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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009九州大 理系数学1



第1問

  座標平面に3点O(0,0)、A(2,6)、B(3,4)をとり、点Oから直線ABに
  垂線OCを下ろす。また、実数sとtに対し、点Pを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  で定める。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 点Cの座標を求め、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ をsとtを用いて表せ。

 (2) sを定数として、tをt≧0の範囲で動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ の最小値を求めよ.




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2009九州大 理系数学2



第2問

  kは2以上の自然数とする。「1」と書かれたカードが1枚、「2」と
  書かれたカードが2枚、……、「k」と書かれたカードがk枚ある。
  そのうちの偶数が書かれたカードの枚数をM、奇数が書かれた
  カードの枚数をNで表す。この(M+N)枚のカードをよくきって1枚
  取り出し、そこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作を
  n回繰り返す。記録されたn回の数の和が偶数となる確率をpn
  する。次の問いに答えよ。

 (1) p1とp2をM、Nで表せ。

 (2) pn+1を pn、M、Nで表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{M-N}{M+N}\end{align*}}$ をkで表せ。

 (4) pnをnとkで表せ。
        



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2009九州大 理系数学3



第3問

  曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\frac{x^2}{2}\end{align*}}$ の点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ \frac{a^2}{3}\right)\end{align*}}$ における法線と点Q$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ \frac{a^2}{3}\right)\end{align*}}$ における法線の
  交点をRとする。ただし、b≠aとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。 Aの座標をa
    で表せ。

 (2) 点Pが曲線C1上を動くとき、(1)で求めた点Aが描く軌跡をC2とする。
    曲線 C1と軌跡C2の概形を描き、C1とC2の交点の座標を求めよ。

 (3) 曲線C1と軌跡C2で囲まれた部分の面積を求めよ。




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2009九州大 理系数学4



第4問

  2次の列ベクトルX、Y、Zは大きさが1であり、X=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\end{align*}}$ かつY≠Xとする。
  ただし、一般に2次の列ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}\end{align*}}$ の大きさは $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x^2+y^2}\end{align*}}$ で定義される。
  また、2次の正方行列Aが
          AX=Y、 AY=Z、 AZ=X
  をみたすとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) Y≠-Xを示せ。

 (2) ZはZ=sX+tY (s、tは実数)の形にただ一通りに表せることを示せ。

 (3) X+Y+Z=$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{0}{0}\end{align*}}$ を示せ。

 (4) 行列Aを求めよ。



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2009九州大 理系数学5



第5問

  曲線y=ex上を動く点Pの時刻tにおける座標を(x(t),y(t))と表し、
  Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt} \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ ,\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)\end{align*}}$
  とする。すべての時刻tで $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf v}|\end{align*}}$ =1 かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dy}\end{align*}}$ >0であるとして、次の
  問いに答えよ。

 (1) Pが点(s,es) を通過する時刻における速度ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ をsを
    用いて表せ。

 (2) Pが点(s,es) を通過する時刻における速度ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ をsを
    用いて表せ。

 (3) Pが曲線全体を動くとき、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$ の最大値を求めよ。



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