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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009三重大 医学部 数学1



第1問

  a、b、c、A、Bを実数とする。

 (1) 二次不等式ax2+bx+c≧0の解が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ となるような
    a、b、cを求めよ。ただし、|b|=1とする。

 (2) $\small\sf{\theta}$ に関する不等式 $\small\sf{\sf A\sin\theta\tan\theta+B\cos\theta+\tan\theta\geqq 0}$ の、
   $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \theta\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でも解が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ となるようなA、Bを求めよ。




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  1. 2015/07/05(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2009(医)
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2009三重大 医学部 数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)Pを満たすx、y、zについての
    整式Pを求めよ。

 (2) 0以上の数a、b、cに対し、その相加平均 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b+c}{3}\end{align*}}$ が相乗平均
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]{\sf abc}\end{align*}}$ 以上になることを示せ。

 (3) xの方程式 $\small\sf{\sf x^3-(3+\cos\theta )x^2+(3-\cos\theta)x-1=0}$ の解
    a、b、cがすべて正であるような$\small\sf{\theta}$ を求め、そのときの方程式を
    解け。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\lt 2\pi}$ とする。



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  1. 2015/07/06(月) 23:57:00|
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2009三重大 医学部 数学3



第3問

  O、P、Qを、それぞれの座標が$\small\sf{\sf (0,\ 0)\ ,\ (\cos\theta,\ \sin\theta)\ ,\ (-1,\ 0)}$ で
  与えられる平面上の点とする。また、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\lt\pi}$ として、点P、Qを通る
  直線と、y軸との交点をR(0,t)とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) ∠RQOを$\small\sf{\theta}$ で表せ。またtを$\small\sf{\theta}$ の関数として表せ。

 (2) Q、Rを通る直線の方程式をtを用いて表せ。この直線と、Oを中心と
    する半径1の円との交点をtを用いて表せ。また、$\small\sf{\cos\theta\ ,\ \ \sin\theta}$ を
    tで表せ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ をtの関数と見たとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d\theta}{dt}=\frac{2}{1+t^2}\end{align*}}$ となることを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin\theta-\cos\theta}\ d\theta\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2015/07/07(火) 23:57:00|
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2009三重大 医学部 数学4



第4問

  行列Xを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf -\frac{3}{2}&\sf -\frac{1}{2} &\sf 0 \\ \sf 4 & \sf 0 &\sf -1 \\ \sf -6 & \sf 0 &\sf \frac{3}{2} \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおく。このとき次の問いに答えよ。

 (1)
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 2 &\sf 1\\ \sf -4 & \sf -4&\sf -2\\ \sf 6 & \sf 6 &\sf 3\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 1 &\sf 1\\ \sf 4 & \sf -4&\sf -4\\ \sf -6 & \sf 6&\sf 6\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とおく。このとき、A2、B2、AB、BAを求めよ。

 (2) (1)のA、Bに対してX=aA+bBを満たす定数a、bを求めよ。

 (3) 正の整数nに対してXnを求めよ。

 (4) X+X2+X3+……を求めよ。



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  1. 2015/07/08(水) 23:57:00|
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