青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2003

2003京都大　文系数学１

第１問

　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ を 0.a₁a₂a₃a₄……のように小数で表す。すなわち小数第k位の数を
　　a_kとする。このとき、 $橿原学習塾青木ゼミ$ を求めよ。

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2015/06/26(金) 23:57:00|

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2003京都大　文系数学２

第２問

　　xy平面上で、放物線C：y＝x²＋xと、直線m：y＝kx＋k－1を考える。
　　このとき次の問いに答えよ。

　(１) 放物線Cと直線mが相異なる2点で交わるようなkの範囲を求めよ。

　(２) 放物線Cと直線mの2つの交点をP、Qとし、線分PQの長さをL、
　　　線分PQと放物線とで囲まれる部分の面積をSとする。kが(１)で定まる
　　　範囲を動くとき、 $橿原学習塾青木ゼミ$ の値のとりうる範囲を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　Cとmの2式を連立させると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(#)
　　　Cとmが相異なる2点で交わるとき、(#)が相異なる2つの
　　　実数解を持つので、判別式を考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　(２)
　　　kが(１)の範囲にあるとき、(#)の2解をp、q （p＜q）とおくと、
　　　2交点P、Qの座標は
　　　　　　　　P(p，kp＋k－1)、 Q(q，kq＋k－1)
　　　となるので、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　また、Cとmで囲まれる図形は右図のようになるので、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　これらより、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる。
　　　ここで、(１)より、kの範囲はk＜－3，1＜kなので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　これは難しくありません。
　　最後 0＜を忘れないように！　　

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2015/06/27(土) 23:57:00|

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2003京都大　文系数学３

第３問

　　　　四面体OABC は次の2つの条件
　　　　　(ⅰ) $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　(ⅱ) 4つの面の面積がすべて等しい
　　を満たしている。このとき, この四面体は正四面体であることを示せ。
　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　条件(ⅰ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……①

　　　また、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、①と条件(ⅱ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……②
　　　となる。

　　　一方、条件(ⅰ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……③

　　　また、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、③と条件(ⅱ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……④
　　　となる。

　　　同様に、Bを始点とするベクトルで考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……⑤
　　　が導かれる。

　　　②、④、⑤より、
　　　　　　　　　OA＝OB＝OC＝AB＝BC＝CA
　　　となるので、四面体OABCは正四面体である。

　　途中で始点を変えると楽です。　　

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2015/06/28(日) 23:57:00|

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2003京都大　文系数学４

第４問

　　pは3以上の素数であり、x、yは0≦x≦p、0≦y≦pを満たす
　　整数であるとする。このときx²を2pで割った余りと、y²を2pで
　　割った余りが等しければ、x＝yであることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　0≦y＜x≦p　……(#)　と仮定する。

　　　　x²を2pで割った商をA、余りをr
　　　　y²を2pで割った商をB、余りをr　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　と表せる。これらを辺々引くと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　となるので、x－y、x＋yのいずれかはpの倍数である。

　　　(ⅰ) x－yがpの倍数であるとき
　　　　　　(#)より、0＜x－y≦pなので、
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　を得る。
　　　　　　ここで、A、Bは整数であり、pは奇数なので、
　　　　　　x、yが整数であることに矛盾する。

　　　(ⅱ) x＋yがpの倍数であるとき
　　　　　　(#)より、0＜x－y＜2pなので、
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　を得る。
　　　　　　ここで、A、Bは整数であり、pは奇数なので、
　　　　　　x、yが整数であることに矛盾する。

　　　0≦x＜y≦pと仮定したときも同様の矛盾が生じるので、
　　　x＝yである。

　　背理法を用いると答案が書きやすいです。　　

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2015/06/29(月) 23:57:00|

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2003京都大　文系数学５

第５問

　　　4チームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべての
　　　チームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、
　　　勝つ確率はすべて $\rm \frac{1}{2}$ で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。
　　　勝ち数の多い順に順位をつけ、勝ち数が同じであればそれらは
　　　同順位とする。1位のチーム数の期待値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　4チームの勝ち数をa、b、c、d （3≧a≧b≧c≧d≧0）とすると、
　　　全試合数は₄C₂＝6試合なので、
　　　　　　　　　　　a＋b＋c＋d＝6 ．
　　　これを満たす整数a、b、c、dの組は、
　　　　　(a，b，c，d)＝(3，3，0，0)、(3，2，1，0)、(3，1，1，1)、
　　　　　　　　　　　　　(2，2，2，0)、(2，2，1，1)

　　　・(a，b，c，d)＝(3，3，0，0)のとき
　　　　　直接対戦する試合があるので、全勝のチームが2チームに
　　　　　なることはあり得ない。

　　　・(a，b，c，d)＝(3，2，1，0)のとき
　　　　　この場合、1位のチーム数は1
　　　　　1位、2位、3位、4位のチームの選び方は、₄P₄通り．
　　　　　星取表は下のように1通りに決まるので、確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　　　　　　

　　　・(a，b，c，d)＝(3，1，1，1)のとき
　　　　　この場合、1位のチーム数は1
　　　　　1位、2位、2位、2位のチームの選び方は、₄C₁通り．
　　　　　星取表は下のように2通り考えられるので、確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　　　　　　

　　　・(a，b，c，d)＝(2，2，2，0)のとき
　　　　　この場合、1位のチーム数は3
　　　　　1位、1位、1位、4位のチームの選び方は、₄C₃通り．
　　　　　星取表は下のように2通り考えられるので、確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　　　　　　

　　　・(a，b，c，d)＝(2，2，1，1)のとき
　　　　　この場合、1位のチーム数は2
　　　　　余事象を考えると、確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　以上より、1位のチーム数の期待値は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　(2，2，1，1)の場合は、星取り表が4通りあり、
　　面倒なので余事象で考えました。　　

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2015/06/30(火) 23:57:00|

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