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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都薬科大 数学1(1)~(2)



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は既約分数にせよ。

 (1) 2次関数f(x)=ax2+bx+2a2は、x=-1で最大値をとり、
    f(1)=14を満たす。このとき、a= ア  、b= イ  で、
    f(x)の最大値は ウ  である。

 (2) 1つのさいころを1の目が出るまで投げ続ける。ただし、投げる
    回数は最大100回とする。このとき、ちょうどn回(n<100)
    投げてやめる確率は エ  で、投げる回数がn回以下(n<100)
    でやめる確率は オ  である。また、1の目が2回出るまで投げ
    続けるとき(最大100回)、投げる回数がn回以下(n<100)で
    やめる確率は カ  である。


2015京都薬科大 数学1(3)~(5)



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は既約分数にせよ。

 (3) 平面上の△OABにおいて、OA=4、OB=3、cos∠AOB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
    が成立しているとする。このとき、AB= キ  である。また、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\frac{5}{2}\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を満たす点Cをとれば、AC= ク  、cos∠BAC=
     ケ  が成立する。

 (4) 不等式sin2$\small\sf{\theta}$ +sin4$\small\sf{\theta}$ >sin3$\small\sf{\theta}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の範囲は、
     コ  <$\small\sf{\theta}$ < サ  および、 シ  <$\small\sf{\theta}$ < ス  である。
    ただし、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ である。

 (5) ある正の数aを底としたときの、2と5の対数の近似値がそれぞれ
    loga2=0.693、loga5=1.609であるとする。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[4]{10}\end{align*}}$ =1.778
    とする。指数関数y=pa-qx(p、qは正の数)において、x=1のとき
    y=10、x=5のときy=1となるならば、p= セ  、q= ソ 
    である。また、yがちょうどpの半分となるときのxの値は タ 
    ある。なお、解答は小数点以下2桁で示すこと(必要ならば小数第
    3位を四捨五入せよ)。
        


2015京都薬科大 数学2



第2問

  座標平面上にA(6,6)、B(-3,3)、C(2,-2)、D(-6,-6)
  がある。

 (1) △ABCの外心の座標は( ア  イ  )であり、外接円の
    半径は ウ  である。この円をCとする。

 (2) 円C上を動く点Pと点Dに対して、線分DPを1:2に内分する点
    の軌跡は円になる。この円の中心の座標は( エ  オ  )
    であり、半径は カ  である。

 (3) 点Aでの円Cの接線をL1とする。接線L1の方程式は、
    y= キ  x+ ク  であり、L1とx軸の交点Eの座標は
    ( ケ  ,0)である。

 (4) 点Eを通り、円Cに接する直線は2本ありる。L1と異なる接線を
    L2とし、L2は点Fで円Cに接するという。点Fの座標は( コ 
     サ  )であり、L2の方程式はy= シ  x+ ス  である。


2015京都薬科大 数学3



第3問

  漸化式an+2=dan+1-anと条件a1=0、a2=1で定まる数列
  {an}の一般項を、2次方程式と三角関数を用いて求める。
  ここで、dは実数とする。

 (1) 実数$\small\sf{\beta}$ をとり、an=$\small\sf{\beta}$ n-1とおくとき、{an}が漸化式をみたす
    のは、$\small\sf{\beta}$ が2次方程式 ア  =0の解となるときである。

 (2) (1)の2次方程式が相異なる2つの実数解をもつ条件は
    d> イ  またはd< ウ  である。このとき、相異なる2つ
    の実数解を$\small\sf{\beta}$ 1、$\small\sf{\beta}$ 2と表し、an=p$\small\sf{\beta}$ 1n-1+q$\small\sf{\beta}$ 2n-1
    (p、q:任意の実数)とおけば、{an}は漸化式を満たす。
    よって、a1、a2の条件を満たすようにp、qを定めれば、数列の
    一般項はdとnを用いてan= エ  と表される。

 (3) (1)の2次方程式が相異なる2つの虚数解をもつ条件は
     オ  <d< カ  である。三角関数の加法定理より
      cos(n+1)$\small\sf{\theta}$ +cos(n-1)$\small\sf{\theta}$ =2 キ  cos$\small\sf{\theta}$
      sin(n+1)$\small\sf{\theta}$ +sin(n-1)$\small\sf{\theta}$ =2 ク  cos$\small\sf{\theta}$
    が成り立つので、
      an=pcos(n-1)$\small\sf{\theta}$ +qsin(n-1)$\small\sf{\theta}$ (p、q:任意の実数)
    とおき、d= ケ  となるように$\small\sf{\theta}$ を選べば、{an}は漸化式を
    みたす。よって、a1、a2の条件を満たすようにp、qを定めれば、
    数列の一般項は$\small\sf{\theta}$ とnを用いてan= コ  のように表される。




2015京都薬科大 数学4



第4問

  k>0として、解答はすべて数あるいはkを用いた式で示すこと。

 (1) 2次関数f(x)=-x2+(k-1)x+kを考える。放物線y=f(x)
    の頂点の座標は( ア  イ  )となり、この放物線上の点
    (0,f(0))における接線をLとすると、Lの方程式は
    y=( ウ  )x+ エ  となる。

 (2) 次に2次関数g(x)=x2+ax+b (a、bは定数)を考える。
    放物線y=g(x)が点(k,0)において放物線y=f(x)と接線を
    共有するとき、a、bの値はそれぞれ オ  カ  であり、Lと
    放物線y=g(x)との交点のx座標はそれぞれ キ  ク 
    なる(ただし キ  ク  とする)。

 (3) さらにLと放物線y=g(x)とで囲まれた部分の面積をSとするとき、
    Sをkで表すと ケ  となる。また、Lはk= コ  のとき放物線
    y=g(x)とx軸上で交わり、そのときのSは サ  となる。