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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015浜松医科大 数学1



第1問

  数列{an}は初項a1=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ および漸化式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left( n+2\right)a_n-2\left(n+1 \right)a_{n+1}+\left(n+1 \right)a_na_{n+1}=0\end{align*}}$
  (n=1,2,3,…)を満たす。以下の問いに答えよ。

 (1) a2を求めよ。

 (2) すべての自然数nについてan≠0が成り立つことを証明せよ。

 (3) 数列{an}の一般項を求めよ。

 (4) Sn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\end{align*}}$ akとする。このとき、すべての自然数nについてSn<2
    が成り立つことを証明せよ。



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  1. 2018/10/08(月) 01:07:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大  2015
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2015浜松医科大 数学2



第2問

  整数ではない実数xに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{1}{x-[x]}\end{align*}}$
  と定める。ただし、[x]はL<x<L+1を満たす整数Lを表す。
  以下の問いに答えよ。

 (1) f($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$)、f(f($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$))を計算し、簡潔な形で答えよ。

 (2) f($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$)、f(f($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$))、f(f(f($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$)))を計算し、簡潔な形で答えよ。

 (3) 自然数nに対して、n<x<n+1かつf(x)=xを満たすxを求めよ。

 (4) 自然数nを1つ固定する。n<x<n+1の範囲のxで、f(x)が整数
    ではなく、さらにf(f(x))=xを満たすxを大きい順に並べる。その
    中のxでf(x)=xを満たすものは何番目に表れるかを答えよ。



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2015浜松医科大 数学3



第3問

  tは実数で0<t<$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たすとする。平面上にO(0,0)、
  A(-1,0)、P(cost,sint)、Q(1,sint)をとる。このとき
  以下の問いに答えよ。

 (1) 点Aと点Pを通る直線をL、点Oと点Qを通る直線をmとする。
    このときL、mの交点Rの座標を求めよ。

 (2) tが0<t<$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲全体を動くときに点Rが描く曲線を
    Cとする。このとき、点(x,y)(x>0、y>0)がC上にある
    ための条件をx、yの式で表せ。

 (3) 曲線Cの点Rにおける接線をnとする。あるtに対して直線
    L、mがなす鋭角と直線m、nがなす鋭角が等しくなる。この
    状況のもとで、以下の問いに答えよ。
  (a) 点P(cost,sint)の座標を求めよ。
  (b) 直線Lとnのなす鋭角を$\small\sf{\theta}$ とおく。また、点Oを中心とした
     半径が1の円と直線nとの2交点のうち、y座標が正の点を
     S(cosφ,sinφ)とおく。このとき、$\small\sf{\theta}$ =φを示せ。



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2015浜松医科大 数学4




第4問

  $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{\left(3n+ 1\right)\left(3n+ 2\right)\left(3n+ 3\right)\ldots\left(3n+ n\right)}{\left(n+ 1\right)\left(n+ 2\right)\left(n+ 3\right)\ldots\left(n+ n\right)}\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
  および
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{\left(3n^2+ 1^2\right)\left(3n^2+ 2^2\right)\left(3n^2+ 3^2\right)\ldots\left(3n^2+ n^2\right)}{\left(n^2+ 1^2\right)\left(n^2+ 2^2\right)\left(n^2+ 3^2\right)\ldots\left(n^2+ n^2\right)}\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
  とおく。このとき、$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\beta}$ を示せ。また、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ の値をそれぞれ
  求めよ。




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