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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015九州大 理系数学1



第1問

  C1、C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする。
     C1: y=-x2+2x , 0≦x≦2
     C2: y=-x2-2x , -2≦x≦0
  また、aを実数とし、直線y=a(x+4)をLとする。

 (1) 直線LとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ。

  以下、aが(1)の条件を満たすとする。このとき、LとC1で囲まれた領域の
  面積をS1、x軸とC2で囲まれた領域でLの下側にある部分の面積をS2
  する。

 (2) S1をaを用いて表せ。

 (3) S1=S2を満たす実数aが$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に存在することを示せ。
        



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  1. 2018/10/18(木) 01:10:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2015
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2015九州大 理系数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\end{align*}}$ はx>1において単調に減少することを示せ。

 (2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) nを3以上の整数とするとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(\log k\right)^2}<\frac{1}{2}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。




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2015九州大 理系数学3



第3問

  座標空間内に、原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球がある。
  下の概略図のように、y軸の負の方向から仰角 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ で太陽光線が
  当たっている。この太陽光線はベクトル(0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$,-1) に平行で
  ある。球は光を通さないものとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 球のz≧0の部分がxy平面上につくる影を考える。kを
    -1<k<1を満たす実数とするとき、xy平面上の直線x=kに
    おいて、球の外で光が当たらない部分のy座標の範囲をkを用
    いて表せ。

 (2) xy平面上において、球の外で光が当たらない部分の面積を
    求めよ。

 (3) z≧0において、球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ。


       図02


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2015九州大 理系数学4



第4問

  袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている。次の操作を
  繰り返し行う。
   (操作)袋から1個の玉を取り出し、それが赤玉ならば代わりに
       青玉1個を袋に入れ、青玉ならば代わりに赤玉1個を袋
       に入れる。袋に入っている3個の玉がすべて青玉になる
       とき、硬貨を1枚もらう。

 (1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。

 (2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。

 (3) 8回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ。

 (4) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。





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2015九州大 理系数学5



第5問

  以下の問いに答えよ。

 (1) nが正の偶数のとき、2n-1は3の倍数であることを示せ。

 (2) nを自然数とする。2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ。

 (3) p、qを異なる素数とする。2p-1-1=pq2を満たすp、qの組を
    すべて求めよ。



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