第１問
C1、C2をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする。
C1： y＝－x2＋2x ， 0≦x≦2
C2： y＝－x2－2x ， －2≦x≦0
また、aを実数とし、直線y＝a(x＋4)をLとする。
(１) 直線LとC1が異なる2つの共有点をもつためのaの値の範囲を求めよ。
以下、aが(１)の条件を満たすとする。このとき、LとC1で囲まれた領域の
面積をS1、x軸とC2で囲まれた領域でLの下側にある部分の面積をS2と
する。
(２) S1をaを用いて表せ。
(３) S1＝S2を満たす実数aが$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
LとC1の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+2x=a\left(x+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a-2\right)x+4a=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
LとC1が異なる2つの共有点をもつとき、(ⅰ)は0≦x≦2の範囲に
異なる2つの実数解をもつ。
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(a-2\right)^2-4\cdot 4a=a^2-20a+4>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a<10-4\sqrt6\ ,\ 10+4\sqrt6\lt a\end{align*}}$
(ⅰ)の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=4a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=4+2\left(a-2\right)+4a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 0\end{align*}}$
また、f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+\frac{a-2}{2}\right)^2+4a-\left(\frac{a-2}{2}\right)^2\end{align*}}$
と変形できるので、放物線y＝f(x)の軸を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq -\frac{a-2}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\leqq a\leqq 2\end{align*}}$ ．
以上のすべてを満たすようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq a<10-4\sqrt6\ }\end{align*}}$
(２)
(ⅰ)の2解をp、q （p＞q）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-a+2\ \ ,\ \ pq=4a\end{align*}}$
となるので、、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_q^p\left\{-x^2+2x-a\left(x+1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_q^p\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(p-q\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(p+q\right)^2-4pq\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(-a+2\right)^2-4\cdot 4a\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
(３)
LとC2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2-2x=a\left(x+4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a+2\right)x+4a=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、上図のように、明らかにLとC2は2つの共有点をもつ。
(ⅱ)の2解をs、t （s＞t）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t=-a-2\ \ ,\ \ st=4a\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_t^s\left(-x^2-2x\right)dx-\int_t^s\left\{-x^2-2x-a\left(x+1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-2}^0x\left(x+2\right)dx+\int_t^s\left(x-s\right)\left(x-t\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot\left(0+2\right)^3-\frac{1}{6}\left(s-t\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left\{\left(-a-2\right)^2-4\cdot 4a\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=S_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{6}\left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-20a+4\right)^{\frac{3}{2}}+\left(a^2-12a+4\right)^{\frac{3}{2}}-8=0\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅲ)の左辺をh(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (0)=4^{\frac{3}{2}}+4^{\frac{3}{2}}-8=8>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left( \frac{1}{5}\right)=\left( \frac{1}{25}\right)^{\frac{3}{2}}+\left( \frac{41}{25}\right)^{\frac{3}{2}}-8=\frac{41\sqrt{41}-999}{125}<0\ \ \ \left(\because\ \sqrt{41}<7\right)\end{align*}}$
となり、h(a)は連続関数なので、中間値の定理より、
方程式h(a)＝0は0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に実数解をもつ。
よって、S1＝S2を満たす実数aが0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ の範囲に存在する。
6分の1公式連発です！
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第２問
以下の問いに答えよ。
(１) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\end{align*}}$ はx＞1において単調に減少することを示せ。
(２) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(３) nを3以上の整数とするとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k\left(\log k\right)^2}<\frac{1}{2}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\ \ \ \left(x>1\right)\end{align*}}$ とおく。
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{\left(\log x\right)^2+x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}}{x^2\left(\log x\right)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\log x+2}{x^2\left(\log x\right)^3}<0\ \ \ \ \left(\because\ x>1\ ,\ \log x>0 \right)\end{align*}}$
これより、x＞1のときf(x)は単調に減少する。
(２)
t＝logxと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x\left( \log x\right)^2}\ dx=\int\frac{1}{xt^2}\cdot xdt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int\frac{dt}{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{t}+C\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{\log x}+C\ }\end{align*}}$ (C：積分定数)
(２)
kを2以上の整数とする。
(１)より、f(x)はx＞1で単調に減少するので、k≦x≦k＋1
である実数xに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(k+1 \right)\leqq f\left(x \right)\end{align*}}$
が成り立つ。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_k^{k+1}f\left(k+1 \right)dx\leqq \int_k^{k+1}f\left(x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\left(k+1 \right)\leqq \int_k^{k+1}f\left(x \right)dx\end{align*}}$ ．
これはk＝2，3，…，n－1に対してもそれぞれ成り立つので、
和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^{n-1}f\left(k+1 \right)\leqq \sum_{k=2}^{n-1}\int_k^{k+1}f\left(x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=3}^{n}f\left(k \right)\leqq \int_2^{n}f\left(x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k\left(\log k\right)^2}\leqq \int_2^{n}\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{\log x} \right]_2^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\log 2}-\frac{1}{\log n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{1}{\log 2}\ \ \ \ \left( \because\ n\geqq 3\ ,\ \log n>0\right)\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(３) 右図において、長方形の面積の和は
水色部分の面積より小さいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sum_{k=3}^{n}f\left(k \right)\leqq \int_2^{n}f\left(x \right)dx}\end{align*}}$
が成り立ちます。
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第４問
袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている。次の操作を
繰り返し行う。
（操作）袋から1個の玉を取り出し、それが赤玉ならば代わりに
青玉1個を袋に入れ、青玉ならば代わりに赤玉1個を袋
に入れる。袋に入っている3個の玉がすべて青玉になる
とき、硬貨を1枚もらう。
(１) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。
(２) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。
(３) 8回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ。
(４) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下はすべて青玉の個数について考える。
1回の操作で、個数が0→1と変化する確率は1である。
他の場合もそれぞれ確率を求めると、
1→0…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 1→2…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
2→1…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ 2→3…… $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
3→2…… 1
(１)
2回の操作で個数が1→2→3と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{2}{9}\ }\end{align*}}$
(２)
1回の操作で個数は1ずつ変化するので、個数の偶奇
は毎回入れかわる。
よって、初めの状態のが1個（奇数個）なので、操作を
奇数回行うと必ず偶数個になる。硬貨をもらえるのは、
3個(奇数個)のときなので、奇数回目の操作で硬貨を
もらうことはない。
(３)
8回目の操作で初めて硬貨をもらうためには、個数が
1→(0か2)→1→(0か2)→1→(0か2)→1→2→3
と変化すればよい。
1→(0か2)→1の確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{7}{9}\end{align*}}$
1→2→3の確率は、(１)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\end{align*}}$ なので、
8回目の操作で初めて硬貨をもらう確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{7}{9}\right)^3\cdot \frac{2}{9}=\underline{\ \frac{686}{6561}\ }\end{align*}}$
(４)
・2回目の操作のみ硬貨をもらう場合
1→2→3→2→1→(0か2)→1→(0か2)→1
・4回目の操作のみ硬貨をもらう場合
1→(0か2)→1→2→3→2→1→(0か2)→1
・6回目の操作のみ硬貨をもらう場合
1→(0か2)→1→(0か2)→1→2→3→2→1
個数が、3→2→1と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
なので、これらの確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{7}{9}\right)^2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{9} =\frac{196}{2187}\end{align*}}$ ．
これと(３)より、8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど
1枚である確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{196}{2187}\cdot 3+\frac{686}{6561}=\underline{\ \frac{2450}{6561}\ }\end{align*}}$
順番に書きあげていけば規則に気づくはずです。
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第５問
以下の問いに答えよ。
(１) nが正の偶数のとき、2n－1は3の倍数であることを示せ。
(２) nを自然数とする。2n＋1と2n－1は互いに素であることを示せ。
(３) p、qを異なる素数とする。2p-1－1＝pq2を満たすp、qの組を
すべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n＝2m （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n-1=2^{2m}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3+1 \right)^m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3^m+_mC_{m-1}\cdot 3^{m-1}+\ldots +_mC_{2}\cdot 3^{2}+_mC_{1}\cdot 3^{1}+1\right)-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left(3^{m-1}+_mC_{m-1}\cdot 3^{m-2}+\ldots +_mC_{2}\cdot 3^{1}+_mC_{1}\right)\end{align*}}$
と変形でき、( )内は整数なので、nが正の偶数のとき、
2n－1は3の倍数である。
(２)
2n＋1と2n－1が共通の素因数cをもつと仮定すると、
自然数A、B （A＞B）を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n+1=cA\ \ ,\ \ 2^n-1=cB\end{align*}}$
と表すことができる。
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( 2^n+1\right)-\left(2^n-1 \right)=cA-cB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c\left(A-B \right)=2\end{align*}}$ ．
cは素数、A－Bは自然数なので、c＝2となるが、2n＋1
および2n－1は明らかに奇数なので、2を素因数に持たないので
矛盾する。よって、2n＋1と2n－1は互いに素である。
(３)
p＝2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2-1}-1=2q^2\ \ \Leftrightarrow\ \ q^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、これを満たす素数qは存在しない。
よって、素数pは奇数である。
よって、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{p-1}-1=pq^2\end{align*}}$
は3の倍数になるので、p、qのいずれかは3である。
(ⅰ) p＝3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{3-1}-1=3q^2\ \ \Leftrightarrow\ \ q^2=1\end{align*}}$
となり、これを満たす素数qは存在しない。
(ⅱ) q＝3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{p-1}-1=9p\end{align*}}$
p－1は偶数なので、p－1＝2n（n：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{p-1}-1=2^{2n}-1=9p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2^n+1 \right)\left(2^n-1 \right)=9p\end{align*}}$
(２)より、2n＋1と2n－1は互いに素なので、
次の2つの場合が考えられる。
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n+1=9\ \ ,\ \ 2^n-1=p\end{align*}}$ のとき
2式の差および和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9-p=2\ \ \Leftrightarrow\ \ p=7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9+p=2^{n+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^n=8\ \ \Leftrightarrow\ \ n=3\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n+1=p\ \ ,\ \ 2^n-1=9\end{align*}}$ のとき
2式の差および和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p-9=2\ \ \Leftrightarrow\ \ p=11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+9=2^{n+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^n=10\end{align*}}$
となり、これを満たす自然数nは存在しない。
以上より、題意を満たすp、qの組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( p\ ,\ q\right)=\left( 7\ ,\ 3\right)\ }\end{align*}}$
(2n＋1)－(2n－1)＝2を上手く使いましょう！
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