第１問
f(p，q，r)＝p3－q3－27r3－9pqrについて、次の問いに答えよ。
問１ f(p，q，r)を因数分解せよ。
問２ 等式f(p，q，r)＝0 と p2－10q－30r＝11との両方を満たす
正の整数の組(p，q，r)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
問１
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p,q,r\right)=p^3+\left(-q\right)^3+\left(-3r\right)^3-3\cdot p\cdot\left(-q\right)\cdot\left(-3r\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(p-q-3r\right)\left(p^2+q^2+9r^2+pq-3qr+3rp\right)\ }\end{align*}}$
問２
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p,q,r\right)=\left(p-q-3r\right)\left(p^2+q^2+9r^2+pq-3qr+3rp\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-q-3r\right)\left(2p^2+2q^2+18r^2+2pq-6qr+6rp\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-q-3r\right)\left\{\left(p+q\right)^2+\left(q-3r\right)^2+\left(3r+p\right)^2\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3r=p-q\ \ \ \left(\because\ p,q,r>0\right)\end{align*}}$
より、rを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2-10q-10\left(p-q\right)=11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-10p+11=\left(p-11\right)\left(p+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=11\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q+3r=11\end{align*}}$
となり、q、rは正の整数なので、題意を満たすp、q、rの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p,q,r\right)=\underline{\ \left(11,8,1\right)\ ,\ \left(11,5,2\right)\ ,\ \left(11,2,3\right)\ }\end{align*}}$
公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}\end{align*}}$
および
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}\left\{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right\}}\end{align*}}$
の変形を知らないと無理です。まぁ、医学部受験者にとっては常識ですが。
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- 2018/10/10(水) 01:18:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2015
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第４問
四面体OAPQにおいて、∠AOP＝∠AOQ＝∠POQ＝60°、
OA＝1、OP＝p、OQ＝qとし、頂点Aから平面OPQに下ろした
垂線をAHとする。ただし、p≦qとする。このとき、次の問いに答
えよ。
問１ 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ をp、qを用いて表せ。
問２ AHの長さを求めよ。
問３ p＋q＝3、および△APQの面積が1のとき、以下の値を求めよ。
(１) pq
(２) p
(３) 四面体OAPQの体積
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=1\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|=p\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|=q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{p}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{q}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\frac{pq}{2}\end{align*}}$ ……(#)
問１
(#)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf AQ}=\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(pq-p-q+2\right)\ }\end{align*}}$
問２
Hは平面OPQ上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AH}=-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
と表すことができる。
AH⊥平面OPQより、AH⊥OPかつAH⊥OQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}+s\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2+t\overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{p}{2}+p^2s+\frac{pq}{2}t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2ps+qt-1=0\ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OQ}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+s\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}+t\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{q}{2}+\frac{pq}{2}s+q^2t=0\ \ \Leftrightarrow\ \ ps+2qt-1=0\ \ \left(\because\ q>0\right)\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{3p}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{3q}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AH}\right|^2=\left|-\overrightarrow{\sf OA}+\frac{\overrightarrow{\sf OP}}{3p}+\frac{\overrightarrow{\sf OQ}}{3q}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\frac{\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2}{9p^2}+\frac{\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2}{9q^2}-\frac{2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}}{3p}-\frac{2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}}{3q}+\frac{2\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}}{9pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left|\overrightarrow{\sf AH}\right|=\sqrt{\frac{2}{3}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
問３
(１)
余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2=p^2+1^2-2\cdot p\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ}=p^2-p+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AQ}\right|^2=q^2-q+1\end{align*}}$
となるので、これとp＋q＝3より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle APQ=\frac{1}{2}\sqrt{\left(p^2-p+1\right)\left(q^2-q+1\right)-\frac{1}{4}\left(pq-p-q+2\right)^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(p^2-p+1\right)\left(q^2-q+1\right)-\left(pq-1\right)^2=16\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left\{p^2q^2-pq\left(p+q\right)+\left(p+q\right)^2-pq-\left(p+q\right)+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(pq-1\right)^2=16\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(p^2q^2-4pq+7\right)-\left(p^2q^2-2pq+1\right)=16\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p^2q^2-14pq+11=\left(3pq-11\right)\left(pq-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ pq=\frac{11}{3}\ ,\ 1\end{align*}}$ ．
ここで、p、q＞0なので相加相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q}{2}=\frac{3}{2}=\geqq\sqrt{pq}\ \ \Leftrightarrow\ \ pq\leqq\frac{9}{4}\end{align*}}$ ．
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ pq=1 }\end{align*}}$
(２)
p＋q＝3、pq＝1なので、解と係数の関係より、p、qは
tについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-3t+1=\left(t-\frac{3+\sqrt5}{2}\right)\left(t-\frac{3-\sqrt5}{2}\right)=0\end{align*}}$
の2解である。題意より、p≦qなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{3-\sqrt5}{2}\ }\end{align*}}$
(３)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPQ=\frac{1}{2}pq\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
なので、四面体OAPQの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot\triangle OPQ\cdot AH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt2}{12}\ }\end{align*}}$
計算が面倒ですな。
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- 2018/10/10(水) 01:22:00|
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