ }\end{align*}}$
もれなく書き上げましょう。
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第４問
曲線y=x2の点P(a，a2)における接線と点Q(b，b2)における接線が
点Rで交わるとする。ただし、a＜0＜bとする。このとき、次の問いに
答えよ。
(１) 点Rの座標および三角形PRQの面積を求めよ。
(２) 線分PRと線分QRを2辺とする平行四辺形をPRQSとする。折れ線
PSQと曲線y=x2で囲まれた図形の面積を求めよ。
(３) ∠PRQ=90°をみたしながらPとQが動くとき、(２)で求めた面積の
最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y'=2xより、Pにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=2a\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2ax-a^2\end{align*}}$ ．
同様に、Qにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2bx-b^2\end{align*}}$ ．
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2ax-a^2=2bx-b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(b-a \right)x=b^2-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b^2-a^2}{2\left(b-a \right)}=\frac{a+b}{2}\ \ \ \left(\because\ a\ne b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$
よって、2接線の交点Rの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left( \frac{a+b}{2}\ ,\ ab\right)\ }\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RP}=\left(\frac{a+b}{2}-a\ ,\ ab-a^2 \right)=\left(\frac{b-a}{2}\ ,\ a\left(b-a \right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RQ}=\left(\frac{a+b}{2}-b\ ,\ ab-b^2 \right)=\left(-\frac{b-a}{2}\ ,\ -b\left(b-a \right)\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\left|\frac{b-a}{2}\cdot \left\{-b\left(b-a \right)\right\}- a\left(b-a \right)\cdot \left(-\frac{b-a}{2}\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\bigg|-b\left(b-a \right)^2+a\left(b-a \right)^2\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(b-a \right)^3\\ }\end{align*}}$ ←a＜bより
(２)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=\frac{b^2-a^2}{b-a}\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(a+b \right)x-ab\end{align*}}$
なので、線分PQと曲線y=x2で囲まれる面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\bigg\{\left(a+b \right)x-ab-x^2\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_a^b\left(x-a \right)\left(x-b \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(b-a \right)^3\end{align*}}$ ．
また、△PQS＝△PQRなので、折れ線PSQと曲線y=x2で
囲まれた図形の面積Tは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{4}\left(b-a \right)^3+\frac{1}{6}\left(b-a \right)^3=\underline{\ \frac{5}{12}\left(b-a \right)^3\ }\end{align*}}$
(３)
PR⊥QRなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\cdot 2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{4b}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{5}{12}\left(b+\frac{1}{4b} \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq\frac{5}{12}\left(2\sqrt{b\cdot \frac{1}{4b}} \right)^3\end{align*}}$ ←b＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{12}\end{align*}}$ ．
相加・相乗平均の等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b= \frac{1}{4b}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1}{2}\ (>0)\end{align*}}$
のときなので、Tの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ T_{min}=\frac{5}{12}\ \ \ \ \ \left(a=-\frac{1}{2}\ , \ b=\frac{1}{2} \right)\ }\end{align*}}$
(１)で使った面積の公式は大丈夫ですか？
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