第１問
nを自然数、mを2n以下の自然数とする。1からnまでの自然数が
1つずつ記されたカードが、それぞれの数に対して2枚ずつ、合計
2n枚ある。この中から、m枚のカードを無作為に選んだとき、それ
らに記された数がすべて異なる確率をPn(m)とおく。
ただし、Pn(1)＝1とする。さらに、En(m)＝mPn(m)とおく。この
とき、以下の各問いに答えよ。
(１) P3(2)、P3(3)、P3(4)を求めよ。
(２) E10(m)が最大となるようなmを求めよ。
(３) 自然数nに対し、En(m)＞En(m＋1)を満たす自然数mの最小値
をf(n)とするとき、f(n)をnを用いて表せ。ただし、ガウス記号[ ]
を用いてよい。ここで、実数xに対して、xを超えない最大の整数を
[x]と表す。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
一般のPn(m)を求める。
カードの数は1～nのn種類しかないので、n＋1≦m≦2nのときは、
必ず同じ数が記されたカードを選ぶことになり、Pn(m)＝0．
1≦m≦nの場合、m枚のカードの選び方の総数は2nCm通り。
異なるm個の数の選び方はnCm通りあり、それぞれの数につき2枚
ずつカードがあるので、どちらを選ぶかも考慮に入れると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(m\right)=\frac{_nC_m\cdot 2^m}{_{2n}C_m}\ \ \ \ \left(1\leqq m\leqq n\right)\end{align*}}$
と表される。
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(2\right)=\frac{\ _3C_2\cdot 2^2}{\ _6C_2}=\underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(3\right)=\frac{\ _3C_3\cdot 2^3}{\ _6C_3}=\underline{\ \frac{2}{5}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(4\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(３)
(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_n\left(m\right)=\frac{m\cdot _nC_m\cdot 2^m}{_{2n}C_m}\ \ \ \ \left(1\leqq m\leqq n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_n\left(m\right)=0\ \ \ \ \left(n+1\leqq m\leqq 2n\right)\end{align*}}$
なので、1≦m≦n－1のmに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_n\left(m\right)>E_n\left(m+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{E_n\left(m+1\right)}{E_n\left(m\right)}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(m+1\right)\cdot _nC_{m+1}\cdot 2^{m+1}}{_{2n}C_{m+1}}\cdot\frac{_{2n}C_m}{m\cdot _nC_m\cdot 2^m}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2\left(m+1\right)}{m}\cdot \frac{\frac{n!}{\left(m+1\right)!\left(n-m-1\right)!}}{\frac{n!}{m!\left(n-m\right)!}}\cdot\frac{\frac{\left(2n\right)!}{m!\left(2n-m\right)!}}{\frac{\left(2n\right)!}{\left(m+1\right)!\left(2n-m-1\right)!}}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2\left(m+1\right)}{m}\cdot \frac{n-m}{m+1}\cdot\frac{m+1}{2n-m}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2\left(m+1\right)\left(n-m\right)}{m\left(2n-m\right)}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(m+1\right)\left(n-m\right)\lt m\left(2n-m\right)\ \ \ \ \ \left(\because\ 0\lt m\lt 2n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m^2+2m-2n>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -1+\sqrt{1+2n}\lt m\ \ \ \ \ \left(\because\ 0\lt m<2n\right)\end{align*}}$ ．
これを満たす最小の自然数mの値がf(n)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (n)=\left[-1+\sqrt{1+2n}\right]+1=\underline{\ \left[\sqrt{1+2n}\right]\ }\end{align*}}$
(２)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (10)=\left[\sqrt{1+20}\right]=4\end{align*}}$
となるので、4≦m≦9のmに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{10}\left(m\right)>E_{10}\left(m+1\right)\end{align*}}$
が成り立つ。逆に、1≦m≦3のmに対しては
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{10}\left(m\right)\lt E_{10}\left(m+1\right)\end{align*}}$
であり、11≦m≦20のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{10}\left(m\right)=0\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{10}\left(1\right)\lt E_{10}\left(2\right)\lt E_{10}\left(3\right) \lt E_{10}\left(4\right)>E_{10}\left(5\right)>\ldots >E_{10}\left(10\right)>\ldots\end{align*}}$
なので、E10(m)が最大になるのは、m＝4のときである。
順番通りに(２)→(３)と解いてもいいのですが、二度手間なので
(３)を先に解きました。
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第３問
座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線Cを考える。
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\left|\cos t\right|\cos^3t\ \ ,\ \ y=\left|\sin t\right|\sin^3t\ \ \ \ \left(0\leqq t\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
このとき以下の各問いに答えよ。
(１) 次の条件(＊)を満たす第1象限内の定点Fの座標を求めよ。
(＊) 第1象限内でC上にあるすべての点Pについて、Pから
直線x＋y＝0に下ろした垂線をPHとするとき、つねに
PF＝PHとなる。
(２) 点PがC全体を動くとき、Pと(１)の定点Fを結ぶ線分PFが通過
する領域を図示し、その面積を求めよ。
(３) (２)の領域をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲では
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos^4t\ \ (>0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、点Pは第1象限内にある。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=-4\sin t\cos^3t\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=4\sin^3t\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-\frac{\sin^2t}{\cos^2t}=-\tan^2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{-2\tan t}{\cos^2t}\cdot\left(-\frac{1}{4\sin t\cos^3t}\right)=\frac{1}{2\cos^6t}>0\end{align*}}$
なので、この範囲における曲線Cの概形は次のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt t<\pi\end{align*}}$ の範囲では
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi \lt t<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ の範囲では
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=-\sin^4t\ \ (<0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\pi\lt t<2\pi\end{align*}}$ の範囲では
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos^4t\ \ (>0)\ \ \,\ \ y=-\sin^4t\ \ (<0)\end{align*}}$
これらより、曲線Cの概形は右図のようになる。
(１)
F(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PF=PH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-\cos^4t\right)^2+\left(Y-\sin^4t\right)^2=\left(\frac{\left|\cos^4t+\sin^4t\right|}{\sqrt{1+1}}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^8t+\cos^8t-2\sin^4t\cos^4t-4X\cos^4t-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^4t+\cos^4t=\left(\sin^2t+\cos^2t\right)^2-2\sin^2t\cos^2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-2\sin^2t\cos^2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^8t+\cos^8t=\left(\sin^4t+\cos^4t\right)^2-2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-2\sin^2t\cos^2t\right)^2-2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-4\sin^2t\cos^2t+2\sin^4t\cos^4t\end{align*}}$
なので、上式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-4\sin^2t\cos^2t-4X\cos^4t-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-4\sin^2t\left(1-\sin^2t\right)-4X\left(1-\sin^2t\right)^2-4Y\sin^4t+2X^2+2Y^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4-4X-4Y\right)\sin^4t+\left(8X-4\right)\sin^2t+2X^2+2Y^2-4X+1=0\end{align*}}$
と変形できる。
これが0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の任意のtに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-4X-4Y=8X-4=2X^2+2Y^2-4X+1=0\end{align*}}$
であればよい。これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=Y=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、条件（＊）を満たすような点Fの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ F\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$
である。
(２)
(１)で求めた点Fに対して、点Pが
曲線C全体を
動くとき、線分PFの
通過する領域は、右図のようになる。
線分FA3、FA4がCと交わる点をそれ
ぞれB1、B2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_1\left(-\frac{1}{4}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ B_2\left(\frac{1}{4}\ ,-\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$ ．
この領域を右下図のように分解して面積を
求める。
[水色部分]
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
[緑色部分]
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot 3=\frac{3}{16}\end{align*}}$
[紫色部分]
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot 2=\frac{3}{16}\end{align*}}$
[ピンク色部分]
第2象限内の部分の4倍と考え、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\cos^4t\ \ (<0)\ \ \,\ \ y=\sin^4t\ \ (>0)\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\int_{-\frac{1}{4}}^0\left(y-\frac{1}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\sin^4t\cdot 4\sin t\cos^3t\ dt-4\bigg[\frac{1}{4}x\bigg]_{-\frac{1}{4}}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =16\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\left(\sin^5t-\sin^7 t\right)\cos t\ dt-\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
さらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sin t\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\left(s^5-s^7 \right)\ ds-\frac{1}{4}=16\left[\frac{1}{6}s^6-\frac{1}{8}s^8\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}-\frac{1}{4}=\frac{5}{24}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}+\frac{5}{24}=\underline{\ \frac{13}{12}\ }\end{align*}}$
(３)
(２)の領域のy≦0の部分をx軸について
折り返すと、右図のようになるので、
この図形をx軸の周りに1回転してできる
立体を考える。
右下図のように分解して求めると、
[水色部分]
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1^2\pi\cdot 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
[紫色部分]
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}\right)^2\pi\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{64}\end{align*}}$
[ピンク色部分]
(２)と同様に置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\int_{-\frac{1}{4}}^0y^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\sin^8t\cdot 4\sin t\cos^3t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\int_{3\pi /4}^{\pi /2}\left(\sin^9t-\sin^{11} t\right)\cos t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\left(s^9-s^{11} \right)\ ds\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\pi\left[\frac{1}{10}s^{10}-\frac{1}{12}s^{12}\right]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{19}{320}\pi\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{64}+\frac{19}{320}\pi=\underline{\ \frac{49}{120}\pi\ }\end{align*}}$
計算がイヤになります・・・・
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