第4問
k＞0として、解答はすべて数あるいはkを用いた式で示すこと。
(1) 2次関数f(x)=－x2+(k－1)x+kを考える。放物線y=f(x)
の頂点の座標は( ア ， イ )となり、この放物線上の点
(0，f(0))における接線をLとすると、Lの方程式は
y=( ウ )x+ エ となる。
(2) 次に2次関数g(x)=x2+ax+b （a、bは定数）を考える。
放物線y=g(x)が点(k，0)において放物線y=f(x)と接線を
共有するとき、a、bの値はそれぞれ オ 、 カ であり、Lと
放物線y=g(x)との交点のx座標はそれぞれ キ 、 ク と
なる（ただし キ ＜ ク とする）。
(3) さらにLと放物線y=g(x)とで囲まれた部分の面積をSとするとき、
Sをkで表すと ケ となる。また、Lはk= コ のとき放物線
y=g(x)とx軸上で交わり、そのときのSは サ となる。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k-1}{2}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k^2+2k+1}{4}\end{align*}}$ ウ k－1 エ k
オ －3k－1 カ 2k2+k キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2-\sqrt2 \right)k\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2+\sqrt2 \right)k\end{align*}}$
ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8\sqrt2}{3}k^3\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$
【解説】
(1)
関数f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-\left(x- \frac{k-1}{2}\right)^2+\frac{k^2+2k+1}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、放物線y=f(x)の頂点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( \frac{k-1}{2}\ ,\ \frac{k^2+2k+1}{4}\right)\ }\end{align*}}$ ．
また、f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-2x+k-1\end{align*}}$
なので、点(0，k)における接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-k=\left( k-1\right)x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\left(k-1 \right)x+k\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x^2+ax+b\ \ ,\ \ g\ '(x)=2x+a\end{align*}}$
y=g(x)とy=f(x)が点(k，0)で接線を共有するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(k)=g\ '(k)\ \ \Leftrightarrow\ \ \ -2k+k-1=2k+a\ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=-3k-1\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (k)=k^2-\left(3k+1\right)k+b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=2k^2+k\ }\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x^2-\left(3k+1\right)x+2k^2+k\end{align*}}$
となるので、Lとの交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(3k+1\right)x+2k^2+k=\left(k-1 \right)x+k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4kx+2k^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2k\pm\sqrt{2k^2}=\underline{\ \left(2\pm\sqrt2\right)k\ }\ \ \ \left(\because\ k>0\right)\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\left(2-\sqrt2\right)k}^{\left(2+\sqrt2\right)k}\bigg(\left\{\left(k-1 \right)x+k\right\}-\left\{x^2-\left(3k+1\right)x+2k^2+k\right\}\bigg)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{\left(2-\sqrt2\right)k}^{\left(2+\sqrt2\right)k}\left(x^2-4kx+2k^2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(2+\sqrt2\right)k-\left(2-\sqrt2\right)k\right\}^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8\sqrt2}{3}k^3\ }\end{align*}}$
また、Lとy=g(x)がx軸上で交わるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k-1\right)\cdot\left(2+\sqrt2\right)k+k=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\left\{\left(2+\sqrt2\right)k-\left(1-\sqrt2\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}\ (>0)\ }\end{align*}}$
となり、このときのSの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{8\sqrt2}{3}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3=\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$
今年は少し難化していると思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2015
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