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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015一橋大 数学1



第1問

  nを2以上の整数とする。n以下の正の整数のうち、nとの最大公約数が
  1となるものの個数をE(n)で表す。たとえば
     E(2)=1、 E(3)=2、 E(4)=2、 …… 、E(10)=4
  である。

 (1) E(1024)を求めよ。

 (2) E(2015)を求めよ。

 (3) mを正の整数とし、pとqを異なる素数とする。n=pmqmのとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{E\ (n)}{n}\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。




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2015一橋大 数学2



第2問

  座標平面上の原点をOとする。点A(a,0)、B(0,b)および点Cが
      OC=1、 AB=BC=CA
  を満たしながら動く。

 (1) s=a2+b2、 t=abとする。sとtの関係を表す式を求めよ。

 (2) △ABCの面積のとりうる値の範囲を求めよ。



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2015一橋大 数学3



第3問

  nを4以上の整数とする。正n角形の2つの頂点を無作為に選び、
  それらを通る直線をLとする。さらに、残りのn-2個の頂点から
  2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線をmとする。直線
  Lとmが平行になる確率を求めよ。



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2015一橋大 数学4



第4問

  xyz空間において、原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を
  点Pが動き、点(0,0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )を中心とするxz平面上の半径1の円周上
  を点Qが動く。

 (1) 線分PQの長さの最小値と、そのときの点P、Qの座標を求めよ。

 (2) 線分PQの長さの最大値と、そのときの点P、Qの座標を求めよ。




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2015一橋大 数学5 [Ⅰ]



第5問 [Ⅰ]

  数列{ak}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_k=k+\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
  で定める。nを正の整数とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k^{\ 2}\end{align*}}$ を求めよ。



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2015一橋大 数学5 [Ⅱ]


第5問

  a、b、cは異なる3つの正の整数とする。次のデータは2つの科目
  XとYの試験を受けた10人の得点をまとめたものである。

   図01

  科目Xの得点の平均値と科目Yの得点の平均値とは等しいとする。

 (1) 科目Xの分散を$\small\sf{\begin{align*} \sf s_X^{\ 2}\end{align*}}$ 、科目Yの得点の分散を$\small\sf{\begin{align*} \sf s_Y^{\ 2}\end{align*}}$ とする。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{s_X^{\ 2}}{s_Y^{\ 2}}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 科目Xの得点と科目Yの得点の相関係数を、四捨五入して小数
    第1位まで求めよ。

 (3) 科目Xの中央値が65、科目Yの標準偏差が11であるとき、a、b、c
    の組を求めよ。



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