第１問
次の4次関数をf(x)とする
f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d
いま、直線y＝px＋qは曲線y＝f(x)と異なる2点で接しているとする。
このとき、
(１) 次のような正数hがあることを示せ。
直線y＝px＋q＋hは曲線y＝f(x)と異なる4点で交わる。
(２) 上の(１)のようなhに対して、直線y＝px＋q＋hと曲線y＝f(x)とで
囲まれた領域のうちで、領域y≦px＋q＋h内にある2つの領域の面
積が等しいことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y＝px＋qとy＝f(x)の2式を連立させると、
x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝px＋q
⇔ x4＋ax3＋bx2＋(c－p)x＋d－q＝0 ……(#)
となり、y＝px＋qとy＝f(x)の2つの接点のx座標を
s、t （s＜t）とすると、(#)はsとtを重解にもつので、
(#)の左辺は、(x－s)2(x－t)2と因数分解できる。
よって、
g(x)＝(x－s)2(x－t)2
とおくと、導関数は
g’(x)＝2(x－s)(x－t)2＋2(x－s)2(x－t)
＝2(x－s)(x－t)(2x－s－t)
となるので、g(x)の増減およびy＝g(x)のグラフは次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0 を満たす正数hを考えると、
曲線y＝g(x)と直線y＝hは異なる4点で交わる。
よって、方程式 x4＋ax3＋bx2＋(c－p)x＋d－q＝h
すなわち x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝px＋q＋hは、
異なる4つの実数解をもつので、直線y＝px＋q＋hは曲線y＝f(x)と
異なる4点で交わる。
(２)
直線y＝px＋q＋hと曲線y＝f(x)の交点のx座標をα、β、γ、δ
（α＜β＜γ＜δ）とおくと、α、β、γ、δは、
方程式 x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝px＋q＋h すなわち
x4＋ax3＋bx2＋(c－p)x＋d－q＝h の4つの実数解となるので、
直線y＝hと曲線y＝g(x)の交点のx座標もα、β、γ、δである。
直線y＝px＋q＋hと曲線y＝f(x)とで囲まれた領域のうちで、
領域y≦px＋q＋h内にある2つの領域の面積を、左からS1、S2とし、
直線y＝hと曲線y＝g(x)とで囲まれた領域のうちで、
領域y≦h内にある2つの領域の面積を、左からT1、T2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1=\int_{\alpha}^{\beta}\bigg\{px+q+h-f\left(x\right)\bigg\}dx=\int_{\alpha}^{\beta}\bigg\{h-g\left(x\right)\bigg\}dx=T_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=\int_{\gamma}^{\delta}\bigg\{px+q+h-f\left(x\right)\bigg\}dx=\int_{\gamma}^{\delta}\bigg\{h-g\left(x\right)\bigg\}dx=T_2\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(\frac{s+t}{2}-x\right)=\left(\frac{s+t}{2}-x-s\right)^2\left(\frac{s+t}{2}-x-t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\frac{-s+t}{2}-x\right)^2\left(\frac{s-t}{2}-x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\frac{s-t}{2}+x\right)^2\left(\frac{-s+t}{2}+x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\frac{s+t}{2}+x-t\right)^2\left(\frac{s+t}{2}+x-s\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =g\left(\frac{s+t}{2}+x\right)\end{align*}}$
が任意のxに対して成り立つので、曲線y＝g(x)は、直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{s+t}{2}\end{align*}}$
について対称である。
よって、T1＝T2となるので、S1＝S2が成り立つ。
(２)をそのまま計算しようとすると死にます。
2000年の問題に似たようなのがあります。
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第２問
hは正の定数で、xyz座標空間において、次の4点A、B、C、Hがある。
$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(1,0,0\right)\ ,\ B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},0\right)\ ,\ C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},0\right)\ ,\ H\left(0,0,h\right)\end{align*}}$
球面Sの中心はｚ軸上にある。さらに、4点A、B、C、Hの2点を通る6つ
の直線はどれも球面Sに接していて、すべての接点は4面体ABCHの
6つの辺上にある。
(１) 球面Sの半径rをhの関数として表せ。
(２) hが範囲h＞0で動くとき、球面Sの半径rの最小値を求めよ。
なお、球面と直線の共通部分が1点になるとき、球面と直線は接して
いるといい、その共有点を接点という。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
三角錐ABCHはxz平面に関して対称なので、
BCの中点を $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\left(-\frac{1}{2},0,0\right)\end{align*}}$ とすると、球Sは
点Mで辺BCと接する。
球Sの中心をP(0，0，p)とし、球Sと辺AHの
接点をNとおく。
△HPN∽△HAOより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{PN}{AO}=\frac{HN}{HO}=\frac{HP}{HA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{r}{1}=\frac{HN}{h}=\frac{h-p}{\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{h-p}{\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf HN=\frac{h^2-hp}{\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
ここで、Sは辺AH上で接するので、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf HN\lt HA\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{h^2-hp}{\sqrt{h^2+1}}\lt\sqrt{h^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p\gt-\frac{1}{h}\ \ \ \left(\because\ h\gt 0\right)\end{align*}}$ ……(ⅲ)
また、△OPMにおいて、PM＝rより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^2=\frac{1}{4}+p^2\end{align*}}$ ……(ⅳ)
また、
(ⅰ)、(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}+p^2=\frac{\left(h-p\right)^2}{h^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4h^2p^2+8hp-3h^2+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{-4h\pm\sqrt{12h^4+12h^2}}{4h^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=-\frac{1}{h}+\frac{\sqrt{3\left(h^2+1\right)}}{2h}\ \ \left(\gt -\frac{1}{h}\right)\end{align*}}$ ←(ⅲ)とh＞0より
これを(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\left\{h-\left(-\frac{1}{h}+\frac{\sqrt{3\left(h^2+1\right)}}{2h}\right)\right\}\cdot\frac{1}{\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2\left(h^2+1\right)-\sqrt{3\left(h^2+1\right)}}{2h\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2\sqrt{h^2+1}-\sqrt3}{2h}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)で得たrをhで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r\ '=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot\frac{1}{2\sqrt{h^2+1}}\cdot 2h-\left(2\sqrt{h^2+1}-\sqrt3\right)\cdot 1}{h^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\sqrt{3\left(h^2+1\right)}-2}{2h^2\sqrt{h^2+1}}\end{align*}}$
となり、r’＝0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{3\left(h^2+1\right)}=2\ \ \Leftrightarrow\ \ h^2+1=\frac{4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ h=\sqrt{\frac{1}{3}}\ \ (\gt 0)\end{align*}}$
のときである。よって、rの増減は次のようになる。
これより、rの最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{min}=\frac{2\sqrt{\frac{1}{3}+1}-\sqrt3}{\frac{2}{\sqrt3}}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
である。
(ⅲ)の条件を忘れないように！
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第３問
無限数列f(1)，f(2)，f(3)，…は次の(ⅰ)～(ⅲ)を満たす。
(ⅰ) 任意の正の整数m、nに対して、f(mn)＝f(m)f(n)が成り立つ。
(ⅱ) 任意の正の整数nに対して、f(n)＜f(n＋1)が成り立つ。
(ⅲ) f(2)＝2
このとき、
(１) 任意の正の整数n、ｋに対して、次のような整数pがあることを示せ。
2p≦nk＜2p+1
(２) 任意の正の整数nに対して、f(n)＝nであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n、kは正の整数なので、nk＞0である。
よって、底2の対数log2nkを定義することができる。
log2nkの整数部分をpとおくと、
p≦log2nk＜p＋1
⇔ p≦klog2n＜p＋1
⇔ 2p≦nk＜2p+1 （∵ 底2＞1）
が成り立つので、題意は示された。
(２)
与えられた条件(ⅰ)より
f(2)＝f(1･2)＝f(1)f(2) ⇔ f(1)＝1
であり、これと条件(ⅱ)より、任意の自然数nに対して
f(n)＞0
が成り立つ。
また、条件(ⅰ)より
f(n2)＝f(nn)＝f(n)f(n)＝{f(n)}2
f(n3)＝f(nn2)＝f(n){f(n)}2＝{f(n)}3
となり、以下も帰納的に考えると、任意の自然数kに対して
f(nk)＝{f(n)}k ……(ⅰ)’
が成り立つ。
(１)の整数pに対して
2p≦nk＜2p+1 ……①
⇔ f(2p)≦f(nk)＜f(2p+1) ←(ⅱ)より
⇔ {f(2)}p≦{f(n)}k＜{f(2)}p+1 ←(ⅰ)’より
⇔ 2p≦{f(n)}k＜2p+1 ←(ⅲ)より ……②
となり、①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2^p}{2^{p+1}}\lt\frac{\left\{f\ (n)\right\}^k}{n^k}\lt\frac{2^{p+1}}{2^p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt\left\{\frac{f\ (n)}{n}\right\}^k\lt2\end{align*}}$ ……(#)
ここで、 f(n)＞0より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{f\ (n)}{n}\lt 1\end{align*}}$ と仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{k\rightarrow\infty}\left\{\frac{f\ (n)}{n}\right\}^k=0\end{align*}}$
となり、(#)に矛盾する。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt\frac{f\ (n)}{n}\end{align*}}$ と仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{k\rightarrow\infty}\left\{\frac{f\ (n)}{n}\right\}^k=+\infty\end{align*}}$
となり、(#)に矛盾する。
よって、任意の自然数nに対して、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ (n)}{n}=1\end{align*}}$ すなわち、
f(n)＝n
が成り立つ。
(２)は、(１)の不等式から上手くpを消去して背理法に持ちこみます。
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第４問
aは正の定数とし、次の2つの曲線C1、C2とする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=x\log x\ \ \left(x\gt 0\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*}\sf C_2:\ y=ax^2\ \ \left(x\gt 0\right)\end{align*}}$
このとき、
(１) 2つの曲線C1、C2が異なる2点を共有するような定数aの範囲を
求めよ。
(２) 2つの曲線C1、C2の共有点のx座標p、q （p＜q）がq＝p2を
満たすとき、定数aおよびp、qを求めよ。
(３) 上の(２)で定めた定数aに対して、2つの曲線C1、C2が囲む領域
の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\log x=ax^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log x}{x}=a\ \ \ \left(\because\ x>0\right)\end{align*}}$ ……(#)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow +0}\ f\ (x)=-\infty\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ (x)=0\end{align*}}$
なので、f(x)の増減およびy＝f(x)のグラフは次のようになる。
2曲線C1、C2が異なる2点を共有する
⇔ (#)が異なる2つの実数解をもつ
⇔ 曲線y＝f(x)と直線y＝aが異なる2点を共有する
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ 0\lt a\lt \frac{1}{e}\ }\end{align*}}$
(２)
題意より、曲線y＝f(x)と直線y＝aの共有点のx座標も
p，qなので、上図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log p}{p}=\frac{\log q}{q}=a\ \ ,\ \ 1\lt p\lt e\lt q\end{align*}}$
であり、これにq＝p2を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log p}{p}=\frac{\log p^2}{p^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2\log p=2p\log p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p\left(p-2\right)\log p=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=2\ \ \ \left(\because\ 1\lt p\lt e\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=\frac{\log 2}{2}\ \ ,\ \ p=2\ \ ,\ \ q=4\ }\end{align*}}$
(３)
2＜x＜4の範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)\gt a\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log x}{x}\gt\frac{\log 2}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\log x\gt\frac{\log 2}{2}\ x^2\end{align*}}$
が常に成り立つので、この範囲でC1はC2の上側にある。
よって、2曲線C1、C2で囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_2^4\left(x\log x-\frac{\log 2}{2}\ x^2\right)dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、部分積分法を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int x\log x\ dx=\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{2}\int x^2\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{2}\int x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{4}x^2+C\end{align*}}$ (C：積分定数)
と計算できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\left[\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{4}x^2-\frac{\log 2}{6}x^3\right]_2^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =8\log 4-4-\frac{32\log 2}{3}-\left(2\log 2-1-\frac{4\log 2}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{14}{3}\log 2-3\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ (x)=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$ は、証明なしで使ってます。
この記事の(２)を参考にしてください。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-387.html
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