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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015福島県立医科大 数学1(1)(2)



第1問

  以下の各問いに答えよ。

 (1) ひし形ABCDの一辺の長さは2で、∠ABC=60°である。△ABCの
    外接円をC1、△BCDの外接円をC2とするとき、C1の内部でありかつ
    C2の内部である領域の面積を求めよ。

 (2) 実数を係数とする3次方程式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x^3-2\left(a+b\right)x^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)x-8\sqrt3=0\end{align*}}$
    の3つの解がa、b、cであるという。このような複素数a、b、cを求めよ。



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2015福島県立医科大 数学1(3)(4)



第1問

  次の各問いに答えよ。

 (3) 曲線y=(x2-4)logx (x>0)とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに
    回転してできる立体の体積を求めよ。

 (4) aを定数とする。0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における2つの関数   
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{a}{2}\sin^2x-\sin x+cos x\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
    について、次の問いに答えよ。
   (ⅰ) y=g(x) (0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )の増減を調べ、
      グラフをかけ。
   (ⅱ) y=f(x) (0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )が2つの極値を
      もつような定数aの値の範囲を求めよ。
   (ⅲ) 定数aが(ⅱ)で求めた範囲にあるとき、y=f(x) (0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )の
      2つの極値の和をaを用いて表せ。



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2015福島県立医科大 数学2



第2問

  下図のような立方体OABC-DEFGにおいて、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
  とする。また、2点P、Qは、四角形ADEFGを含む平面上の点とする。     
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
  として、以下の問いに答えよ。

 (1) 直線OPと直線BQが垂直に交わるとき、x、yの満たす条件を求めよ。
    またこのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf x,y,\overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf c},\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 点Pが四角形DEFGの内部または辺上にあり、直線OPと直線BQが
    垂直に交わるとき、直線OPと直線BQの交点は立方体の内部または
    面上にあることを示せ。

 (3) 2点P、Qが四角形DEFGの内部または辺上にあり、直線OPと直線
    BQが垂直に交わるようなx、yについて、点(x,y)の全体からなる
    領域をxy平面上に図示せよ。

                図04


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2015福島県立医科大 数学3



第3問

  条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
  で定められる実数の列{an}について、以下の問いに答えよ。

 (1) 極限
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$
    が存在したと仮定したとき、aのとりうる値を求めよ。

 (2) 自然数nと(1)で求めたaについて、次の各不等式が成り立つことを
    証明せよ。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ a_{2n}\lt a\lt a_{2n-1}\end{align*}}$
    $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ a-a_{2n}\leqq\frac{1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$
    $\small\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ a_{2n-1}-a\leqq\frac{1}{2^{2n-2}}\end{align*}}$


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