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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015筑波大 数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 座標平面において、次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
         x2+y≦1、 x-y≦1

 (2) 2つの放物線y=x2-2x+kとy=-x2+1が共有点
    をもつような実数kの値の範囲を求めよ。

 (3) x、yが(1)の連立不等式を満たすとき、y-x2+2xの最大値および
    最小値と、それらを与えるx、yの値を求めよ。



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  1. 2018/11/06(火) 01:07:00|
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2015筑波大 数学2



第2問

  半径1の円を内接円とする三角形ABCが、辺ABと辺ACの長さが
  等しい二等辺三角形であるとする。辺BC、CA、ACと内接円の
  接点をそれぞれP、Q、Rとする。また、$\small\sf{\alpha}$ =∠CAB、$\small\sf{\beta}$ =∠ABC
  とし、三角形ABCの面積をSとする。

 (1) 線分AQの長さを$\small\sf{\alpha}$ を用いて表し、線分QCの長さを$\small\sf{\beta}$ を用いて
    表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{\beta}{2}\end{align*}}$ とおく。このとき、Sをtを用いて表せ。

 (3) 不等式S≧$\small\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt3\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立する
    のは、三角形ABCが正三角形のときに限ることを示せ。




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2015筑波大 数学3



第3問

  pとqは正の整数とする。2次方程式x2-2px-q=0の2つの
  実数解を$\small\sf{\alpha,\beta}$ とする。ただし、$\small\sf{\alpha\gt\beta}$ とする。数列{an}を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{2}\left(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\right)\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  によって定める。ただし、$\small\sf{\alpha^0=1\ ,\ \beta^0=1}$ と定める。

 (1) すべての自然数nに対して、an+2=2pan+1+qanである
    ことを示せ。

 (2) すべての自然数nに対して、anは整数であることを示せ。

 (3) 自然数nに対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha^{n-1}}{2}\end{align*}}$ 以下の最大の整数をbnとする。
    pとqがq<2p+1を満たすとき、bnをanを用いて表せ。





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2015筑波大 数学4



第4問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log\left(e^x+e^{-x}\right)\end{align*}}$ とおく。曲線y=f(x)の点(t,f(t))における
  接線をLとする。直線Lとy軸の交点のy座標をb(t)とおく。

 (1) 次の等式を示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b\ (t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log\left(1+e^{-2t}\right)\end{align*}}$

 (2) x≧0のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \log\left(1+x\right)\leqq x\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) t≧0のとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b\ (t)\leqq\frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t}\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf b\ (0)=\lim_{x\rightarrow\infty}\int_0^x\frac{4t}{\left(e^t+e^{-t}\right)^2}\ dt\end{align*}}$ であることを示せ。





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2015筑波大 数学5



第5問

  f(x)、g(x)、h(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{2}\left(\cos x-\sin x\right)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{1}{\sqrt2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\sin x\end{align*}}$
  とおく。3つの曲線y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)の0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
  を満たす部分を、それぞれC1、C2、C3とする。

 (1) C2とC3の交点の座標を求めよ。

 (2) C1とC3の交点のx座標を$\small\sf{\alpha}$ とする。sin$\small\sf{\alpha}$ 、cos$\small\sf{\alpha}$ の値を
    求めよ。

 (3) C1、C2、C3によって囲まれる図形の面積を求めよ。





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2015筑波大 数学7



第7問

  a、bは異なる2つの実数とする。座標平面において2点(a,1)、
  (b,1)をそれぞれ点(a2,a)、(b2,b)に移す1次変換を表す
  行列をAとする。自然数nに対し、点Pn(xn,yn)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{1}{0}\ \ ,\ \ \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A\binom{x_n}{y_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  によって定める。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf Q=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b\\ \sf 1 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とおくと、$\small\sf{\begin{align*} \sf AQ=Q\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$ となることを示せ。

 (2) 数列{xn}、{yn}の一般項を求めよ。

 (3) 点P2、P3、P4、…がすべて直線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\ x\end{align*}}$ 上にあるようなa、b
    を1組求め、その時の行列Aを求めよ。





     (注)問題の表記を一部変更しています。




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