第1問
一辺の長さがaの正四面体ABCDの体積をaで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
辺BCの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=DM=\frac{\sqrt3}{2}a\end{align*}}$ ．
Aから平面BCDに下ろした垂線の足をHとすると、
Hは△BCDの重心と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf HM=\frac{1}{3}DM=\frac{\sqrt3}{6}a\end{align*}}$ ・
△AHMで三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=\sqrt{\left( \frac{\sqrt3}{2}a\right)^2-\left( \frac{\sqrt3}{6}a\right)^2}=\frac{\sqrt6}{3}a\end{align*}}$ ．
また、△BCDの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCD=\frac{1}{2}a^2\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}a^2\end{align*}}$
なので、四面体ABCDの体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot \frac{\sqrt6}{3}a\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{\sqrt2}{12}a^3\ }\end{align*}}$
まぁ、一度ぐらいは解いたことあるでしょ。
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- 2015/09/01(火) 23:54:00|
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第2問
三角関数の加法定理を用いて、次が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin A=\sin\left(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2} \right)=\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin B=\sin\left(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2} \right)=\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{align*}}$
であり、これら2式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\end{align*}}$
が得られる。
和→積の公式です。
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- 2015/09/01(火) 23:57:00|
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第3問
aを実数として、次の連立不等式を解け。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf x^2-\left(a+2 \right)x+2a\leqq 0 \\ \sf ax^2-\left(a+1 \right)x+a\leqq 0 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
【1つ目の不等式】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(a+2 \right)x+2a=\left(x-a \right)\left(x-2 \right)\leqq 0\end{align*}}$
と変形できるので、解は
・a＜2のとき、a≦x≦2
・a=2のとき、x=2
・a＞2のとき、2≦x≦a
【2つ目の不等式】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2-\left(a+1 \right)x+1=\left(ax-1 \right)\left(x-1 \right)\leqq 0\end{align*}}$
と変形できるので、解は
・a＜0のとき、x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ 、1≦x
・a=0のとき、1≦x
・0＜a＜1のとき、1≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$
・a=1のとき、x=1
・1＜aのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$≦a≦1
ここで、a＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}<2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt a\end{align*}}$
また、a＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}>a\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-1\end{align*}}$
なので、与えられた連立不等式の解は、
(ⅰ) a＜-1のとき、a≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ 、1≦x≦2
(ⅱ) a=-1のとき、x=-1、 1≦x≦2
(ⅲ) -1＜a≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、1≦x≦2
(ⅳ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦a≦1のとき、1≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$
(ⅴ) 1＜aのとき、解なし
となる。
他の3題がかなり易しいので、実質この問題だけで決まったのでは？
細かい場合分けが難しいです。
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- 2015/09/02(水) 23:54:00|
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