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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015千葉大 数学1



第1問

  aを実数とする。xに関する方程式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|x^2-6x-\left|x-6\right|\right|+x=a\end{align*}}$
  の実数解の個数を求めよ。




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  1. 2018/11/11(日) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2015
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2015千葉大 数学2



第2問

  下図のような1辺の長さが4の立方体ABCD-EFGHがある。辺AB
  上に点PをBP=3となるように取り、辺BC上に点Qをとる。また、
  Bから△PFQへ垂線BKを下ろす。BQの長さをaとして、以下の問
  いに答えよ。

 (1) aを用いて△PFQの面積を表せ。

 (2) aを用いてBKの長さを表せ。

 (3) BKの長さは $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{30a}}{5}\end{align*}}$ 以下であることを示せ。


         図02



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2015千葉大 数学3



第3問

  1辺の長さ1の正三角形ABCにおいて、BCを1:2に内分する点をD、
  CAを1:2に内分する点をE、ABを1:2に内分する点をFとし、さらに
  BEとCFの交点をP、CFとADの交点をQ、ADとBEの交点をRとする。
  このとき、△PQRの面積を求めよ。



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2015千葉大 数学4



第4問

  さいころを5回振るとき、初めの4回においては6の目が偶数回
  出て、しかも最後の2回においては6の目がちょうど1回出る確
  率を求めよ。ただし、6の目が一度も出ない場合も6の目が出る
  回数を偶数回とみなす。



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2015千葉大 数学5



第5問

  mを実数とする。xに関する方程式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x^3-3x-\left|x-m\right|=0\end{align*}}$
  の実数解の個数を求めよ。




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2015千葉大 数学6



第6問

  k、m、nを自然数とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 2kを7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った
    余りは2であることを示せ。

 (2) 4m+5nが3で割り切れるとする。このとき、2mnを7で割った
    余りは4ではないことを示せ。



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2015千葉大 数学7



第7問

  bとcをb2+4c>0を満たす実数として、xに関する2次方程式
  x2-bx-c=0の相異なる解を$\small\sf{\alpha,\beta}$ とする。数列{an}を
         $\small\sf{a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}\ \  (n=1,2,3,\cdots)}$
  により定める。このとき、つぎの問いに答えよ。

 (1) 数列{an}は漸化式
         an+2=ban+1+can  (n=1,2,3,…)
    を満たすことを示せ。

 (2) 数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は、
    b、cがともに整数であることである。これを証明せよ。




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2015千葉大 数学8



第8問

  コインをn回続けて投げ、1回投げるごとに次の規則に従って得点
  を得るゲームをする。
    ・コイン投げの第1回目には、1点を得点とする。
    ・コイン投げの第2回目以降において、ひとつ前の回と異なる
     面が出たら、1点を得点とする。
    ・コイン投げの第2回目以降において、ひとつ前の回と同じ面
     が出たら、2点を得点とする。

  例えば、コインを3回投げて(裏、表、裏)の順に出たときの得点は、
  1+1+1=3より3点となる。また(裏、裏、表)のときの得点は、
  1+2+1=4より4点となる。
   コインの表と裏が出る確率はそれぞれ2分の1とし、このゲームで
  得られる得点がmとなる確率をPn,mとおく。このとき、以下の問い
  に答えよ。

 (1) n≧2が与えられたとき、Pn,2n-1とPn,2n-2を求めよ。

 (2) n≦m≦2n-1について、Pn,mをnとmの式で表せ。





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2015千葉大 数学9



第9問

  双曲線x2-y2=1……①の漸近線y=x……② 上の点P0:(a0,a0)
  (ただしa0>0)を通る双曲線①の接線を考え、接点をQ1とする。
  Q1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と、漸近線②との交点を
  P1:(a1,a1)とする。次に、P1を通る双曲線①の接線の接点をQ2
  Q2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と、漸近線②との交点を
  P2:(a2,a2)とする。この手続きを繰り返して同様にしてPn:(an,an)、
  Qnを定義していく。

 (1) Qnの座標をanを用いて表せ。

 (2) anをa0を用いて表せ。

 (3) △PnQnPn-1の面積を求めよ。





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2015千葉大 数学10



第10問

  0以上の整数nに対して、整式Tn(x)を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf T_0\left(x\right)=1\ \ ,\ \ T_1\left(x\right)=x\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf T_n\left(x\right)=2xT_{n-1}\left(x\right)-T_{n-2}\left(x\right)\ \ \ \ \left(n=2,3,4,\ldots\right)\end{align*}}$
  で定める。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 0以上の任意の整数nに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(n\theta\right)=T_n\left(\cos\theta\right)\end{align*}}$
    となることを示せ。

 (2) 定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1T_n\left(x\right)\ dx\end{align*}}$
    の値を求めよ。



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