第１問
以下の各問いに答えよ。
(１) ひし形ABCDの一辺の長さは2で、∠ABC=60°である。△ABCの
外接円をC1、△BCDの外接円をC2とするとき、C1の内部でありかつ
C2の内部である領域の面積を求めよ。
(２) 実数を係数とする3次方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^3-2\left(a+b\right)x^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)x-8\sqrt3=0\end{align*}}$
の3つの解がa、b、cであるという。このような複素数a、b、cを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABCは正三角形になるので、
外心をOとすると、正弦定理より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=\frac{AB}{2\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
また、AB=AC=AD=2より
△BCDの外心はAとなる。
よって、C1の内部でありかつC2の
内部である領域（水色部分）の面積は
扇形ABC+{扇形OAB-△OAB}×2
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^2\pi\cdot\frac{1}{6}+\left\{ \left( \frac{2}{\sqrt3}\right)^2\pi\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt3} \right)^2\sin 120^{\circ}\right\}\times 2=\underline{\ \frac{14}{9}\pi-\frac{2}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
(２)
3次方程式の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b+c=2\left(a+b \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ c=a+b\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2\end{align*}}$ ……(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abc=8\sqrt3\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab+b\left(a+b \right)+a\left(a+b \right)=a^2+b^2+\left(a+b \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab+\left(a+b \right)^2=\left\{\left(a+b \right)^2-2ab\right\}+\left(a+b \right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=\frac{1}{3}\left(a+b \right)^2\end{align*}}$ ……(ⅳ)
(ⅰ)、(ⅳ)を(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf abc=\frac{1}{3}\left(a+b \right)^2\cdot\left(a+b \right)=8\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b \right)^3=24\sqrt3=\left(2\sqrt3 \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a+b=2\sqrt3\ (=c)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{1}{3}\cdot\left(2\sqrt3 \right)^2=4\end{align*}}$ ．
2次方程式の解と係数の関係より、aとbはtについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2\sqrt3\ t+4=0\end{align*}}$
の2解 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt3 \pm i\end{align*}}$ となる。
よって、a、b、cの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\sqrt3\pm i\ \ ,\ \ b=\sqrt3\mp i\ \ ,\ \ c=2\sqrt3\ }\end{align*}}$ （複号同順）
この2問は外せません。
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第１問
次の各問いに答えよ。
(３) 曲線y=(x2-4)logｘ （x＞0）とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに
回転してできる立体の体積を求めよ。
(４) aを定数とする。0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{a}{2}\sin^2x-\sin x+cos x\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(ⅰ) y=g(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の増減を調べ、
グラフをかけ。
(ⅱ) y=f(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）が2つの極値を
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
(ⅲ) 定数aが(ⅱ)で求めた範囲にあるとき、y=f(x) （0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の
2つの極値の和をaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(３)
曲線のx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x^2-4 \right)\log x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\ ,\ 1\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi}=\int_1^2\bigg\{\left(x^2-4 \right)\log x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^2\left(x^4-4x^2+16 \right)\left(\log x \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ \left(\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x \right)\left(\log x \right)^2\right]_1^2-\int_1^2\left(\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x \right)\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\int_1^2\left(\frac{2x^4}{5}-\frac{16x^2}{3}+32 \right)\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\left[\left(\frac{2x^5}{25}-\frac{16x^3}{9}+32x \right)\log x\right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_1^2\left(\frac{2x^5}{25}-\frac{16x^3}{9}+32x \right)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\int_1^2\left(\frac{2x^4}{25}-\frac{16x^2}{9}+32 \right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\left[\frac{2x^5}{125}-\frac{16x^3}{27}+32x \right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\frac{95674}{3375}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\underline{\ \left\{\frac{256}{15}\left(\log 2 \right)^2-\frac{11776}{225}\ \log 2 +\frac{95674}{3375} \right\}\pi\ }\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\frac{a}{2}\sin^2x-\sin x+cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
(ⅰ)
0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、0＜sinｘ＜1、 0＜cosｘ＜1である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{\left(\cos x-\sin x \right)\sin x\cos x-\left(\sin x+\cos x \right)\left(\cos^2x-\sin^2x \right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3x -\cos^3x}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sin x -\cos x\right)\left(\sin^2x+\sin x\cos x +\cos ^2x\right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\sin x -\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)}{\sin x\cos x}\end{align*}}$
これよりg(x)の増減および、曲線y=g(x)の概形は次のようになる。
(ⅱ)
y=f(x)が2つの極値をもつためには、
f(x)=0となるxが2つ存在する必要が
ある。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=a\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=g\ (x)\end{align*}}$
これより、曲線y=g(x)と直線y=aが
異なる2つの共有点をもつので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a>2\sqrt2\end{align*}}$
であればよい。
逆にこのとき、y=g(x)とy=aの2つの共有点のx座標をp、q （ｐ＜ｑ）
とすると、p、qは、方程式f’(x)=0の2解であり、その前後でf’(x)の
符号が変化するので、f(x)は、x=pおよびx=qにおいて極値をとる。
よって、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a>2\sqrt2\ }\end{align*}}$
である。
(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{\pi}{2}-p \right)=a\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\cos p\sin p-\sin p-\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ (p)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{\pi}{2}-p\end{align*}}$ ．
よって、f(x)の極大値と極小値の和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (p)+f (q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}\sin^2p-\sin p+\cos p \right)+\left\{\frac{a}{2}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-p \right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-p \right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-p \right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}\sin^2p-\sin p+\cos p \right)+\left(\frac{a}{2}\cos^2p-\cos p+\sin p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{2}\left(\sin^2p+\cos^2p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{2}\ }\end{align*}}$
(３)数値計算がひたすら面倒臭いです。
(４)(ⅲ) y=g(x)のグラフ対称性に気づかないと厳しいでしょうね。
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第３問
条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots \right)\end{align*}}$
で定められる実数の列{an}について、以下の問いに答えよ。
(１) 極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$
が存在したと仮定したとき、aのとりうる値を求めよ。
(２) 自然数nと(１)で求めたaについて、次の各不等式が成り立つことを
証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ a_{2n}\lt a\lt a_{2n-1}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ a-a_{2n}\leqq\frac{1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ a_{2n-1}-a\leqq\frac{1}{2^{2n-2}}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
極限aが存在したとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{n+1}\end{align*}}$
なので、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2-a_n}=\sqrt{2-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\sqrt{2-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=2-a\ ,\ 0\leqq a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \underline{\ \ a=1\ (>0)\ }\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
数学的帰納法で示す。
(Ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{7}{4}>1\ \ ,\ \ a_2=\sqrt{2-\frac{7}{4}}=\frac{1}{2}<1\end{align*}}$
なので成り立つ。
(Ⅱ) n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k}\lt 1\lt a_{2k-1}\end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+1}=\sqrt{2-a_{2k}}>\sqrt{2-1}=1\end{align*}}$
であり、さらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+2}=\sqrt{2-a_{2k+1}}<\sqrt{2-1}=1\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n}\lt a\lt a_{2n-1}\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)(ⅱ)
(#)より、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a_{n}\leqq 2\end{align*}}$
が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}=1-\sqrt{2-a_{2n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left( 1-\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left( 1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)}{ 1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1-a_{2n-1}}{1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1-\sqrt{2-a_{2n-2}}}{1+\sqrt{2-a_{2n-1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(1-\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}{\left(1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+\sqrt{2-a_{2n-1}}\right)\left(1+\sqrt{2-a_{2n-2}} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+a_{2n}\right)\left(1+a_{2n-1} \right)}\end{align*}}$ ……(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <1-a_{2n-2}\end{align*}}$ ←a2n＞0、a2n-1＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{2n}>a_{2n-2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}=a_2\lt a_4\lt a_6\lt \ldots \lt a_{2n}\lt \ldots\end{align*}}$
となり、これと(２)(ⅰ)より、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\leqq a_{2n}<1\end{align*}}$
が成り立つ。
一方、0＜anより、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^{\ 2}=\left(\sqrt{2-a_n} \right)^2=2-a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=2-a_{n+1}^{\ 2}\end{align*}}$ ……(イ)
なので、(ア)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}=\frac{1-a_{2n-2}}{\left(1+a_{2n}\right)\left\{1+\left(2-a_{2n}^{\ 2} \right)\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\left(1+a_{2n}\right)\left(3-a_{2n}^{\ 2} \right)}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$ ……(ウ)
と変形できる。
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(1+x\right)\left(3-x^2 \right)=-x^3-x^2+3x+3\ \ \ \left(\frac{1}{2}\leqq x<1 \right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-3x^2-2x+3\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)≧4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left(1+a_{2n}\right)\left(1+a_{2n-1} \right)}=\frac{1}{f\left(a_{2n} \right)}\leqq\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
これと(ウ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n-2}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2n-2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{4}\leqq\frac{1}{4}\left(1-a_{2} \right)\end{align*}}$
が成り立ち、これらを辺々かけ合わせると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-a_{2n}\leqq\frac{1}{4^{n-1}}\left(1-a_{2} \right)=\frac{1}{4^{n-1}}\left(1-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n-1}-1=\left(2-a_{2n}^{\ 2} \right)-1\end{align*}}$ ←(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-a_{2n}^{\ 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1+a_{2n} \right)\left(1-a_{2n} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq\frac{1+a_{2n}}{2^{2n-1}}\end{align*}}$ ←(２)(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{1+1}{2^{2n-1}}\end{align*}}$ ←(２)(ⅰ)より a2n＜1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{2n-2}}\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(２)(ⅱ)が大変です・・・
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