FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015東京工業大 数学1



第1問

  数列{an}
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=5\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  で定める。また数列{bn}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_1+2a_2+\ldots +na_n}{1+2+\ldots +n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  と定める。

 (1) 数列{an}の一般項を求めよ。

 (2) すべてのnに対して、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n\leqq 3+\frac{4}{n+1}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/18(日) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015東京工業大 数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=BC=1、AB=AC=xとする。
  頂点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。
  頂点Aから平面OBCに垂線を下ろし、平面OBCとの交点をH’とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=p\overrightarrow{\sf a}+q\overrightarrow{\sf b}+r\overrightarrow{\sf c}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OH'}=s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と
    表す。このとき、p、q、rおよびs、tをxの式で表せ。

 (2) 四面体OABCの体積Vをxの式で表せ。また、xが変化するときのV
    の最大値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/18(日) 01:02:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015東京工業大 数学3



第3問

  a>0とする。曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=e^{-x^2}\end{align*}}$ とx軸、y軸、および直線x=aで囲まれた
  図形を、y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする。

 (1) Aの体積Vを求めよ。

 (2) 点(t,0) (-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の
    面積をS(t)とするとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf S\left(t\right)\leqq\int_{-a}^ae^{-\left(s^2+t^2\right)}ds\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\pi\left(1-e^{-a^2}\right)}\leqq\int_{-a}^ae^{-x^2}dx\end{align*}}$
    を示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/18(日) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015東京工業大 数学4



第4問

  xy平面上を運動する点Pの時刻t (t>0)における座標(x,y)が
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x=t^2\cos t\ \ ,\ \ y=t^2\sin t\end{align*}}$
  で表されている。原点をOとし、時刻tにおけるPの速度ベクトルを
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ (t)とするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\theta\left(t\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ がy軸に平行になるようなt (t>0)のうち、最も小さいもの
    をt1、次に小さいものをt2とする。このとき、不等式t2-t1<$\small\sf{\pi}$
    を示せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/18(日) 01:04:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2015東京工業大 数学5



第5問

  nを相異なる素数p1、p2、…、pk (k≧1)の積とする。a、bをnの
  約数とするとき、a、bの最大公約数をG、最小公倍数をLとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(a,b\right)=\frac{L}{G}\end{align*}}$
  とする。

 (1) f(a,b)がnの約数であることを示せ。

 (2) f(a,b)=bならば、a=1であることを示せ。

 (3) mを自然数とするとき、mの約数であるような素数の個数をS(m)
    とする。S(f(a,b))+S(a)+S(b)が偶数であることを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/18(日) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2015
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0