第１問
座標平面上の2つの放物線
C1： y＝x2
C2： y＝－x2＋ax＋b
を考える。ただし、a、bは実数とする。
(１) C1とC2が異なる2点で交わるためのa、bに関する条件を
求めよ。
以下、a、bが(１)の条件を満たすとし、C1とC2で囲まれる部分の
面積が9であるとする。
(２) bをaを用いて表せ。
(３) aがすべての実数値をとって変化するとき、放物線C2の頂点が
描く軌跡を座標平面上に図示せよ。
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【解答】
(１)
C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-x^2+ax+b\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-ax-b=0\end{align*}}$ ……(#)
となり、これが異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\underline{\ a^2+8b>0\ }\end{align*}}$
(２)
(#)の2解をp、q （p＞q）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=\frac{a}{2}\ \ ,\ \ pq=-\frac{b}{2}\end{align*}}$ ……(*)
C1、C2の位置関係は右図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_q^p\left\{ \left(-x^2+ax+b \right)-x^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_q^p\left(x-p \right)\left(x-q \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{6}\left(p-q \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(p-q \right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(p+q \right)^2-4pq\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{a}{2} \right)^2-4\cdot\left( -\frac{b}{2}\right)\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{3}\left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{a^2}{4}+2b\right)^{\frac{3}{2}}=27\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2}{4}+2b=27^{\frac{2}{3}}=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=-\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\ }\end{align*}}$
(３)
放物線C2の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\left(x- \frac{a}{2}\right)^2+b+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(x- \frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\end{align*}}$ ←(２)より
と変形できるので、C2の頂点の座標を(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{a}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2X\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{a^2}{8}+\frac{9}{2}\end{align*}}$
これら2式からaを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{\left( 2X\right)^2}{8}+\frac{9}{2}=\frac{X^2}{2}+\frac{9}{2}\end{align*}}$ ．
よって、C2の頂点の軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\end{align*}}$
となり、これを図示すると、右図のようになる。
面積は6分の1公式を使いましょう！
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第２問
1辺の長さが1である正四面体OABCを考える。辺OAの中点をP、
辺OBを2：1に内分する点をQ、辺OCを1：3に内分する点をRとする。
以下の問いに答えよ。
(１) 線分PQの長さと線分PRの長さを求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ の内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ を求めよ．
(３) 三角形PQRの面積を求めよ。
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【解答】
(１)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ OQ=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ OR=\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
△OPQで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2=\left( \frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{2}{3}\right)^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{13}{36}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PQ=\frac{\sqrt{13}}{6}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
△OPRで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR^2=\left( \frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{1}{4}\right)^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{3}{16}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PR=\frac{\sqrt{3}}{4}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\cdot\left( \overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left( \frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}-\frac{1}{8}\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ}-\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ}-\frac{1}{8}\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ}+\frac{1}{4}\cdot 1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{48}\ }\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf PQ} \right|^2\left|\overrightarrow{\sf PR} \right|^2-\left( \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf PR}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{13}{36}\cdot\frac{3}{16}-\left(\frac{5}{48} \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt{131}}{96}\ }\end{align*}}$
(３)の公式は知ってますよね！？
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第３問
袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている。次の操作を
考える。
（操作）袋から1個の玉を取り出し、それが赤玉ならば代わりに
青玉1個を袋に入れ、青玉ならば代わりに赤玉1個を袋
に入れる。袋に入っている3個の玉がすべて青玉になる
とき、硬貨を1枚もらう。
この操作を4回繰り返す。もらう硬貨の総数が1枚であると、もらう
硬貨の総数が2枚である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下はすべて青玉の個数について考える。
1回の操作で、個数が0→1と変化する確率は1である。
他の場合もそれぞれ確率を求めると、
1→0…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 1→2…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
2→1…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 2→3…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
3→2…… 1
(硬貨が１枚のとき)
・青玉の個数が1→2→3→2→1と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{27}\end{align*}}$
・青玉の個数が1→0→1→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot1\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}\end{align*}}$
・青玉の個数が1→2→1→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{8}{81}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{27}+\frac{2}{27}+\frac{8}{81}=\underline{\ \frac{26}{81}\ }\end{align*}}$
(硬貨が2枚のとき)
・青玉の個数が1→2→3→2→3と変化する場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{2}{27}\ }\end{align*}}$
ぜんぶ書きあげていけばOKです。
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第４問
以下の問いに答えよ。
(１) nが正の偶数のとき、2n－1は3の倍数であることを示せ。
(３) pを素数とし、kを0以上の整数とする。2p-1－1＝pkを満たす
p、kの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n＝2m （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n-1=2^{2m}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3+1 \right)^m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3^m+_mC_{m-1}\cdot 3^{m-1}+\ldots +_mC_{2}\cdot 3^{2}+_mC_{1}\cdot 3^{1}+1\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(3^{m-1}+_mC_{m-1}\cdot 3^{m-2}+\ldots +_mC_{2}\cdot 3^{1}+_mC_{1}\right)\end{align*}}$
と変形でき、( )内は整数なので、nが正の偶数のとき、
2n－1は3の倍数である。
(２)
p＝2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^k=2^{2-1}-1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=0\end{align*}}$
素数pが奇数のとき、p－1は偶数なので(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{p-1}-1=p^k\end{align*}}$
は3の倍数になる。
よって、p＝3であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^k=2^{3-1}-1=3\ \ \Leftrightarrow\ \ k=1\end{align*}}$
以上より、題意を満たすp、kの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( p\ ,\ k\right)=\left(2\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(3\ ,\ 1\right)\ }\end{align*}}$
(１)は二項定理を使っています。
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