第1問
aを実数とし、関数
$\small\sf{\sf f(x)=x^3-3ax+a}$
を考える．$\small\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ において、
$\small\sf{\sf f(x)\geqq 0}$
となるようなaの範囲を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ でつねに$\scriptsize\sf{\sf f(x)\geqq 0}$ であるためには、少なくとも
$\scriptsize\sf{\sf f(0)=a\geqq 0}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf f(1)=1-2a\geqq 0}$
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ ･･･①
である必要がある．
f(x)の導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=3x^2-3a}$
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf a=0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=3x^2\geqq 0}$ より、f(x)は単調増加．
これと、f(0)=a=0より、
0≦x≦1でつねに f(x)≧0となる．
(ⅱ) 0＜a≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt a\end{align*}}$ でf'(x)=0
また①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\sqrt a\leqq \frac{1}{\sqrt2}<1\end{align*}}$
なので、f(x)の増減表は下の通り．
| x | 0 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt a\end{align*}}$ | ･･･ | 1 |
| f'(x) | | － | 0 | + | |
| f(x) | a | ↘ | 最小 | ↗ | |
$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ でつねに $\scriptsize\sf{\sf f(x)\geqq 0}$ であるためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\sqrt a\right)=a-2a\sqrt a\geqq 0\end{align*}}$ ････②
であればよい。
②の両辺をa（＞0）で割って、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$の範囲で解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\leqq \frac{1}{4}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、求める範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ 0\leqq a\leqq \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
先に必要条件①を求めておくと、場合分けが少なくて楽です．
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- 2011/12/29(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2006
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第2問
自然数m、nと0＜a＜1を満たす実数aを、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_2 6=m+\frac{1}{n+a}\end{align*}}$
が成り立つようにとる．以下の問いに答えよ．
(1) 自然数m、nを求めよ．
(2) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a>\frac{2}{3}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf n+a\gt 1}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{n+a}<1\end{align*}}$
なので、
mは$\scriptsize\sf{\sf \log_2 6}$ の整数部分、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{n+a}<1\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\sf \log_2 6}$ の小数部分
である．
ここで、$\scriptsize\sf{\sf 2^2\lt 6\lt 2^3}$ より、底2（＞1）の対数をとると、
$\scriptsize\sf{\sf 2\lt \log_2 6\l t3}$
となるので、$\scriptsize\sf{\sf \underline{m=2}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n+a}=\log_26-2=\log_21.5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ n+a=\frac{1}{\log_2\frac{3}{2}}=\log_{1.5}2\end{align*}}$ ････①
ここで、nは自然数であり、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt a\lt 1}$ なので、
nは $\scriptsize\sf{\sf \log_{1.5}2}$ の整数部分となる。
$\scriptsize\sf{\sf 1.5\lt 2\lt 1.5^2=2.25}$ なので、底$\scriptsize\sf{\sf 1.5\ （\gt 0）}$ の対数をとると、
$\scriptsize\sf{\sf 1\lt \log_{1.5}2\lt 2}$
となるので、$\scriptsize\sf{\sf \underline{n=1}}$
分数の入力が面倒だったので、小数で表記しましたが、
なんともマヌケな感じがしますね････
(2)
①と$\scriptsize\sf{\sf n=1}$ より
$\scriptsize\sf{\sf a=\log_{1.5}2-1}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{2}{3}=\left(\log_{1.5}2-1\right)-\frac{2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(3\log_{1.5}2-5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\log_{1.5}2^3-\log_{1.5}\left(\frac{3}{2}\right)^5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\log_{1.5}\frac{256}{243}>0\ \ \left(\because\ \ \frac{256}{243}>1\ \ \right)\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>\frac{2}{3}\end{align*}}$ は示された．
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- 2011/12/30(金) 23:57:00|
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第3問
xy平面上の点A(1，2)を通る直線Lがx軸、y軸とそれぞれP、Qで交わる
とする．点Rを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
を満たすようにとる．ただし、Oはxy平面の原点である．このとき、直線Lの
傾きにかかわらず、点Rはある関数y=f(x)のグラフ上にある．関数f(x)を
求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
傾きをa（≠0）とすると、直線Lは
$\scriptsize\sf{\sf y-2=a(x-1)}$
と表せる．
x軸、y軸との交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(1-\frac{2}{a}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q\left(0\ ,\ -a-2\right)" \end{align*}}$
R(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ (X\ ,\ Y)=\left(1-\frac{2}{a}+0-1\ ,\ 0-a+2-2\right)=\left(-\frac{2}{a}\ ,\ -a\right)\end{align*}}$
これらより、aを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{2}{X}\end{align*}}$
が得られる.
この式は、点R(X，Y)が曲線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{x}\end{align*}}$ 上にあることを表すので、
求めるf(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ f\ (x)=\frac{2}{x}\ \ }\end{align*}}$
これは簡単．絶対に外しちゃダメですね．
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- 2011/12/31(土) 23:57:00|
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