第１問
nを2以上の整数とする。n以下の正の整数のうち、nとの最大公約数が
1となるものの個数をE(n)で表す。たとえば
E(2)＝1、 E(3)＝2、 E(4)＝2、 …… 、E(10)＝4
である。
(１) E(1024)を求めよ。
(２) E(2015)を求めよ。
(３) mを正の整数とし、pとqを異なる素数とする。n＝pmqmのとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{E\ (n)}{n}\geqq \frac{1}{3}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1024＝210なので、2の倍数は1024と1以外の公約数をもつ。
1024以下の自然数のうち2の倍数の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1024}{2}=512\end{align*}}$ 個
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(1024\right)=1024-512=\underline{\ 512\ }\end{align*}}$
(２)
2015＝5・13・31なので、5または13または31の倍数は2015と
1以外の公約数をもつ。
2015以下の自然数のうちで、
5の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{5}=403\end{align*}}$ 個
13の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{13}=155\end{align*}}$ 個
31の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{31}=65\end{align*}}$ 個
5・13の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{5\cdot 13}=31\end{align*}}$ 個
13・31の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{13\cdot 31}=5\end{align*}}$ 個
31・5の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{31\cdot 5}=13\end{align*}}$ 個
5・13・31の倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2015}{5\cdot 13\cdot 31}=1\end{align*}}$ 個
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(2015\right)=2015-\left(403+155+65-31-5-13+1\right)=\underline{\ 1440\ }\end{align*}}$
(３)
n＝pmqmなので、pまたはqの倍数はnと1以外の公約数をもつ。
2015以下の自然数のうちで、
pの倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^mq^m}{p}=p^{m-1}q^m\end{align*}}$ 個
qの倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^mq^m}{q}=p^{m}q^{m-1}\end{align*}}$ 個
pqの倍数…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p^mq^m}{pq}=p^{m-1}q^{m-1}\end{align*}}$ 個
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{E(n)}{n}=\frac{n-\left(p^{m-1}q^{m}+p^{m}q^{m-1}-p^{m-1}q^{m-1}\right)}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{p^{m-1}q^{m}+p^{m}q^{m-1}-p^{m-1}q^{m-1}}{p^mq^m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\end{align*}}$ ．
ここで、p、qは異なる素数なので、p＜qとすると、2≦p、3≦qである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{E(n)}{n}=\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\geqq\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
これは易しいですね。
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第２問
座標平面上の原点をOとする。点A(a，0)、B(0，b)および点Cが
OC＝1、 AB＝BC＝CA
を満たしながら動く。
(１) s＝a2＋b2、 t＝abとする。sとtの関係を表す式を求めよ。
(２) △ABCの面積のとりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Cの座標を(X，Y)とおくと、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OC=1\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2=1\end{align*}}$ ･･････①
であり、これを用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=BC=CA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2=\left(X-a\right)^2+Y^2=X^2+\left(Y-b\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2=1-2aX+a^2=1-2bY+b^2\end{align*}}$ ･･････②
と変形できる。
(ⅰ) a≠0 かつ b≠0のとき、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{1-b^2}{2a}\ \ ,\ \ Y=\frac{1-a^2}{2b}\end{align*}}$
となり、これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1-b^2}{2a}\right)^2+\left(\frac{1-a^2}{2b}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^6+b^6-2\left(a^4+b^4\right)+a^2+b^2=4a^2b^2\end{align*}}$ ． ……③
ここで題意より、s＝a2＋b2、 t＝abなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)^3-3a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=s^3-3st^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=s^2-2t^2\end{align*}}$ ．
これらを③に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^3-3st^2-2\left(s^2-2t^2\right)+s=4t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3st^2=s^3-2s^2+s\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^2=s^2-2s+1\ \ \ \ \left(\because\ s=a^2+b^2\ne 0\right)\end{align*}}$ ･･････④
(ⅱ) a＝0のとき、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b^2=1\ \ ,\ \ s=a^2+b^2=1\ \ ,\ \ t=ab=0\end{align*}}$
なので④を満たす。
(ⅲ) b＝0のときも同様に④を満たす。
(ⅰ)～(ⅲ)より、s、tの満たす条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 3t^2=s^2-2s+1\ }\end{align*}}$
である。
(２)
△ABCは正三角形なので、その面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\ AB^2\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\left(a^2+b^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\ s\end{align*}}$ ･･････⑤
と表すことができる。
ここで、a2≧0、b2≧0 なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+b^2\geqq 2\sqrt{a^2b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s\geqq 2\sqrt{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2\geqq 4t^2\end{align*}}$ ．
これと(２)よりtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^2\geqq \frac{4}{3}\left(s^2-2s+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2-8s+4\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4-2\sqrt3\leqq s\leqq 4+2\sqrt3\end{align*}}$ ．
これと⑤より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}\left(4-2\sqrt3\right)\leqq\triangle ABC\leqq\frac{\sqrt3}{4}\left(4+2\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sqrt3-\frac{3}{2}\leqq\triangle ABC\leqq\sqrt3+\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
テキトーに式をいじってたら出ました（笑）
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第３問
nを4以上の整数とする。正n角形の2つの頂点を無作為に選び、
それらを通る直線をLとする。さらに、残りのn－2個の頂点から
2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線をmとする。直線
Lとmが平行になる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正n角形の頂点を順にA0、A1、……、An-1とおくと、
図の対称性より、Lが点A0を通る場合のみを考えればよい。
(Ⅰ) n＝2N－1 （N：3以上の自然数）のとき
(ⅰ) Lが直線A0A2k （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
直線A0A2kと平行な直線は、
A1A2k-1、A2A2k-2、……、Ak-1Ak+1のk－1本と
A2k+1A2N-2、A2k+2A2N-3、……、Ak+N-1Ak+Nの
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n+1}{2}-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{1}{n-2}\end{align*}}$
(ⅱ) Lが直線A0A2k-1 （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
直線A0A2k-1と平行な直線は、
A1A2k-2、A2A2k-3、……、Ak-1Akのk－1本と
A2kA2N-2、A2k+1A2N-3、……、Ak+N-2Ak+Nの
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率も、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{1}{n-2}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、Lとmが平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n-2}=\underline{\ \frac{1}{n-2}\ }\end{align*}}$
(Ⅱ) n＝2N （N：2以上の自然数）のとき
(ⅲ) Lが直線A0A2k （k＝1，2，…，N－1）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{2N-1}=\frac{\frac{n}{2}-1}{n-1}=\frac{n-2}{2\left(n-1\right)}\end{align*}}$ ．
直線A0A2kと平行な直線は、
A1A2k-1、A2A2k-2、……、Ak-1Ak+1のk－1本と
A2k+1A2N-1、A2k+2A2N-2、……、Ak+N-1Ak+N+1の
N－k－1本、合わせてN－2本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-2}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n}{2}-2\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{n-4}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}\end{align*}}$
(ⅳ) Lが直線A0A2k-1 （k＝1，2，…，N）と一致する確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{2N-1}=\frac{\frac{n}{2}}{n-1}=\frac{n}{2\left(n-1\right)}\end{align*}}$ ．
直線A0A2k-1と平行な直線は、
A1A2k-2、A2A2k-3、……、Ak-1Akのk－1本と
A2kA2N-1、A2k+1A2N-2、……、Ak+N-1Ak+Nの
N－k本、合わせてN－1本あるので、
mが直線A0A2kと平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N-1}{_{n-2}C_2}=\frac{2\left(\frac{n}{2}-1\right)}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}=\frac{1}{n-3}\end{align*}}$
(ⅲ)、(ⅳ)より、Lとmが平行になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-2}{2\left(n-1\right)}\cdot\frac{n-4}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}+\frac{n}{2\left(n-1\right)}\cdot\frac{1}{n-3}=\underline{\ \frac{n-2}{\left(n-1\right)\left(n-3\right)}\ }\end{align*}}$
いくら一橋とはいえ、文系でこの問題はキツイでしょうねぇ・・・
他の問題に時間を割いた方が良さそうです。
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- 2018/11/14(水) 02:03:00|
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第４問
xyz空間において、原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を
点Pが動き、点(0，0，$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )を中心とするxz平面上の半径1の円周上
を点Qが動く。
(１) 線分PQの長さの最小値と、そのときの点P、Qの座標を求めよ。
(２) 線分PQの長さの最大値と、そのときの点P、Qの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点(0，0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )をAとし、2つのベクトル$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\ ,\ \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$
（0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ )とする。
△OAPにおいて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AP}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2-2\overrightarrow{\sf AQ}\cdot\overrightarrow{\sf AP}+\left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot \cos\theta+2^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|=\sqrt{5-4\cos\theta}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
(#)が最小になるのは、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝0のときであり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|_{min}=\sqrt{5-4}=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
これは、3点P、Q、Aがこの順に一直線上にあるときであり、
Q、Aはxz平面上にあるので、Pもxz平面上にある必要がある。
そのようなPの座標は、(±1，0，0)である。
またAP＝2、AQ＝1より、QはAPの中点となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\pm 1,0,0\right)\ \ ,\ \ Q\left(\pm\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt3}{2}\right)\ }\end{align*}}$ （複号同順）
(２)
(#)が最大になるのは、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ のときであり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|_{max}=\sqrt{5+4}=\underline{\ 3\ }\end{align*}}$ ．
これは、3点P、A、Qがこの順に一直線上にあるときなので、
(１)と同様、Pの座標は、(±1，0，0)である。
またAP＝2、AQ＝1より、QはAPを1：3に外分する点となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\pm 1,0,0\right)\ \ ,\ \ Q\left(\mp\frac{1}{2},0,\frac{3\sqrt3}{2}\right)\ }\end{align*}}$ （複号同順）
いわゆる三角不等式ってヤツです。
AP≦AQ＋PQ かつ PQ≦AP＋AQ
より、
AP－AQ≦PQ≦AP＋AQ ⇔ 1≦PQ≦3
となります。
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- 2018/11/14(水) 02:04:00|
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第５問 [Ⅰ]
数列{ak}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_k=k+\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
で定める。nを正の整数とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k\end{align*}}$ を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k^{\ 2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
m＝0，1，…，n－1に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=12m+1}^{12m+12}\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=1}^{12}\cos\left\{\frac{\left(12m+k\right)\pi}{6}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{12}\cos\left(2m\pi+\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{12}\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}-1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k=\sum_{k=1}^{12n}\ k+\sum_{k=1}^{12n}\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot 12n\left(12n+1\right)+n\sum_{k=1}^{12}\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 6n\left(12n+1\right)\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k^ {\ 2}=\sum_{k=1}^{12n}\left\{k+\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{12n}\ k^2+2\sum_{k=1}^{12n}k\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)+\sum_{k=1}^{12n}\cos^2\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$ ．
(１)と同様、m＝0，1，…，n－1に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=12m+1}^{12m+12}\cos^2\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{12}\cos^2\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=12m+1}^{12m+12}k\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{12}\left(12m+k\right)\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}\left(12m+1\right)+\frac{1}{2}\left(12m+2\right)+0-\frac{1}{2}\left(12m+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{2}\left(12m+5\right)-\left(12m+6\right)-\frac{\sqrt3}{2}\left(12m+7\right)-\frac{1}{2}\left(12m+8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +0+\frac{1}{2}\left(12m+10\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(12m+11\right)+\left(12m+12\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{12n}\ a_k^ {\ 2}=\frac{1}{6}\cdot 12n\left(12n+1\right)\left(24n+1\right)+2n\sum_{k=1}^{12}k\cos\left(\frac{k\pi}{6}\right)+n\sum_{k=1}^{12}\cos^2\left(\frac{k\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n\left(12n+1\right)\left(24n+1\right)+12n+6n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4n\left(144n^2+18n+5\right)\ }\end{align*}}$
cosの値が周期的に変化することを利用します。
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第５問
a、b、cは異なる3つの正の整数とする。次のデータは2つの科目
XとYの試験を受けた10人の得点をまとめたものである。
科目Xの得点の平均値と科目Yの得点の平均値とは等しいとする。
(１) 科目Xの分散を$\small\sf{\begin{align*} \sf s_X^{\ 2}\end{align*}}$ 、科目Yの得点の分散を$\small\sf{\begin{align*} \sf s_Y^{\ 2}\end{align*}}$ とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{s_X^{\ 2}}{s_Y^{\ 2}}\end{align*}}$ を求めよ。
(２) 科目Xの得点と科目Yの得点の相関係数を、四捨五入して小数
第1位まで求めよ。
(３) 科目Xの中央値が65、科目Yの標準偏差が11であるとき、a、b、c
の組を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
科目Ｘ、Ｙの得点の平均をそれぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{x}\ \ ,\ \ \overline{y}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{x}=\frac{3a+3b+4c}{10}\ \ ,\ \ \overline{y}=\frac{5a+5b}{10}=\frac{a+b}{2}\end{align*}}$
であり、これらが等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3a+3b+4c}{10}=\frac{5a+5b}{10}\ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{a+b}{2}\ \ \left(=\overline{x}=\overline{y}\right)\end{align*}}$ ……(#)
となる。
また、①～⑩10人の科目Ｘ、Ｙの得点をそれぞれ順に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1\ ,\ x_2\ ,\ \ldots \ ,\ x_{10}\end{align*}}$ および $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1\ ,\ y_2\ ,\ \ldots \ ,\ y_{10}\end{align*}}$ とおき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{a-b}{d}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1-\overline{x}=x_3-\overline{x}=x_6-\overline{x}=a-c=\frac{a-b}{2}=d\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_4-\overline{x}=x_5-\overline{x}=x_9-\overline{x}=b-c=-\frac{a-b}{2}=-d\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2-\overline{x}=x_7-\overline{x}=x_8-\overline{x}=x_{10}-\overline{x}=c-c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1-\overline{y}= y_5-\overline{y}= y_6-\overline{y}=y_8-\overline{y}= y_{10}-\overline{y}=a-c=d\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_2-\overline{y}= y_3-\overline{y}= y_4-\overline{y}=y_7-\overline{y}= y_{9}-\overline{y}=b-c=-d\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_x^{\ 2}=\frac{1}{10}\left\{3d^2+3\left(-d\right)^2\right\}=\frac{3}{5}d^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_y^{\ 2}=\frac{1}{10}\left\{5d^2+5\left(-d\right)^2\right\}=d^2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s_x^{\ 2}}{s_y^{\ 2}}=\underline{\ \frac{3}{5}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_xs_y=\frac{1}{10}\left(d^2+0-d^2+d^2-d^2+d^2+0+0+d^2+0\right)=\frac{1}{5}d^2\end{align*}}$
なので、XとYの相関係数をｒとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{s_{xy}}{s_x\ s_y}=\frac{\frac{1}{5}d^2}{\sqrt{\frac{3}{5}d^2}\cdot \sqrt{d^2}}=\frac{1}{\sqrt{15}}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3.8^2=14.44<15<15.21=3.9^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3.8<\sqrt{15}<3.9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0.25<\frac{1}{3.9}<\frac{1}{\sqrt{15}}<\frac{1}{3.8}<0.27\end{align*}}$
なので、四捨五入で小数第1位までの概数にすると、
r≒0.3
(３)
(#)より、a、b、cの大小関係は、a＜c＜b または b＜c＜a
のいずれかなので、Xの中央値を考えると、
c＝65
である。
またYの標準偏差は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_y=\sqrt{d^2}=11\ \ \Leftrightarrow\ \ d=\frac{a-b}{2}=\pm 11\end{align*}}$
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=c+d=65\pm 11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}=c-d=65\mp 11\end{align*}}$ （複号同順）
となるので、題意を満たすa、b、cの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a,b,c\right)=\underline{\ \left(76,54,65\right)\ ,\ \left(54,76,65\right)\ }\end{align*}}$
である。
分散、標準偏差、相関係数の計算の仕方は知ってますか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/14(水) 02:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2015
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