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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011筑波大 数学1



第1問

  Oを原点とするxy平面上において、直線y=1の|x|≧1を満たす
  部分をCとする。

 (1) C上に点A(t,1)をとるとき、線分OAの垂直二等分線の方程式
    を求めよ。

 (2) 点AがC全体を動くとき、線分OAの垂直二等分線が通過する
    範囲を求め、それを図示せよ。



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2011筑波大 数学2



第2問

  自然数nに対し、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf F_n(x)=\int_x^{2x}e^{-t^n}dt\ \ \ \ \left(x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) Fn(x) (x≧0)はただ一つの点で最大値をとることを示し、
    Fn(x)が最大となるようなxの値anを求めよ。

 (2) (1)で求めたanに対し、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log a_n\end{align*}}$ を求めよ。




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2011筑波大 数学3



第3問

  $\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす定数とする。円C:x2(y+sin$\small\sf{\alpha}$ )2=1および
  その中心を通る直線L: $\small\sf{\sf y=(\tan\alpha)x-\sin\alpha}$ を考える。このとき、以下
  の問いに答えよ。

 (1) 直線Lと円Cの2つの交点の座標を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (2) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\int_{\cos\alpha}^1\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{-\cos\alpha}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 連立不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf y\leqq \left( \tan\alpha\right)x-\sin\alpha \\ \sf x^2+\left( y+\sin\alpha\right)^2\leqq 1 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
    の表すxy平面上の図形をDとする。図形Dをx軸のまわりに1回転させて
    できる立体の体積を求めよ。



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2011筑波大 数学4



第4問

  数列{an}を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ \left(n+3 \right)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
  によって定める。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$  によって定まる数列{bn}の
    一般項を求めよ。

 (2) 等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf p\left( n+1\right)\left(n+2 \right)+qn\left(n+2 \right)+rn\left(n+1 \right)=b_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
    が成り立つように、定数p、q、rの値を定めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ をnの式で表せ。




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2011筑波大 数学5



第5問

  実数を成分とする行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ を考える。座標平面上の2点P(x,y)、
  Q(u,v)について等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{u}{v}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
  が成り立つとき、行列Aにより点PはQに移るという。
  点(1,3)は行列Aにより点(10,10)に移り、さらに等式
        A2-7A+10E=O
  が成り立つものとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ O=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ である。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 行列Aにより点(10,10)が移る点の座標を求めよ。

 (2) 実数a、b、c、dの値を求めよ。

 (3) 次の条件(*)を満たす直線Lの方程式を求めよ。
    (*) 直線L上のすべての点が行列AによりL上の点に移る。




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2011筑波大 数学6



第6問

  dを正の定数とする。2点A(-d,0)、B(d,0)からの距離の和が4d
  である点Pの軌跡として定まる楕円Eを考える。点A、点B、原点Oから
  楕円E上の点Pまでの距離をそれぞれAP、BP、OPと書く。このとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) 楕円Eの長軸と短軸の長さを求めよ。

 (2) AP2+BP2およびAP・BPを、OPとdを用いて表せ。

 (3) 点Pが楕円E全体を動くとき、AP3+BP3の最大値と最小値をdを
    用いて表せ。



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