第１問
Oを原点とするxy平面上において、直線y＝1の|x|≧1を満たす
部分をCとする。
(１) C上に点A(t，1)をとるとき、線分OAの垂直二等分線の方程式
を求めよ。
(２) 点AがC全体を動くとき、線分OAの垂直二等分線が通過する
範囲を求め、それを図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
OAの中点は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left( \frac{t}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ であり、OAの傾きは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ なので、
線分OAの垂直二等分線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{2}=-t\left(x- \frac{t}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-tx+\frac{t^2+1}{2}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)で得られた式をtについて整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2xt-2y+1=0\end{align*}}$ ……(#)
となり（左辺をf(t)とおく）、これが|t|≧1の範囲に実数解を
持てばよい。
まず、tについての方程式(#)が実数解を持つための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=x^2-\left(-2y+1 \right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geqq -\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、これを図示したものが図１。
このうち、(#)が|t|＜1の範囲にのみ実数解を持つためには、
次の4つの条件を満たせばよい。
D≧0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)=1-2x-2y+1>0\ \ \Leftrightarrow\ \ y<-x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-1)=1+2x-2y+1>0\ \ \Leftrightarrow\ \ y 軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1 これを図示したものが図2。
よって、求める領域は、図1から図2の部分の除いた部分になるので、
図3のようになる。（境界線上の点も含む）
(２)をそのまま解こうとすると、場合分けが面倒です。
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第２問
自然数nに対し、関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf F_n(x)=\int_x^{2x}e^{-t^n}dt\ \ \ \ \left(x\geqq 0 \right)\end{align*}}$
を考える。
(１) Fn(x) （x≧0）はただ一つの点で最大値をとることを示し、
Fn(x)が最大となるようなxの値anを求めよ。
(２) (１)で求めたanに対し、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log a_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(t)=e^{-t^n}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_n(x)=\int_x^{2x}h\ '(t)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[h(t)\bigg]_x^{2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =h(2x)-h(x)\end{align*}}$
となるので、これをxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_n'(x)=2h\ '(2x)-h\ '(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2e^{-2^nx^n}-e^{-x^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{e^{2^nx^2}}-\frac{1}{e^{x^n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2-e^{2^nx^2-x^n}}{e^{2^nx^2}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_n'(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2-e^{2^nx^2-x^n}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{\left(2^n-1\right)x^n}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2^n-1\right)x^n=\log 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^n=\frac{\log 2}{2^n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt[\sf n]{\frac{\log 2}{\sf 2^n-1}}\end{align*}}$
この値をpとすると、Fn(x)の増減は次のようになる。
これより、Fn(x) （x≧0）はただ一つの点で最大値をとり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=p=\sqrt[\sf n]{\frac{\log 2}{\sf 2^n-1}}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\log\sqrt[\sf n]{\frac{\log 2}{\sf 2^n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\frac{\log 2}{\sf 2^n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\left( \log 2\right)}{n}-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(2^n-1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(2^n\cdot \frac{2^n-1}{2^n} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log 2^n-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\frac{2^n-1}{2^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{n}{n}\log 2-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\log 2\ }\end{align*}}$
h(t)と置くのがミソです。
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第３問
$\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす定数とする。円C：x2(y＋sin$\small\sf{\alpha}$ )2＝1および
その中心を通る直線L： $\small\sf{\sf y=(\tan\alpha)x-\sin\alpha}$ を考える。このとき、以下
の問いに答えよ。
(１) 直線Lと円Cの2つの交点の座標を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(２) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\int_{\cos\alpha}^1\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{-\cos\alpha}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(３) 連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf y\leqq \left( \tan\alpha\right)x-\sin\alpha \\ \sf x^2+\left( y+\sin\alpha\right)^2\leqq 1 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
の表すxy平面上の図形をDとする。図形Dをx軸のまわりに1回転させて
できる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C、Lの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left\{\left( \tan\alpha\right)x \right\}^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x^2}{\cos^2\alpha}=1\ \ \ \ \left(\because\ 1+\tan^2\alpha= \frac{1}{\cos^2\alpha}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left( \tan\alpha\right)\cdot\left(\pm\cos\alpha \right)-\sin\alpha=0\ ,\ -2\sin\alpha\end{align*}}$
となるので、2つの交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\cos\alpha\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left(-\cos\alpha\ ,\ -2\sin\alpha \right)\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
とおくと、任意のxに対してf(－x)＝f(x)が成り立つので、
曲線y＝f(x)のグラフはy軸について対称である。
よって、与式の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\int_{\cos\alpha}^1\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{-\cos\alpha}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^{-\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{-\cos\alpha}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{\cos\alpha}^1\sqrt{1-x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\ dx\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos\theta\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\end{align*}}$
であり、x：－1→1に$\scriptsize\sf{\theta}$ ：$\scriptsize\sf{\pi}$ →0が対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\ dx=\int_{\pi}^{0}\sqrt{1-\cos^2\theta}\cdot \left(-\sin\theta \right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{\pi}^0\sin^2\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2\theta}{2}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\int_{\cos\alpha}^1\sqrt{1-x^2}\ dx+\int_{-\cos\alpha}^{\cos\alpha}\sqrt{1-x^2}\ dx=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
が成り立つ。
(３)
以下、s＝sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、c＝cos$\scriptsize\sf{\alpha}$ と書くことにする。
(１)より、図形Dは下図のようになり、Dをx軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積Vは、
(赤線部分の回転体)－(緑色部分の回転体)－(水色部分の回転体)
として求めることができる。
円Cのy≧－sの部分およびy≦－sの部分はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{1-x^2}-s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\sqrt{1-x^2}-s\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_{-c}^1\left(-\sqrt{1-x^2}-s \right)^2dx-\int_{c}^1\left(\sqrt{1-x^2}-s\right)^2dx -\frac{1}{3}\cdot\left(2s\right)^2\cdot 2c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-c}^1\left(1+s^2-x^2+2s\sqrt{1-x^2} \right)dx-\int_{c}^1\left(1+s^2-x^2-2s\sqrt{1-x^2} \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{8s^2c}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-c}^c\left(1+s^2-x^2\right)dx+2s\left(\int_{-c}^1\sqrt{1-x^2}dx+\int_{c}^1\sqrt{1-x^2}dx \right)-\frac{8s^2c}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\left(1+s^2\right)x-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^c+2s\left(2\int_{c}^1\sqrt{1-x^2}dx+\int_{-c}^c\sqrt{1-x^2}dx \right)-\frac{8s^2c}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\because\ \int_{-c}^1=\int_{-c}^c+\int_c^1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1+s^2\right)c-\frac{2c^3}{3}+2s\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{8s^2c}{3}\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{c}{3}\left(6+6s^2-2c^2-8s^2 \right)+\pi s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4c}{3}+\pi s\ \ \ \ \left(\because\ s^2+c^2=1 \right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V=\frac{4\pi}{3}\cos\alpha+\pi^2\sin\alpha\ }\end{align*}}$
(３)は、(２)が使えるように上手く変形しましょう。
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第４問
数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ \left(n+3 \right)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
によって定める。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$ によって定まる数列{bn}の
一般項を求めよ。
(２) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf p\left( n+1\right)\left(n+2 \right)+qn\left(n+2 \right)+rn\left(n+1 \right)=b_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
が成り立つように、定数p、q、rの値を定めよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ をnの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式の両辺に(n＋1)(n＋2)をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n+1 \right)\left(n+2 \right)\left(n+3 \right)a_{n+1}-n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)a_n=\left(n+2 \right)-\left(n+1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-b_n=1\end{align*}}$
となるので、数列{bn}は公差1の等差数列である。
また、初項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=1\cdot 2\cdot 3\cdot a_1=6\end{align*}}$
なので、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=6+\left(n-1 \right)=\underline{\ n+5\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left( n+1\right)\left(n+2 \right)+qn\left(n+2 \right)+rn\left(n+1 \right)=b_n=n+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q+r \right)n^2+\left(3p+2q+r-1 \right)n+2p-5=0\end{align*}}$
と変形できる。
これが任意の自然nに対して成り立つので、
両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q+r=3p+2q+r-1=2p-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=\frac{5}{2}\ ,\ q=-4\ ,\ r=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\frac{b_k}{k\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\frac{\frac{5}{2}\left( k+1\right)\left(k+2 \right)-4k\left(k+2 \right)+\frac{3}{2}k\left(k+1 \right)}{k\left(k+1 \right)\left(k+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-4\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}+\frac{3}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)-\frac{3}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} \right)-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n\left(7n+17 \right)}{4\left( n+1\right)\left(n+2 \right)}\ }\end{align*}}$
(３)で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}4=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
に気づきますか？
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第５問
実数を成分とする行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ を考える。座標平面上の2点P(x,y)、
Q(u，v)について等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{u}{v}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
が成り立つとき、行列Aにより点PはQに移るという。
点(1，3)は行列Aにより点(10，10)に移り、さらに等式
A2－7A＋10E＝O
が成り立つものとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ O=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ である。
このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 行列Aにより点(10，10)が移る点の座標を求めよ。
(２) 実数a、b、c、dの値を求めよ。
(３) 次の条件(*)を満たす直線Lの方程式を求めよ。
(*) 直線L上のすべての点が行列AによりL上の点に移る。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点(1，3)が行列Aによって点(10，10)に移るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{10}{10}=A\binom{1}{3}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{10}{10}A=A^2\binom{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( 7A-10E\right)\binom{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 7A\binom{1}{3}-10E\binom{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 7\binom{10}{10}-10\binom{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \binom{60}{40}\end{align*}}$
となるので、点(10，10)は、点(60，40)に移る。
(２)
(１)の結論より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{60}{40}=A\binom{10}{10}\end{align*}}$
となり、これと(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 10 \\ \sf 3 & \sf 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 10&\sf 60 \\ \sf 10 & \sf 40 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 10 \\ \sf 3 & \sf 10 \end{pmatrix}\end{align*}}$ の逆行列を(ⅱ)の両辺に右からかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 10&\sf 60 \\ \sf 10 & \sf 40 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{-20}\begin{pmatrix} \sf 10&\sf -10 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、
a＝4、 b＝2、 c＝1、 d＝3
(３)
(ⅰ) Ｌがy軸と平行でないとき
L：y＝px＋q とおくと、L上の点は媒介変数tを用いて
(t，pt＋q)と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{t}{pt+q}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\binom{t}{pt+q}=\binom{\left( 4+2p\right)t+2q}{\left(1+3p \right)t+3q}\end{align*}}$
Aによって移された点もL上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+3p \right)t+3q=p\bigg\{\left( 4+2p\right)t+2q\bigg\}+q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2p^2+p-1 \right)t+2pq-2q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2p-1 \right)\left(p+1 \right)t+2q\left(p-1 \right)=0\end{align*}}$
これが任意のtに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2p-1 \right)\left(p+1 \right)=2q\left(p-1 \right)=0\end{align*}}$ ．
これらを同時に満たすp、qの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p,q \right)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ 0 \right)\ \ ,\ \ \left(-1\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
なので、Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x\ \ ,\ \ y=-x\end{align*}}$
(ⅱ) Ｌがy軸と平行なとき
L：x＝r とおくと、L上の点は媒介変数sを用いて
(r，s)と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{r}{s}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 2 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\binom{r}{s}=\binom{4r+2s}{r+3s}\end{align*}}$
Aによって移された点もL上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4r+2s=r\ \ \Leftrightarrow\ \ 2s+3r=0\end{align*}}$ ．
この式は任意のsに対して成り立つわけではないので、
(ⅱ)の場合、(*)を満たすようなLは存在しない。
(ⅰ)、(ⅱ)より、(*)を満たすLの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{1}{2}x\ \ ,\ \ y=-x\ }\end{align*}}$
一次変換の典型題です。
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第６問
dを正の定数とする。2点A(－d，0)、B(d，0)からの距離の和が4d
である点Pの軌跡として定まる楕円Eを考える。点A、点B、原点Oから
楕円E上の点Pまでの距離をそれぞれAP、BP、OPと書く。このとき、
以下の問いに答えよ。
(１) 楕円Eの長軸と短軸の長さを求めよ。
(２) AP2＋BP2およびAP・BPを、OPとdを用いて表せ。
(３) 点Pが楕円E全体を動くとき、AP3＋BP3の最大値と最小値をdを
用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
楕円E上に右図のような点P1～P4をとると
AP1＋BP1＝4d
AP3＋BP3＝4d
長軸の長さ
図の対称性より、BP1＝AP2なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=AP_1+AP_2=AP_1+BP_1=\underline{\ 4d\ }\end{align*}}$
短軸の長さ
図の対称性より、AP3＝BP3＝2d なので、
△OAP3に三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3P_4=2OP_3=2\sqrt{AP_3^{\ 2}-OA^2}=2\sqrt{\left( 2d\right)^2-d^2}=\underline{\ 2\sqrt3\ d\ }\end{align*}}$
(２)
楕円E上の点Pの座標をP(X，Y)とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2+BP^2=\bigg\{\left(X+d \right)^2+Y^2\bigg\}+\bigg\{\left(X-d \right)^2+Y^2\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(X^2+Y^2+d^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\left(OP^2+d^2 \right)\ }\end{align*}}$ ……(ⅱ)
一方、Pは楕円E上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP+BP=4d\end{align*}}$ ……(ⅲ)
であり、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2+2AP\cdot BP+BP^2=16d^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AP\cdot BP=\frac{16d^2-\left(AP^2+BP^2 \right)}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16d^2-2\left(OP^2+d^2 \right)}{2}\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 7d^2-OP^2\ }\end{align*}}$
(３)
(ⅰ)～(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^3+BP^3=\left(AP+BP \right)\left(AP^2-AP\cdot BP+BP^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4d\bigg\{2\cdot\left(OP^2+d^2 \right)-\left(7d^2-OP^2 \right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4d\left(3OP^2-5d^2\right)\end{align*}}$ ．
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ d\leqq OP\leqq 2d\end{align*}}$
なので、AP3＋BP3の値は、
OP＝2dのとき最大
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4d\bigg\{3\cdot\left(2d \right)^2-5d^2\bigg\}=\underline{\ 28d^3\ }\end{align*}}$
OP＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ dのとき最小
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4d\bigg\{3\cdot\left(\sqrt3d \right)^2-5d^2\bigg\}=\underline{\ 16d^3\ }\end{align*}}$
(１)は理解できますか？
公式に代入するだけでもいいですけど。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/07(水) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2011
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