青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2003

2003京都大　理系数学１

第１問

　　正の数からなる数列{a_n}が次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たすとき、 $\rm \sum_{k=1}^na_n$ を求めよ。
　　　　 $\rm (i)\ \ a_1=1$
　　　　 $\rm (ii)\ \log a_n-\log a_{n-1}=\log\left(n-1\right)-\log\left(n+1\right)\ \ \ \ \left(n\geq 2\right)$

解答はこちら↓

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2015/06/20(土) 23:57:00|

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2003京都大　理系数学2

第２問

　　 $\rm f(x)=x\sin x\ \left(x\geq0 \right)$ とする。点 $\rm \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2} \right)$ におけるy＝f(x)の法線と、
　　y＝f(x)のグラフの0≦x≦ $\rm \frac{\pi}{2}$ の部分、およびy軸とで囲まれる図形
　　を考える。この図形をx軸のまわりに回転して得られる回転体の
　　体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与えられたf(x)に対して
　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=\sin x+x\cos x$
　　　　　　　　 $\rm f\ '\left( \frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=1$
　　　なので、点 $\rm \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2} \right)$ におけるy＝f(x)の法線をLとすると、　　
　　　　　　　　 $\rm L:\ y-\frac{\pi}{2}=-\left(x-\frac{\pi}{2} \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+\pi$ ．

　　　曲線y＝f(x)とLの位置関係は右図のようになるので、
　　　求める回転体の体積Vは、
　　　　　　　 $\rm V=\pi\int_0^{\pi /2}\left(-x+\pi \right)^2dx-\pi\int_0^{\pi /2}\left(x\sin x \right)^2dx$
　　　　　　　　 $\rm =\pi\left[-\frac{1}{3}\left(-x+\pi \right)^3 \right]_0^{\pi /2}-\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi /2}\left(x^2-x^2\cos 2x \right)dx$ 　　←半角公式
　　　　　　　　 $\rm =\frac{7\pi^4}{24}-\frac{\pi}{2}\left[ \frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi /2}+\frac{\pi}{2}\left\{ \left[x^2\cdot \frac{1}2{\sin 2x}\right]_0^{\pi /2}-\int_0^{\pi /2}x\sin 2x\ dx\right\}$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{7\pi^4}{24}-\frac{\pi^4}{48}-\frac{\pi}{2}\left\{ \left[-x\cdot \frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi /2}+\int_0^{\pi /2}\frac{1}{2}\cos 2x\ dx\right\}$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{13\pi^4}{48}-\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi}{4}\left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi /2}$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{13\pi^4}{48}-\frac{\pi^2}{8}\ }$

　　これもさほど難しくありません。　　

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2015/06/21(日) 23:57:00|

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2003京都大　理系数学3

第３問

　　四面体OABC は次の2つの条件
　　　　　(ⅰ) BC⊥OA、　AC⊥OB、　AB⊥OC
　　　　　(ⅱ) 4つの面の面積がすべて等しい
　　を満たしている。このとき, この四面体は正四面体であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　OからBCに下ろした垂線の足をHとおくと、
　　　OH⊥BC かつ OA⊥BCより平面OAH⊥BCとなる。
　　　よって、OH⊥BC かつ AH⊥BCとなるので、条件(ⅱ)より　
　　　　　　 $\rm \ \triangle OBC=\triangle ABC\ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\ BC\cdot OH=\frac{1}{2}\ BC\cdot AH\ \ \Leftrightarrow\ \ OH=AH$ ．
　　　△HOAは二等辺三角形となるので、OAの中点をMとおくと、
　　　HM⊥OAである。
　　　これとOA⊥BCより、平面MBC⊥OAなので、BM⊥OAであり、
　　　MはOAの中点なので、△BOAは二等辺三角形となる。
　　　よって、OB＝ABが成り立つ。
　　　同様に、OC＝ACも成り立つ。

　　　一方、平面MBC⊥OAより、BM⊥OA かつ CM⊥OAとなり、
　　　(ⅱ)より
　　　　　　 $\rm \ \triangle OAB=\triangle OAC\ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\ OA\cdot BM=\frac{1}{2}\ OA\cdot CM\ \ \Leftrightarrow\ \ BM=CM$ ．
　　　よって、△MBCは二等辺三角形となり、MH⊥BCなので、
　　　HはBCの中点をMである。
　　　これとOH⊥BCより△OBCは二等辺三角形なので、
　　　OB＝OCが成り立つ。
　　　同様に、AB＝ACも成り立つ。

　　　　　

　　　これらと同様に考えると、
　　　OB⊥ACと(ⅱ)より、
　　　　　　　　AO＝AB、 OC＝BC、 OA＝OC、 OB＝CB
　　　OC⊥ABと(ⅱ)より
　　　　　　　　OA＝OB、 AC＝BC、 OB＝CB、 OA＝CA
　　　が成り立つ。

　　　
　　　以上より、
　　　　　　　OA＝OB＝OC＝AB＝BC＝CA
　　　が成り立つので、四面体OABCは正四面体である。

　　計算を使わずに図形の性質のみで解いてみました。
　　まぁ、試験場では普通にベクトル計算した方が確実でしょうが（笑）
　　文系でも同じ問題が出題されていますので、ベクトル計算により解法は
　　そちらに載せることにします。（6月28日アップ予定）

　　　　　　http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1909.html
　　

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2015/06/22(月) 23:57:00|

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2003京都大　理系数学4

第４問

　　多項式 $\rm \left(x^{100}+1 \right)^{100}+\left(x^2+1 \right)^{100}+1$ は多項式 $\rm x^2+x+1$ で割り切れるか。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　方程式 $\rm x^2+x+1=0$ の解は、　
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}$
　　　であり、このうち
　　　　　　　　 $\rm \frac{-1+\sqrt3\ i}{2}=w$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $\rm w^2+w+1=0$ 　　……(ⅰ)
　　　　　　　　 $\rm w^3-1=\left( w-1\right)\left(w^2+w+1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ w^3=1$ 　　……(ⅱ)
　　　が成り立つ。　　　

　　　また、
　　　　　　　　 $\rm w^2=\left(\frac{-1+\sqrt3\ i}{2} \right)^2=\frac{1-2\sqrt3\ i+3i^2}{4}=\frac{-1-\sqrt3\ i}{2}$
　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm x^2+x+1=\left( x-w\right)\left(x-w^2 \right)$
　　　と因数分解できる。

　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm f(x)=\left(x^{100}+1 \right)^{100}+\left(x^2+1 \right)^{100}+1$
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $\rm f(w)=\left(w^{100}+1 \right)^{100}+\left(w^2+1 \right)^{100}+1$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left(w+1 \right)^{100}+\left(w^2+1 \right)^{100}+1$ 　　　←(ⅱ)より
　　　　　　　　　　 $\rm =\left(-w^2 \right)^{100}+\left(-w \right)^{100}+1$ 　　　←(ⅰ)より
　　　　　　　　　　 $\rm =w^{200}+w^{100}+1$
　　　　　　　　　　 $\rm =w^{2}+w+1$ 　　←(ⅱ)より
　　　　　　　　　　 $\rm =0$ 　　←(ⅰ)より

　　　　　　　　 $\rm f(w^2)=\left(w^{200}+1 \right)^{100}+\left(w^4+1 \right)^{100}+1$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left(w^2+1 \right)^{100}+\left(w+1 \right)^{100}+1$ 　　　←(ⅱ)より
　　　　　　　　　　 $\rm =0$ 　　　←f(w)と同様
　　　となるので、f(x)は、x－wとx－w²を因数にもつ。
　　　よって、f(x)は $\rm x^2+x+1$ で割り切れる。

　　1の虚立方根ωに関する問題です。
　　上ではwと書いてますが（笑）　　

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2015/06/23(火) 23:57:00|

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2003京都大　理系数学5

第５問

　　a、b、c、dを実数とする。2次の正方行列A＝ $\rm \begin{pmatrix} \rm a&\rm b \\ \rm c & \rm d \end{pmatrix}$ と2次の単位
　　行列Eに対して、集合L(A)をL(A)＝{rE＋sA｜r、sは実数}とする。
　　このとき次の条件(*)が成立するためのa、b、c、dについての必要
　　十分条件を求めよ。
　　　　(*) L(A)の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm B=r\ E+sA=\begin{pmatrix} \rm r+as&\rm bs \\ \rm cs & \rm r+ds \end{pmatrix}$
　　　より、デターミナントは
　　　　　　　　 $\rm det\ B=\left(r+as\right)\left(r+ds\right)-bcs^2$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\left(ad-bc\right)s^2+\left(a+d\right)rs+r^2$
　　　となる。

　　　(ⅰ) r＝s＝0のときは、明らかにB＝O

　　　(ⅱ) r≠0かつs＝0のとき
　　　　　　　　 $\rm detB=r^2\ne 0$
　　　　　　より、a、b、c、dに関係なくBは逆行列をもつ。

　　　(ⅲ) s≠0のとき
　　　　　　Bが零行列になるのは
　　　　　　　　　 $\rm B=r\ E+sA=O\ \ \Leftrightarrow\ \ A=-\frac{r}{s}\ E$
　　　　　　のときである。

　　　　　　・AがEの実数倍でないとき、Bは零行列にはならないので、
　　　　　　　　「Bが逆行列をもつ」⇔「任意のr、sに対してdetB≠0」
　　　　　　　と考えることができる。
　　　　　　　 $\rm x=\frac{r}{s}$ とおくと、
　　　　　　　　　　 $\rm det\ B=\left(ad-bc\right)s^2+\left(a+d\right)rs+r^2$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =s^2\left\{ \left( \frac{r}{s}\right)^2+\left(a+d \right)\cdot \frac{r}{s}+ad-bc\right\}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =s^2\left\{ x^2+\left(a+d \right)x+ad-bc\right\}$
　　　　　　　と変形できるので、xの方程式
　　　　　　　　　　　 $\rm x^2+\left(a+d \right)x+ad-bc=0$
　　　　　　　が実数解を持たなければよい。判別式を考えると、
　　　　　　　　　　　　 $\rm \left(a+d \right)^2-4\left(ad-bc\right)<0$

　　　　　　・AがEの実数倍であり、Bが零行列ではないとき、
　　　　　　　実数kを用いて
　　　　　　　　　　　　　 $\rm A=kE\ \ \ \left( k\ne -\frac{r}{s}\right)$
　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \rm a&\rm b \\ \rm c & \rm d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rm k&\rm 0 \\ \rm 0 & \rm k \end{pmatrix}$
　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a=d=k\ne -\frac{r}{s}$ 　かつ　 $\rm b=c=0$
　　　　　　　　と表せる。
　　　　　　　　このとき、
　　　　　　　　　　 $\rm det\ B=k^2s^2+2krs+r^2=\left(ks+r \right)^2\ne 0\ \ \ \ \left(\because\ k\ne -\frac{r}{s} \right)$
　　　　　　　　なので、Bは逆行列を持たない。

　　　以上より、(*)を満たすための必要十分条件は
　　　　　　　 $\rm \underline{\ \left(a+d \right)^2-4\left(ad-bc\right)<0\ }$ 　　または　　 $\rm \underline{\ a-d=b=c=0\ }$

　　細かい部分が難しいので、適当に誤魔化して部分点狙いですかね（笑）　　

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2015/06/24(水) 23:57:00|

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2003京都大　理系数学6

第６問

　　nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべての
　　チームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、
　　勝つ確率はすべて $\rm \frac{1}{2}$ で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。
　　このとき、(n－2)勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を
　　求めよ。ただし、nは3以上とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　(n－2)勝1敗の2チームをA、Bとし、AとBの対戦ではAが
　　　勝ったとする。

　　　もし全勝するチームがあったとすると、Bは、Aと全勝チームに
　　　2敗することになり矛盾する。よって、全勝チームは存在せず、
　　　A、B以外のn－2チームはすべて2試合以上負けることになる。

　　　A、B以外のn－2チームのうち、Aに勝ったチームをCとすると、
　　　Cが2試合以上負けるためには、A、B以外のn－3チーム相手に
　　　少なくとも1試合は負ける必要がある。（CはBには負けるので）

　　　Ａ、Ｂ、Ｃ以外のn－3チームは、ＡとＢに負けるため、このn－3
　　　チーム同士の対戦でどのような勝敗になっても必ず2試合以上
　　　負ける。

　　　n個あるチームから、3チームＡ、B、Cを選ぶ方法は_nP₃通り。
　　　Aが、Cに負け、その他のn－2チームに全勝する確率は $\rm \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}$
　　　BがA以外のn－2チーム相手に全勝する確率は $\rm \left( \frac{1}{2}\right)^{n-2}$
　　　CがA、B以外のチームに少なくとも1敗する確率は $\rm 1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n-3}$

　　　以上より、求める確率は、　　
　　　　　　　　　 $\rm _nP_3\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^{n-2}\cdot\left\{1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n-3}\right\}$
　　　　　　　　 $\rm _=\underline{\ \left( \frac{1}{2}\right)^{2n-3}\left\{1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n-3}\right\}n\left(n-1 \right)\left(n-2 \right)\ }$

　　(n－2)勝1敗の2チームの直接対決に注目です。　　

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2015/06/25(木) 23:57:00|

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