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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008三重大 医学部 数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2}\end{align*}}$ とし、曲線y=f(x)上に点P(a,f(a))をとる。ただし、
  a>-1とする。Pにおけるこの曲線の接線をLとし、Pを通ってx軸に
  垂直な直線をmとする。またm上の点(a,0)をLに関して対称に移動
  した点をQとし、2点P、Qを通る直線nとおく。このとき以下の問いに
  答えよ。

 (1) 2直線L、mの間の角を$\small\sf{\begin{align*} \sf \theta\ \ \left(0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とするとき、直線L、mの
    それぞれの傾きを$\small\sf{\theta}$ の関数として表せ。

 (2) 直線L、nの方程式をaを用いて表せ。

 (2) 直線nがaの値によらずある定点を通ることを示し、その定点の
    座標を求めよ。






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  1. 2015/07/22(水) 23:57:00|
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2008三重大 医学部 数学2



第2問

  3次方程式x3-5x2+6x-2=0の最小値をa、最大値をbとするとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) a、bの値を求めよ。

 (2) 数列{pn}、{qn}は
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_1=0\ \ ,\ \ q_1=\frac{1}{2}\left(a-b\right)\end{align*}}$
    を見たし、すべての自然数nについて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=2p_n+q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=-\frac{1}{2}p_n\end{align*}}$
    を満たすとする。このときすべての自然数nに対し次の等式が成立
    することを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left( \frac{a}{2}\right)^{n-1}-\left( \frac{b}{2}\right)^{n-1}\ \ ,\ \ q_n=-\frac{1}{2}\left( \frac{a}{2}\right)^{n-2}+\frac{1}{2}\left( \frac{b}{2}\right)^{n-2}\end{align*}}$

 (3) すべての自然数nに対し次の数rnは有理数であることを証明せよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=\sum_{k=0}^n\left( \frac{a}{2}\right)^{n-k}\left( \frac{b}{2}\right)^{k}\end{align*}}$




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  1. 2015/07/23(木) 23:57:00|
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2008三重大 医学部 数学3



第3問

  曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\log\frac{x}{e}\end{align*}}$
  上の点(e2,1)における接線をLとするとき、以下の問いに答えよ。
  ただし対数は自然対数とする。

 (1) 接線Lの方程式を求めよ。

 (2) 次の定積分I1、I2の値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int_1^e\log x\ dx\ \ ,\ \ \rm I_{\sf 2}\sf =\int_1^e\left(\log x \right)^2dx\end{align*}}$

 (3) 曲線C、接線Lおよびx軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転
    してできる立体の体積を求めよ。




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  1. 2015/07/24(金) 23:57:00|
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2008三重大 医学部 数学4



第4問

  以下の問いに答えよ。ただし行列やベクトルの成分はすべて実数で
  あるとする。

 (1) 0でないfに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{s}{t}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf f& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{a}{b}\end{align*}}$
    とおく。このとき|a|=|b|で|s|<|t|となるようなa、bが存在する
    ことを示せ。

 (2) 任意の実数x、yに対して不等式|x+y|≧|x|-|y|が成立すること
    を示せ。次に|g|≧2を満たすgに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{u}{v}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g \\ \sf 0& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{s}{t}\end{align*}}$
    とおくとき、|s|<|t|ならば|u|>|v|であることを示せ。
    さらに|h|≧2を満たすhに対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{s'}{t'}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h& \sf 1 \end{pmatrix}\binom{u}{v}\end{align*}}$
    とおくとき、|u|>|v|ならば|s'|<|t'|であることを示せ。

 (3) 2n+1個の実数f,g1,h1,……,gn,hnにおいてf≠0であり、
    すべてのi=1,…,nに対し|gi|≧2、|hi|≧2であるとする。
    このとき積
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h_n & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g_n \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ldots\ldots\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf h_1 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf g_1 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf f & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
    について、A≠Eを示せ。ただしEは2次単位行列を表す。



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  1. 2015/07/25(土) 23:57:00|
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