第１問
座標平面に3点O(0，0)、A(2，6)、B(3，4)をとり、点Oから直線ABに
垂線OCを下ろす。また、実数sとtに対し、点Pを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
で定める。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 点Cの座標を求め、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ をsとtを用いて表せ。
(２) sを定数として、tをt≧0の範囲で動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ の最小値を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線ABの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-6=\frac{4-6}{3-2}\left(x-2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-2x+10\end{align*}}$
なので、Oを通りABに垂直な直線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x\end{align*}}$
である。これら2直線の交点がCなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x+10=\frac{1}{2}x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\ ,\ y=2\end{align*}}$
より、Cの座標は、(4，2)である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\left(2\ ,\ 6 \right)+t\left(3\ ,\ 4 \right)=\left(2s+3t\ ,\ 6s+4t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}=\left(2s+3t-4\ ,\ 6s+4t-2 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=\left(2s+3t-4\right)^2+\left( 6s+4t-2 \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 40s^2+60st+25t^2-40s-40t+20\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=|\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$
とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=25t^2+\left(60s-40 \right)t+40s^2-40s+20\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =25\left(t+ \frac{6s-4}{5}\right)^2+4s^2+8s+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ s\geqq \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{6s-4}{5}\leqq 0\end{align*}}$
なので、Lの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L_{min}=40s^2-40s+20\ \ \ \ \ \left(t=0 \right) \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ s< \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{6s-4}{5}> 0\end{align*}}$
なので、Lの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L_{min}=4s^2+8s+4\ \ \ \ \ \left(t=-\frac{6s-4}{5} \right) \ }\end{align*}}$
(２)は場合分けが必要です。
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第２問
kは2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と
書かれたカードが2枚、……、「k」と書かれたカードがk枚ある。
そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM、奇数が書かれた
カードの枚数をNで表す。この(M+N)枚のカードをよくきって1枚
取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作を
n回繰り返す。記録されたn回の数の和が偶数となる確率をpnと
する。次の問いに答えよ。
(１) p1とp2をM、Nで表せ。
(２) pn+1を pn、M、Nで表せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-N}{M+N}\end{align*}}$ をkで表せ。
(４) pnをnとkで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
n回目のに取り出したカードの数をanとし、
Sn＝a1+a2+……+an
とおく。
(１)
S1が偶数になるのは、a1が偶数のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\underline{\ \frac{M}{M+N}\ }\end{align*}}$
S2が偶数になるのは、a1とa2の偶奇が一致するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{M}{M+N}\cdot\frac{M}{M+N}+\frac{N}{M+N}\cdot\frac{N}{M+N}=\underline{\ \frac{M^2+N^2}{\left(M+N\right)^2}\ }\end{align*}}$
(２)
Sn+1が偶数になるのは、
・Snが偶数で、an+1が偶数
・Snが奇数で、an+1が奇数
の2つの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{M}{M+N}\ p_n+\frac{N}{M+N}\left(1-p_n \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{M-N}{M+N}p_n+\frac{N}{M+N}\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M+N=1+2+3+\ldots +k=\frac{1}{2}k\left(k+1 \right)\end{align*}}$ ……(#)
(ⅰ) kが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=2+4+6+\ldots +k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1+2+3+\ldots + \frac{k}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{k}{2}\left(\frac{k}{2}+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}k\left(k+2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M-N=2M-\left(M+N \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}k\left(k+2 \right)-\frac{1}{2}k\left(k+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}k\end{align*}}$
これと(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-N}{M+N}=\underline{\ \frac{1}{k+1}\ }\end{align*}}$
(ⅱ) kが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=2+4+6+\ldots +\left( k-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(k-1 \right)\left(k+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M-N=2M-\left(M+N \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(k-1 \right)\left(k+1 \right)-\frac{1}{2}k\left(k+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(k+1 \right)\end{align*}}$
これと(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-N}{M+N}=\underline{\ -\frac{1}{k}\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left( M+N\right)-\left(M-N \right)}{2}=N\end{align*}}$
より、(２)で得られた漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{M-N}{M+N}p_n+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(M+N \right)-\left(M-N \right)}{M+N}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{M-N}{M+N}p_n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{M-N}{M+N}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{M-N}{M+N}\left(p_n-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{2}=\left(p_1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left( \frac{M-N}{M+N}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{M}{M+N}-\frac{1}{2}\right)\cdot\left( \frac{M-N}{M+N}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{M-N}{2\left(M+N\right)}\cdot\left( \frac{M-N}{M+N}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\frac{1}{2}\left\{\left( \frac{M-N}{M+N}\right)^{n} +1\right\}\end{align*}}$ ．
(３)より
(ⅰ) kが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{\left( \frac{1}{k+1}\right)^{n} +1\right\}\ }\end{align*}}$
(ⅱ) kが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{\left( -\frac{1}{k}\right)^{n} +1\right\}\ }\end{align*}}$
場合分けが面倒ですが、最後はキレイな式になって嬉しいです（笑）
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第３問
曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\frac{x^2}{2}\end{align*}}$ の点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ \frac{a^2}{3}\right)\end{align*}}$ における法線と点Q$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ \frac{a^2}{3}\right)\end{align*}}$ における法線の
交点をRとする。ただし、b≠aとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。 Aの座標をa
で表せ。
(２) 点Pが曲線C1上を動くとき、(１)で求めた点Aが描く軌跡をC2とする。
曲線 C1と軌跡C2の概形を描き、C1とC2の交点の座標を求めよ。
(３) 曲線C1と軌跡C2で囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y’=xより、a≠0のとき点Pにおける法線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{a^2}{2}=-\frac{1}{a}\left(x-a \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{a}x+\frac{a^2}{2}+1\end{align*}}$ ．
同様に、b≠0のとき点Qにおける法線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{b}x+\frac{b^2}{2}+1\end{align*}}$ ．
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{a}x+\frac{a^2}{2}+1=-\frac{1}{b}x+\frac{b^2}{2}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a} \right)x=-\frac{1}{2}\left(a^2-b^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a-b}{ab}\ x=-\frac{1}{2}\left(a-b \right)\left(a+b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{1}{2}ab\left(a+b \right)\ \ \ \ \left(\because\ a\ne b \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{a}\cdot\left\{-\frac{1}{2}ab\left(a+b \right) \right\}+\frac{a^2}{2}+1=\frac{1}{2}\left(a^2+ab+b^2+2 \right)\end{align*}}$
となり、b→aとしたとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\rightarrow\ -\frac{1}{2}a^2\cdot 2a=-a^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\rightarrow\ \frac{1}{2}\left(a^2+a^2+a^2+2 \right)=\frac{3}{2}a^2+1\end{align*}}$
なので、点Aの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(-a^3\ ,\ \frac{3}{2}a^2+1\right)\end{align*}}$ ……(#)
a=0のとき、Pにおける法線はx=0であり、Qにおける法線との
交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{b^2}{2}+1 \right)\end{align*}}$ ．
b→a （=0）としたとき、この点は(0，1)に近づくので(#)を満たす。
b=0のときも同様。
以上より、求める点Aの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A\left(-a^3\ ,\ \frac{3}{2}a^2+1\right)\ }\end{align*}}$
(２)
点Aを(X，Y)とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=-a^3\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\left( -X\right)^{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{3}{2}a^2+1\end{align*}}$
これらからaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{3}{2}\left\{\left( -X\right)^{\frac{1}{3}} \right\}^2+1=\frac{1}{2}X^{\frac{2}{3}}+1\end{align*}}$
となるので、点Aの軌跡C2の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x^{\frac{2}{3}}+1\end{align*}}$
である。導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}}\end{align*}}$
なので、増減は次のようになる。
これより、C1、C2の概形は右図のようになる。
また、C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}x^{\frac{2}{3}}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-3x^{\frac{2}{3}}-2=\left(x^{\frac{2}{3}}-2 \right)\left(x^{\frac{2}{3}}+1 \right)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^{\frac{2}{3}}=2\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm x^{\frac{3}{2}}=\pm 2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\left(\pm 2\sqrt2 \right)^2}{2}=4\end{align*}}$
となるので、交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\pm 2\sqrt2\ ,\ 4 \right)\ }\end{align*}}$
(３)
C1、C2はy軸について対称なので、囲まれる部分の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\int_0^{2\sqrt2}\left\{\left(\frac{1}{2}x^{\frac{2}{3}}+1 \right)-\frac{x^2}{2} \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{9}{10}x^{\frac{5}{3}}+x-\frac{1}{6}x^3 \right]_0^{2\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{88}{15}\sqrt2\ }\end{align*}}$
(２)で交点を求める計算が、少し難しいかもしれません。
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第４問
2次の列ベクトルX、Y、Zは大きさが1であり、X=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\end{align*}}$ かつY≠Xとする。
ただし、一般に2次の列ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}\end{align*}}$ の大きさは $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x^2+y^2}\end{align*}}$ で定義される。
また、2次の正方行列Aが
AX=Y、 AY=Z、 AZ=X
をみたすとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) Y≠-Xを示せ。
(２) ZはZ=sX+tY （s、tは実数）の形にただ一通りに表せることを示せ。
(３) X+Y+Z=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{0}{0}\end{align*}}$ を示せ。
(４) 行列Aを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Y=-Xと仮定すると、
AX=Y=-X
Z=AY=A(-X)=-AX=-Y=X
X=AZ=AX=-X ⇔ X=O
となるので、X=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\end{align*}}$ に矛盾する。
よって、Y≠-Xである。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\binom{a}{b}\ \ ,\ \ Z=\binom{c}{d}\end{align*}}$
とおくと、Y、Zの大きさは1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+b^2=c^2+d^2=1\end{align*}}$ ……(#)
b=0のとき、a=±1であるが、Y≠±Xなのでb≠0となる。
Z=sX+tYとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{c}{d}=s\binom{1}{0}+t\binom{a}{b}=\binom{s+at}{bt}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf a \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\binom{s}{t}\end{align*}}$
となる。ここで、行列Bを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf a \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(*)
とおくと、Bのデターミナントは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det B=b \ne 0\end{align*}}$
なのでBの逆行列が存在する。
(*)の両辺に左からBの逆行列をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{s}{t}=\frac{1}{b}\begin{pmatrix} \sf b&\sf -a \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{c}{d}=\frac{1}{b}\binom{bc-ad}{d}\end{align*}}$
となり、Z=sX+tYを満たす実数s、tがただ1通りに決まる。
よって、題意は示された。
(３)
(２)より
AZ=A(sX+ｔY)=ｓAX+tAY
⇔ X=sY+tZ=sY+t(sX+ｔY)
⇔ (st-1)X~=-(s+t2)Y
b≠0より、YはXの実数倍のベクトルではないので、
st-1=s+t2=0 ．
これらを連立させて解くと、s=t=-1となるので、
Z=-X-Y ⇔ X+Y+Z=O
が成り立つ。
(４)
以下の複号はすべて同順とする。
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X+Y+Z=\binom{1+a+c}{b+d}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=-a-1\ \ ,\ \ d=-b\end{align*}}$ ．
これと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2+d^2=\left(-a-1 \right)^2+\left( -b\right)^2=a^2+b^2+2a+1=2a+2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=-\left( -\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2} \right)^2}=\pm \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=-b=\mp \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\frac{1}{2}\binom{-1}{\pm\sqrt3}\ \ ,\ \ Z=\frac{1}{2}\binom{-1}{\mp\sqrt3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=Y\ \ \Leftrightarrow\ \ A\binom{1}{0}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\pm\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AY=Z\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}A\binom{-1}{\pm\sqrt3}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\mp\sqrt3}\end{align*}}$
であり、これらをまとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\underline{\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -1 \\ \sf 0 & \sf \pm\sqrt3 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -1 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
下線部の行列の逆行列を両辺の右からかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\pm\frac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -1 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \pm\sqrt3&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pm\frac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf \mp\sqrt3&\sf -3 \\ \sf 3 & \sf \mp\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf \mp\sqrt3 \\ \sf \pm\sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(４)は面倒なので、複号のまま計算していますが、
分かりにくければ別々に計算してください。
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第５問
曲線y=ex上を動く点Pの時刻tにおける座標を(x(t)，y(t))と表し、
Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt} \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ ,\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)\end{align*}}$
とする。すべての時刻tで $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf v}|\end{align*}}$ =1 かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dy}\end{align*}}$ ＞0であるとして、次の
問いに答えよ。
(１) Pが点(s，es) を通過する時刻における速度ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ をsを
用いて表せ。
(２) Pが点(s，es) を通過する時刻における速度ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ をsを
用いて表せ。
(３) Pが曲線全体を動くとき、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y=exの両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dt}=e^x\cdot \frac{dx}{dt}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf v}|^2=\left(\frac{dx}{dt} \right)^2+\left(\frac{dy}{dt} \right)^2=\left(1+e^{2x} \right)\left(\frac{dx}{dt} \right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{dx}{dt} \right)^2=\frac{1}{1+e^{2x}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\end{align*}}$
よって、Pが点(s，es) を通過する時刻における速度ベクトルは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf v}= \left(\frac{1}{\sqrt{1+e^{2s}}}\ ,\ \frac{e^s}{\sqrt{1+e^{2s}}} \right)\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)\cdot\frac{dx}{dt}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot 2e^{2x}}{1+e^{2x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{e^{2x}}{\left(1+e^{2x}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)\cdot\frac{dx}{dt}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^x\cdot\sqrt{1+e^{2x}}-e^x\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot 2e^{2x}}{1+e^{2x}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^{x}}{\left(1+e^{2x}\right)^2}\end{align*}}$
よって、Pが点(s，es) を通過する時刻における加速度ベクトルは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf a}= \left(\frac{e^{2s}}{\left(1+e^{2s}\right)^2}\ ,\ \frac{e^{s}}{\left(1+e^{2s}\right)^2} \right)\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$ をLとおくと、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left\{\frac{e^{2s}}{\left(1+e^{2s}\right)^2}\right\}^2+\left\{ \frac{e^{s}}{\left(1+e^{2s}\right)^2} \right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^{4s}+e^{2s}}{\left(1+e^{2s}\right)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^{2s}}{\left(1+e^{2s}\right)^3}\end{align*}}$
これをsで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dL}{ds}=\frac{2e^{2s}\left(1+e^{2s}\right)^3-e^{2s}\cdot 3\left(1+e^{2s}\right)^2\cdot 2e^{2s}}{\left(1+e^{2s}\right)^6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2e^{2s}\left(1+e^{2s}\right)-6e^{4s}}{\left(1+e^{2s}\right)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2e^{2s}\left(1-2e^{2s}\right)}{\left(1+e^{2s}\right)^4}\end{align*}}$
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dL}{ds}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e^{2s}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=-\frac{1}{2}\log 2\end{align*}}$
なので、Lの増減は次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|_{max}=\sqrt{\frac{4}{27}}=\underline{\ \frac{2\sqrt3}{9}\ }\end{align*}}$
合成関数の微分をうまくこなしましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/19(金) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2009
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