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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015旭川医科大 数学1



第1問

  f(p,q,r)=p3-q3-27r3-9pqrについて、次の問いに答えよ。

 問1 f(p,q,r)を因数分解せよ。

 問2 等式f(p,q,r)=0 と p2-10q-30r=11との両方を満たす
    正の整数の組(p,q,r)をすべて求めよ。




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2015旭川医科大 数学2 [前半]



第2問

  nを正の整数とする。2n$\small\sf{\pi}$ ≦x≦(2n+1)$\small\sf{\pi}$ の範囲で関数
  f(x)=xsinxを考える。関数f(x)が極大値をとるxをanとし、
  曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする。次の問いに答
  えよ。

 問1 anとbnはそれぞれ唯1つあって、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 2n\pi    を満たすことを示せ。

 問2 以下の極限を求めよ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(a_n-2n\pi\right)\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(b_n-2n\pi\right)\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(3\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\left(b_n\right)\end{align*}}$

 問3 曲線y=f(x) (2n$\small\sf{\pi}$ ≦x≦(2n+1)$\small\sf{\pi}$ )とx軸とで囲まれた
    図形を3つの直線 x=bn、x=2n$\small\sf{\pi}$ +$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、x=anによって
    4つの部分に分ける。その面積を左から順にS1、S2、S3
    S4とするとき、(S3+S4)-(S1+S2)の値を求めよ。

 問4 以下の極限を求めよ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_1\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_3\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(3\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(S_4-S_2\right)\end{align*}}$
         


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2015旭川医科大 数学2 [後半]



第2問

  nを正の整数とする。2n$\small\sf{\pi}$ ≦x≦(2n+1)$\small\sf{\pi}$ の範囲で関数
  f(x)=xsinxを考える。関数f(x)が極大値をとるxをanとし、
  曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする。次の問いに答
  えよ。

 問1 anとbnはそれぞれ唯1つあって、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 2n\pi    を満たすことを示せ。

 問2 以下の極限を求めよ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(a_n-2n\pi\right)\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(b_n-2n\pi\right)\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(3\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\left(b_n\right)\end{align*}}$

 問3 曲線y=f(x) (2n$\small\sf{\pi}$ ≦x≦(2n+1)$\small\sf{\pi}$ )とx軸とで囲まれた
    図形を3つの直線 x=bn、x=2n$\small\sf{\pi}$ +$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、x=anによって
    4つの部分に分ける。その面積を左から順にS1、S2、S3
    S4とするとき、(S3+S4)-(S1+S2)の値を求めよ。

 問4 以下の極限を求めよ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_1\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_3\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(3\right)\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(S_4-S_2\right)\end{align*}}$
         


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2015旭川医科大 数学3



第3問

  曲線C:y=sin2xについて、C上の点(t,sin2t) (0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
  におけるCの接線と直線x=aとの交点をPとする。ただし、aは
  0≦a≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす定数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 問1 点Pのy座標をf(t)とおくとき、f(t)を求めよ。

 問2 関数f(t)の増減を調べ、その最大値と最小値を求めよ。

 問3 tが0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、点(t,sin2t)におけるCの
    接線が通るすべての点のうち、0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ となるものの範囲を
    xy平面に図示せよ。




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2015旭川医科大 数学4



第4問

  四面体OAPQにおいて、∠AOP=∠AOQ=∠POQ=60°、
  OA=1、OP=p、OQ=qとし、頂点Aから平面OPQに下ろした
  垂線をAHとする。ただし、p≦qとする。このとき、次の問いに答
  えよ。

 問1 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ をp、qを用いて表せ。

 問2 AHの長さを求めよ。

 問3 p+q=3、および△APQの面積が1のとき、以下の値を求めよ。
   (1) pq
   (2) p
   (3) 四面体OAPQの体積



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