第1問
平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線OX，OYをとり、
∠XOY＜180°とする．半直線OX上にOと異なる点Aを、半直線
OY上にOと異なる点Bをとり、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
とおく．次の問に答えよ．
(1) 点Cが∠XOYの二等分線上にあるとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は
ある実数tを用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$
と表されることを示せ．
(2) ∠XOYの二等分線と∠XABの二等分線の交点をPとおく．
OA=2、OB=3、AB=4のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて
表せ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA'}=\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB'}=\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC'}=\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\end{align*}}$
とおくと、
OC’はOA’、OB’を隣り合う2辺とする平行四辺形
の対角線となる．
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA'}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB'}\end{align*}}$ はそれぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と同じ向きの
単位ベクトルなので、
OA'=OB'=1．
よって、四角形OA'C'B'はひし形となり、
その対角線OC'は内角A'OB'を二等分する．
よって、∠XOYの二等分線上にある点Cに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)\end{align*}}$
と表すことができる(tは実数)．
単位ベクトルになることに気づけばOKでしょう．
(2)
まず、与えられた条件より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=2\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=3\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=4\end{align*}}$
(1)より、点Pは∠XOYの二等分線上にあるので、
実数tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf b}|}\right)=t\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{2}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{3}\right)\end{align*}}$ ････①
と表せる．
また、点Pは∠XABの二等分線上にあるので、
実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf a}|}+\frac{\overrightarrow{\sf AB}}{|\overrightarrow{\sf AB}|}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}-{\overrightarrow{\sf OA}}=s\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{2}+\frac{\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=s\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}}{4}+\frac{\overrightarrow{\sf b}}{4}\right)+\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、
①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{2}=\frac{s}{4}+1\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{3}=\frac{s}{4}\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
s=8、t=6．
これを①または②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ \overrightarrow{\sf p}=3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$
普通に(1)の結果を使うだけですね．
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- 2011/12/26(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2006
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第2問
実数tに対してxy平面上の直線Lt：y=2tx－t2を考える．
次の問いに答えよ．
(1) 点Pを通る直線Ltはただ1つであるとする．このような点P
の軌跡の方程式を求めよ．
(2) tが|t|≧1の範囲を動くとき、直線Ltが通る点(x，y)の全体
を図示せよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pを(X，Y)とおく．
Ltを通るので、
Y=2ｔX－t2．
tについて整理すると、
t2－2Xt+Y=0 ････①
点Pを通るLtがただ1つであるためには
tについての二次方程式①がただ1つ実数解をもてばよいので、
①の判別式Dを考えると、
D/4=X2－Y=0 ⇔ Y=X2
この式は点P(X，Y)が放物線y=x2上にあることを表している．
よって、点Pの軌跡の方程式は
y=x2
tについての方程式とみなせば、問題ないでしょう．
(2)
Ltが点(X，Y)を通るとすると、(1)と同様に
方程式①が得られる．
t2－2Xt+Y=0 ････①
条件「方程式①が|t|≧1の範囲に実数解をもつ」････(※)
を満たすための(X，Y)に関する条件を求めればよい．
逆に条件(※)を満たさないときを考える．
すなわち、
①が実数解をもたない ････(ア)
または
①の実数解がすべて|t|＜1の範囲にある ････(イ)
の場合を考える．
(ア)の場合
①の判別式Dを考えると、
D/4=X2－Y＜0 ⇔ Y＞X2
(イ)の場合
①の左辺をf(t)とおくと、
f(t)=(t-X)2+Y－X2．
条件(イ)を満たすためには、
y=f(t)のグラフが右図1のように
なればよいので、
・ 判別式D/4=X2－Y≧0 ⇔ Y≦X2
・ 軸 |X|＜1 ⇔ －1＜X＜1
・ f(1)=1－2X+Y＞0 ⇔ Y＞2X－1
・ f(－1)=1+2X+Y＞0 ⇔ Y＞－2X－1
であればよい．
ここで、直線Y=2x－1と放物線Y=X2の交点を
求めておくと、
X2=2X－1
⇔ X2+2X+1=(X+1)2=0
となるので、これらは点(-1，1)で接する．
同様に直線Y=－2x－1と放物線Y=X2は
点(1，1)で接するので、(ア)または(イ)を満たす
(X，Y)の存在範囲を図示すると、
右図2のようになる(境界は含まず)．
よって、題意を満たす点(x，y)の存在範囲を
図示すると、右図3のようになる(境界も含む)．
軸の位置で場合分けをして、条件(※)で直接考えても構いません．
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- 2011/12/27(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2006
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第3問
$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ とする。ただし、iは虚数単位である．次の問に答えよ．
(1) $\small\sf{\alpha}$ を解にもつような2次方程式x2+px+q=0（p、qは実数）を求めよ．
(2) 整数a、b、cを係数とする3次方程式x3+ax2+bx+c=0について、
解の1つは$\small\sf{\alpha}$ であり、また0≦x≦1の範囲に実数解を1つもつとする．
このような整数の組(a，b，c)をすべて求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ がx2+px+q=0の解なので代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\right)^2+p\left(\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\right)+q=0\end{align*}}$ ．
これを展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+3p+2q)+\sqrt7\left( 3+p\right)i=0\end{align*}}$ ．
ここで、p、qは実数なので、
1+3p+2q=0 かつ 3+p=0．
これらを連立させて解くと、
p=－3、q=4
pとqは実数なので、複素数$\scriptsize\sf{\alpha}$ が方程式x2+px+q=0の解であれば、
その共役複素数である $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3-\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ も解となります．
これに気づきさえすれば、解と係数の関係を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} -p=\frac{3+\sqrt7\ i}{2}+\frac{3-\sqrt7\ i}{2}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ p=-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} \ q=\frac{3+\sqrt7\ i}{2}\times\frac{3-\sqrt7\ i}{2}=4}\end{align*}}$
で秒殺です．
(2)
0≦x≦1の範囲にある実数解をtとおくと、
3次方程式x3+ax2+bx+c=0 ････① はtを解にもつので、
①の左辺は、実数P、Qを用いて
(x－t)(x2+Px+Q)=0
と因数分解できる．
さらに、x2+Px+Q=0が$\scriptsize\sf{\alpha}$ を解にもつので、
(1)より、
P=－3、 Q=4
となり、①は
(x－t)(x2－3x+4)=0 ････①’
と表せる．
①’を展開し、①と係数を比較すると、
a=－t－3 ････②
b=3t+4
c=－4t
ここで、②より
t=－a－3
となり、aは整数なので、tも整数となる．
このことと、0≦t≦1であることから考えると、
t=0 または t=1．
よって、
t=0のとき、(a，b，c)=(－3，4，0)
t=1のとき、(a，b，c)=(－4，7，－4)
(2)に関しても、共役複素数$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3-\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$ が解になることに気づけば、
解と係数の関係を用いたスマートな解答になるでしょう．
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/12/28(水) 23:57:00|
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