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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009三重大 工学部 数学1



第1問

  a、b、c、A、Bを実数とする。

 (1) 二次不等式ax2+bx+c≧0の解が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ となるような
    a、b、cを求めよ。ただし、|b|=1とする。

 (2) $\small\sf{\theta}$ に関する不等式 $\small\sf{\sf A\sin\theta\tan\theta+B\cos\theta+\tan\theta\geqq 0}$ の、
   $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でも解が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ となるようなA、Bを求めよ。




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  1. 2015/07/09(木) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2009(工)
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2009三重大 工学部 数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 0以上の2数A、Bについて、相加平均 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{A+B}{2}\end{align*}}$ が相乗平均$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{AB}\end{align*}}$ 以上
    であることを証明せよ。

 (2) a>0、b>0、m>0とする。座標平面上で点(a,b)を通り、傾きが
    -mの直線の、x軸、y軸との交点をそれぞれ求めよ。

 (3) (2)のふたつの交点と原点の3点を頂点とする三角形の面積の、
    mを変化させたときの最小値を求めよ。



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  1. 2015/07/09(木) 23:57:00|
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2009三重大 工学部 数学3



第3問

  O、P、Qを、それぞれの座標が$\small\sf{\sf (0,\ 0)\ ,\ (\cos\theta,\ \sin\theta)\ ,\ (-1,\ 0)}$ で
  与えられる平面上の点とする。また、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\lt\pi}$ として、点P、Qを通る
  直線と、y軸との交点をR(0,t)とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) ∠RQOを$\small\sf{\theta}$ で表せ。またtを$\small\sf{\theta}$ の関数として表せ。

 (2) Q、Rを通る直線の方程式をtを用いて表せ。この直線と、Oを中心と
    する半径1の円との交点をtを用いて表せ。また、$\small\sf{\cos\theta\ ,\ \ \sin\theta}$ を
    tで表せ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ をtの関数と見たとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\end{align*}}$ となることを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin\theta+\cos\theta}\ d\theta\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2015/07/10(金) 23:54:00|
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2009三重大 工学部 数学4



第4問

  2次の正方行列A、Bをそれぞれ
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt2 \\ \sf -\sqrt2 & \sf 2 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf \sqrt2 \\ \sf \sqrt2 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  のように定めるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) A2、B2、ABおよびBAを計算せよ。

 (2) 正の整数nについて、(A+B)n=anA+bnBとかけることを証明し、
    数列{an}、{bn}の一般項を求めよ。

 (3) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}a_n\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}b_n\end{align*}}$ が収束するかどうか調べ、収束する
    ならばその値も求めよ。



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