第１問
座標平面上の円C：x2＋(y－1)2＝1と、x軸上の2点P(－a，0)、
Q(b，0)を考える。ただし、a＞0、b＞0、ab≠1とする。点P、Qの
それぞれからCにx軸とは異なる接線を引き、その2つの接線の交
点をRとする。このとき、次の問に答えよ。
(１) 直線QRの方程式を求めよ。
(２) Rの座標をa、bで表せ。
(３) Rのy座標が正であるとき、△PQRの周の長さをTとする。
Tをa、bで表せ。
(４) 2点P、Qが、条件「PQ＝4であり、Rのy座標は正である」を
満たしながら動くとき、Tを最小とするaの値とそのときのTの
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円Cの中心をA(0，1)とおく。
(１)
直線QRの式は、(p，q)≠(0，0)である実数
p、qを用いて 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left(x-b\right)+qy=0\end{align*}}$ ……(ⅰ)
と表すことができる。これがCと接するとき、
中心AからQRまでの距離＝Cの半径
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|-pb+q\right|}{\sqrt{p^2+q^2}}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2p^2-2bpq+q^2=p^2+q^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\left(b^2-1\right)p-2bq\right\}p=0\end{align*}}$
p＝0のとき、QRはx軸と一致する。
よって、p≠0およびb≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{\left(b^2-1\right)p}{2b}\end{align*}}$
となり、これと(ⅰ)より、直線QRの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left(x-b\right)+\frac{\left(b^2-1\right)p}{2b}y=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2bx+\left(b^2-1\right)y-2b^2=0\ }\ \ \ \left(\because\ p\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(ⅰ)’
(２)
(１)と同様に考えると、直線PRの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ -2ax+\left(a^2-1\right)y-2a^2=0\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅰ)’×a＋(ⅱ)×bより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a\left(b^2-1\right)+b\left(a^2-1\right)\right\}y-2ab^2-2a^2b=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b\right)\left(ab-1\right)y=2ab\left(a+b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{2ab}{ab-1}\ \ \ \ \left(\because\ a+b\ne 0\ ,\ ab-1\ne 0\right)\end{align*}}$ ．
これを(ⅱ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2ax+\frac{2ab\left(a^2-1\right)}{ab-1}-2a^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b\left(a^2-1\right)}{ab-1}-a=\frac{a-b}{ab-1}\ \ \ \left(\because\ a\ne 0\right)\end{align*}}$
となるので、点Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(\frac{a-b}{ab-1}\ ,\ \frac{2ab}{ab-1}\right)\ }\end{align*}}$
(３)
題意より、Rのy座標が正のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{ab-1}>0\ \ \Leftrightarrow\ ab-1>0\ \ \ \left(\because\ a,b>0\right)\end{align*}}$ ……(ⅲ)
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle APQ+\triangle AQR+\triangle ARP=\triangle PQR\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\cdot PQ\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot QR\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot RP\cdot 1=\frac{1}{2}\left\{b-(-a)\right\}\cdot\frac{2ab}{ab-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ T=PQ+QR+RP=\underline{\ \frac{2ab\left(a+b\right)}{ab-1}\ }\end{align*}}$
(４)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=a+b=4\end{align*}}$ ……(ⅲ)
なので、これと(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{8ab}{ab-1}=8-\frac{8}{ab-1}\end{align*}}$
と変形でき、(ⅳ)より、Tが最小となるのは、abが
最大になるときである。
(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=a\left(4-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a^2+4a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(a-2\right)^2+4\end{align*}}$
となるので、a＝b＝2のときにTは最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_{min}=\frac{8\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2-1}=\underline{\ \frac{32}{3}\ }\end{align*}}$
面倒ですが、そのまま順に計算していきましょう。
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第２問
数直線上にある1、2、3、4、5の5つの点と1つの石を考える。
石がいずれかの点にあるとき、
・石が点1にあるならば、確率1で点2に移動する
・石が点k （k＝2、3、4）にあるならば、確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k－1に、
確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k＋1に移動する
・石が点5にあるならば、確率1で点4に移動する
という試行を行う。石が点1にある状態から始め、この試行を繰り
返す。試行をn回繰り返した後に、石が点k （k＝1，2，3，4，5）
にある確率をPn(k)とするとき、次の問に答えよ。
(１) n＝6のときの確率P6(k) （k＝1、2、3、4、5）をそれぞれ求
めよ。
(２) 石が移動した先の点に印をつける。（点1には初めから印が
ついているものとする）。試行を6回繰り返した後に、5つの点
すべてに印がついている確率を求めよ。
(３) n≧1のとき、Pn(3)を求めよ。
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【解答】
n回試行を繰り返した後に石がある点の数字をAnと表すことにする。
また、石が初め点1にある状態をn＝0と考える。
(１)
自然数nに対して
・An＝1になるのは、2→1と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(1\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)\end{align*}}$
・An＝2になるのは、1→2または3→2と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(2\right)=P_{n-1}\left(1\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)\end{align*}}$
・An＝3になるのは、2→3または4→3と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(3\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$
・An＝4になるのは、3→4または5→4と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(4\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)+P_{n-1}\left(5\right)\end{align*}}$
・An＝5になるのは、4→5と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(5\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$
これらと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_0\left(1\right)=1\ ,\ P_0\left(2\right)=P_0\left(3\right)=P_0\left(4\right)=P_0\left(5\right)=0\end{align*}}$
を用いて順に計算していくと、Pn(k)の値は下表のようになる。
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_6\left(1\right)=\frac{5}{16}\ ,\ P_6\left(2\right)=0\ ,\ P_6\left(3\right)=\frac{1}{2}\ ,\ P_6\left(4\right)=0\ ,\ P_6\left(5\right)=\frac{3}{16}\ }\end{align*}}$
(２)
6回の試行で5つの点すべてに印がつくためには、
石が点5まで到達する必要があるので、
A4＝5 または A6＝5
となればよい。
ここで、A4＝A6＝5となるのは、A4＝5の後、5→4→5と
石が移動するときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\end{align*}}$
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)+P_6\left(5\right)-\frac{1}{16}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
(１)の表より
・A奇数はすべて偶数
・A偶数はすべて奇数 ……(#)
となるので、nが奇数のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(3\right)=0\end{align*}}$ ．
nが偶数のとき、An＝3となるのは、
・An-2＝1で、1→2→3と移動する
・An-2＝3で、3→2→3と移動する
・An-2＝3で、3→4→3と移動する
・An-2＝5で、5→4→3と移動する
の4つの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(3\right)=1\cdot\frac{1}{2}\ P_{n-2}\left(1\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ P_{n-2}\left(3\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ P_{n-2}\left(3\right)+1\cdot\frac{1}{2}\ P_{n-2}\left(5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg\{P_{n-2}\left(1\right)+P_{n-2}\left(3\right)+P_{n-2}\left(5\right)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←(#)より
以上より、
・nが奇数のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(3\right)=\underline{\ 0}\end{align*}}$
・nが偶数のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(3\right)=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
厳密には(#)を帰納法で証明した方がいいのでしょうが・・・
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第３問
次の問に答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2\end{align*}}$ を計算し、2重根号を用いない形で
表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ とするとき、整数係数の4次
多項式f(x)でf(a)＝0となるもののうち、x4の係数が1である
ものを求めよ。
(３) 8つの実数
$\small\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
（ただし、複号±はすべての可能性にわたる）の中で、(１)で
求めたf(x)に対してf(x)＝0の解となるものをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\sqrt{9+2\sqrt{17}}\ \ ,\ \ q=\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2=\left(9+2\sqrt{17}\right)+\left(9-2\sqrt{17}\right)=18\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\sqrt{\left(9+2\sqrt{17}\right)\left(9-2\sqrt{17}\right)}=\sqrt{13}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p+q\right)^2=p^2+q^2+2pq=\underline{\ 18+2\sqrt{13}\ }\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p-q\right)^2=p^2+q^2-2pq=18-2\sqrt{13}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(２)
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\sqrt{13}=p+q\end{align*}}$
と変形できるので、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-2\sqrt{13}a+13=\left(p+q\right)^2=18+2\sqrt{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-5=2\sqrt{13}\left(1+a\right)\end{align*}}$ ．
さらに両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a^2-5\right)^2=52\left(1+a\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-10a^2+25=52\left(1+2a+a^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-62a^2-104a-27=0\end{align*}}$
となるので、求める4次式f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(x)=x^4-62x^2-104x-27\ }\end{align*}}$
である。
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^4-62x^2-104x-27=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-10x^2+25=52\left(1+2x+x^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2-5\right)^2=52\left(1+x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-5=\pm2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\sqrt{13}x-2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(-2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{18+2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=-2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{18-2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
以上より、4次方程式f(x)＝0の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\ \ (=a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
の4つである。
符号について細心の注意が必要です。
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