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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004京都府立医科大 数学1



第1問

  次の4次関数をf(x)とする
       f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
  いま、直線y=px+qは曲線y=f(x)と異なる2点で接しているとする。
  このとき、

 (1) 次のような正数hがあることを示せ。
     直線y=px+q+hは曲線y=f(x)と異なる4点で交わる。

 (2) 上の(1)のようなhに対して、直線y=px+q+hと曲線y=f(x)とで
    囲まれた領域のうちで、領域y≦px+q+h内にある2つの領域の面
    積が等しいことを示せ。




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2004京都府立医科大 数学2



第2問

  hは正の定数で、xyz座標空間において、次の4点A、B、C、Hがある。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(1,0,0\right)\ ,\ B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},0\right)\ ,\ C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},0\right)\ ,\ H\left(0,0,h\right)\end{align*}}$
  球面Sの中心はz軸上にある。さらに、4点A、B、C、Hの2点を通る6つ
  の直線はどれも球面Sに接していて、すべての接点は4面体ABCHの
  6つの辺上にある。

 (1) 球面Sの半径rをhの関数として表せ。

 (2) hが範囲h>0で動くとき、球面Sの半径rの最小値を求めよ。

  なお、球面と直線の共通部分が1点になるとき、球面と直線は接して
  いるといい、その共有点を接点という。



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2004京都府立医科大 数学3



第3問

  無限数列f(1),f(2),f(3),…は次の(ⅰ)~(ⅲ)を満たす。
   (ⅰ) 任意の正の整数m、nに対して、f(mn)=f(m)f(n)が成り立つ。
   (ⅱ) 任意の正の整数nに対して、f(n)<f(n+1)が成り立つ。
   (ⅲ) f(2)=2
  このとき、

 (1) 任意の正の整数n、kに対して、次のような整数pがあることを示せ。
         2p≦nk<2p+1

 (2) 任意の正の整数nに対して、f(n)=nであることを示せ。



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2004京都府立医科大 数学4



第4問

  aは正の定数とし、次の2つの曲線C1、C2とする。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=x\log x\ \ \left(x\gt 0\right)\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C_2:\ y=ax^2\ \ \left(x\gt 0\right)\end{align*}}$
  このとき、

 (1) 2つの曲線C1、C2が異なる2点を共有するような定数aの範囲を
    求めよ。

 (2) 2つの曲線C1、C2の共有点のx座標p、q (p<q)がq=p2
    満たすとき、定数aおよびp、qを求めよ。

 (3) 上の(2)で定めた定数aに対して、2つの曲線C1、C2が囲む領域
    の面積を求めよ。



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