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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015札幌医科大 数学1



第1問

  aとcは実数でa>0とする。また、関数f(x)を次式で定義する。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x^2+a\right)\left(x-a^2\right)^2-cx^2\end{align*}}$

 (1) 方程式f(x)=0の異なる実数解の個数を求めよ。

 今後、方程式f(x)=0が3個の異なる実数解を持つ場合のみを
 取り扱う。

 (2) 方程式f(x)=0の3個の異なる実数解をaを用いて表せ。

 (3) y=f(x)のグラフのうちf(x)≧0の部分とx軸で囲まれる図形
    の面積をS(a)とする。このとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\ \frac{S(a)}{a^5}\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2018/10/12(金) 01:09:00|
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2015札幌医科大 数学2



第2問

  pを0≦p≦1をみたす実数とする。1個の白玉と3個の赤玉が
  入っている袋があり、この袋から1個の玉を取り出して、取り
  出した玉に新たに白か赤の玉を1個加えて袋に戻す試行を行
  う。ただし、この試行の際に加えられる新たな玉の色は
    ・確率pで取り出した玉と同じ色
    ・確率1-pで取り出した玉と異なる色
  とする。
  例えば、p=1の場合、第1回目の試行において赤玉が取り出
  されるとき、取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す。
  そして、第1回目の試行が終わったときには、袋の中に1個の
  白玉と4個の赤玉が入っている。第n回目の試行で白玉が取り
  出される確率をqnとする。

 (1) 第n回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり、かつ
    この白玉がn+1回目の試行で取り出される確率をn、p、qn
    を用いて表せ。

 (2) qn+1をn、p、qnを用いて表せ。ただしn+1回目の試行におい
    て、n回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で、n+1
    回目に白玉を取り出す条件付き確率がqnと等しいことを用いて
    よい。

 (3) rn=qn-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とおくとき、rn+1をn、p、rnを用いて表せ。

 (4) p=0、p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 、p=1のときのqnをそれぞれnを用いて表せ。



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2015札幌医科大 数学3



第3問

  三角形ABCの重心をG、内心をIとし、BC=a、CA=b、AB=cとする。
  また直線AIが辺BCと交わる点をDとする。

 (1) 線分BDの長さをa、b、cを用いて表せ。

 (2) 比AI:IDをa、b、cを用いて表せ。

   今後、a+b+c=1とし、三角形BGCの面積をS、三角形BICの面積を
   Tとおく。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ をaを用いて表せ。

 (4) b<a<cとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ のとりうる値の範囲を求めよ。



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2015札幌医科大 数学4



第4問


 (1) 次の不定積分を求めよ。
    ① $\small\sf{\begin{align*} \sf \int t\sin t\ dt\end{align*}}$
    ② $\small\sf{\begin{align*} \sf \int t^2\cos t\ dt\end{align*}}$

  座標平面の原点をOとする。点A(0,1)を中心とし半径1の円C上の
  x≧0の範囲にある点P(xp,yp)に対して、線分OPとx軸の正の部分
  とのなす角を$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とする。また、PにおけるCの接線上に
  点Q(xq,yq)を次の条件をみたすようにとる。
    ・yq≦yp
    ・線分PQの長さは、C上の弧OP(ただし弧全体がx≧0に存在する
     方)の長さに等しい
    ・Pの座標が(0,2)のときはxq=$\small\sf{\pi}$ となるようにQをとる
    ・PがOと一致する場合はQもOとし、$\small\sf{\theta}$ =0とする

 (2) Pの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) Qの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (4) Pが0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、yqの最大値と最小値を求めよ。

 (5) Pが0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、Qの描く曲線とy軸および直線y=2
    で囲まれる部分の面積を求めよ。




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