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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015名古屋大 文系数学1



第1問

  座標平面上の円C:x2+(y-1)2=1と、x軸上の2点P(-a,0)、
  Q(b,0)を考える。ただし、a>0、b>0、ab≠1とする。点P、Qの
  それぞれからCにx軸とは異なる接線を引き、その2つの接線の交
  点をRとする。このとき、次の問に答えよ。

 (1) 直線QRの方程式を求めよ。

 (2) Rの座標をa、bで表せ。

 (3) Rのy座標が正であるとき、△PQRの周の長さをTとする。
    Tをa、bで表せ。

 (4) 2点P、Qが、条件「PQ=4であり、Rのy座標は正である」を
    満たしながら動くとき、Tを最小とするaの値とそのときのTの
    値を求めよ。



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2015名古屋大 文系数学2



第2問

  数直線上にある1、2、3、4、5の5つの点と1つの石を考える。
  石がいずれかの点にあるとき、
    ・石が点1にあるならば、確率1で点2に移動する
    ・石が点k (k=2、3、4)にあるならば、確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k-1に、
      確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k+1に移動する
    ・石が点5にあるならば、確率1で点4に移動する
  という試行を行う。石が点1にある状態から始め、この試行を繰り
  返す。試行をn回繰り返した後に、石が点k (k=1,2,3,4,5)
  にある確率をPn(k)とするとき、次の問に答えよ。

 (1) n=6のときの確率P6(k) (k=1、2、3、4、5)をそれぞれ求
    めよ。

 (2) 石が移動した先の点に印をつける。(点1には初めから印が
    ついているものとする)。試行を6回繰り返した後に、5つの点
    すべてに印がついている確率を求めよ。

 (3) n≧1のとき、Pn(3)を求めよ。



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2015名古屋大 文系数学3



第3問

  次の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)^2\end{align*}}$ を計算し、2重根号を用いない形で
    表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ とするとき、整数係数の4次
    多項式f(x)でf(a)=0となるもののうち、x4の係数が1である
    ものを求めよ。

 (3) 8つの実数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
    (ただし、複号±はすべての可能性にわたる)の中で、(1)で
    求めたf(x)に対してf(x)=0の解となるものをすべて求めよ。



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