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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008三重大 工学部 数学1



第1問

  座標平面において、点(0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ )を通り、円C:x2+y2=1と第1象限の
  点で接する直線をL1とする。また、直線L2と直交し円Cと第4象限の
  点で接する直線をL2とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) 直線L1の方程式を求めよ。

 (2) 直線L2の方程式を求めよ。

 (3) 原点をOとし、2直線L1、L2の交点をPとする。2点O、Pを通る
    直線上に中心をもつ円C’が、Oを通りさらにL1と接しているとき、
    C’の方程式を求めよ。
         



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  1. 2015/07/26(日) 23:54:00|
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2008三重大 工学部 数学2



第2問

  3次方程式x3-5x2+6x-2=0の最小値をa、最大値をbとするとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) a、bの値を求めよ。

 (2) 数列{pn}、{qn}は
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_1=0\ \ ,\ \ q_1=\frac{1}{2}\left(a-b\right)\end{align*}}$
    を見たし、すべての自然数nについて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=2p_n+q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=-\frac{1}{2}p_n\end{align*}}$
    を満たすとする。このときすべての自然数nに対し次の等式が成立
    することを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left( \frac{a}{2}\right)^{n-1}-\left( \frac{b}{2}\right)^{n-1}\ \ ,\ \ q_n=-\frac{1}{2}\left( \frac{a}{2}\right)^{n-2}+\frac{1}{2}\left( \frac{b}{2}\right)^{n-2}\end{align*}}$

 (3) (2)の数列{pn}、{qn}について、すべての自然数nに対しpnもqn
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ の有理数倍になることを示せ。




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2008三重大 工学部 数学3



第3問

  曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\log\frac{x}{e}\end{align*}}$
  上の点(e2,1)における接線をLとするとき、以下の問いに答えよ。
  ただし対数は自然対数とする。

 (1) 接線Lの方程式を求めよ。

 (2) 次の定積分I1、I2の値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int_1^e\log x\ dx\ \ ,\ \ \rm I_{\sf 2}\sf =\int_1^e\left(\log x \right)^2dx\end{align*}}$

 (3) 曲線C、接線Lおよびx軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転
    してできる立体の体積を求めよ。




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2008三重大 工学部 数学4



第4問

  2行2列の行列AがA2=-Aを満たしている。また行列Aで表される
  移動により、座標平面上のすべての点がある直線L上に移され、
  特に点(1,1)は点(1,2)に移される。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) 直線Lの方程式をもとめよ。次に行列Aを求めよ。

 (2) 行列Aで表される移動によって、円x2+y2=1上の点は直線Lの
    どのような部分に移されるか述べよ。




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