第１問
次の問に答えよ。
(１) 関数f(x)＝x-22x （x≠0）について、f’(x)＞0 となるための
xに関する条件を求めよ。
(２) 方程式2x＝x2は相異なる3個の実数解をもつことを示せ。
(３) 方程式2x＝x2の解で有理数であるものをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{-2}2^x=\frac{2^x}{x^2}\ \ \ \left(x\ne 0\right)\end{align*}}$
の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\log 2\cdot 2^x\cdot x^2-2x\cdot 2^x}{x^4}=\frac{2^x\left\{(\log 2)x-2\right\}}{x^3}\end{align*}}$
であり、2x＞0およびlog2＞0より、
・x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ (\log 2)x-2>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x>\frac{2}{\log 2}\end{align*}}$
・x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ (\log 2)x-2<0\ \ \Leftrightarrow\ \ x<\frac{2}{\log 2}\end{align*}}$
となるので、f’(x)＜0となるxの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x<0\ \ ,\ \ \frac{2}{\log 2}\lt x\ }\end{align*}}$
である。
(２)
(１)の結論と
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ (x)=+\infty\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}\ f\ (x)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow -0}\ f\ (x)=+\infty\end{align*}}$
より、f(x)の増減および曲線y＝f(x)の概形は次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\frac{2^2}{2^2}=1\ \ ,\ \ f\ (4)=\frac{2^4}{4^2}=1\end{align*}}$
なので、曲線y＝f(x)と直線y＝1の位置関係は、
上図のようになる。
y＝f(x)と直線y＝1は異なる3つの共有点をもつので、
方程式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^x}{x^2}=1\end{align*}}$ は異なる3つの実数解をもつ。
よって、方程式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x=x^2\end{align*}}$ ……(#) も異なる3つの実数解をもつ。
(３)
(２)より、(#)の正の実数解はx＝2、4である。
(#)は負の実数解も1つもち、それが有理数であると仮定すると、
負の実数解は、互いに素な自然数m、nを用いて $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{m}{n}\end{align*}}$ と表せる。
これが(#)を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{-\frac{m}{n}}=\left(-\frac{m}{n}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{\frac{m}{n}}=\left(\frac{n}{m}\right)^2\end{align*}}$ ←両辺の逆数をとった
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{m}=\left(\frac{n}{m}\right)^{2n}\end{align*}}$ ←両辺をn乗
2mは自然数なので、右辺も自然数となり、m＝1．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=n^{2n}\end{align*}}$
となり、これを満たす自然数nは存在しない。
よって、負の実数解は有理数ではないので、(#)の有理数解は
x＝2，4
である。
f(2)＝f(4)＝1に気づきましょう！
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第２問
次の問に答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ とするとき、整数係数の4次
多項式f(x)でf(a)＝0となるもののうち、x4の係数が1である
ものを求めよ。
(２) 8つの実数
$\small\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
（ただし、複号±はすべての可能性にわたる）の中で、(１)で
求めたf(x)に対してf(x)＝0の解となるものをすべて求め、
それ以外のものが解でないことを示せ。
(３) (２)で求めたf(x)＝0の解の大小関係を調べ、それらを大きい
順に並べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\sqrt{9+2\sqrt{17}}\ \ ,\ \ q=\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2=\left(9+2\sqrt{17}\right)+\left(9-2\sqrt{17}\right)=18\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\sqrt{\left(9+2\sqrt{17}\right)\left(9-2\sqrt{17}\right)}=\sqrt{13}\end{align*}}$ ．
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\sqrt{13}=p+q\end{align*}}$
と変形できるので、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-2\sqrt{13}a+13=p^2+q^2+2pq=18+2\sqrt{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-5=2\sqrt{13}\left(1+a\right)\end{align*}}$ ．
さらに両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a^2-5\right)^2=52\left(1+a\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-10a^2+25=52\left(1+2a+a^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-62a^2-104a-27=0\end{align*}}$
となるので、求める4次式f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f(x)=x^4-62x^2-104x-27\ }\end{align*}}$
である。
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^4-62x^2-104x-27=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-10x^2+25=52\left(1+2x+x^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2-5\right)^2=52\left(1+x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-5=\pm2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\sqrt{13}x-2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(-2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{18+2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{p^2+q^2+2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\sqrt{\left(p+q\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\left(p+q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-5=-2\sqrt{13}\left(1+x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+2\sqrt{13}x+2\sqrt{13}-5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\sqrt{13}\pm\sqrt{13-\left(2\sqrt{13}-5\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{18-2\sqrt{13}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{p^2+q^2-2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\sqrt{\left(p-q\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\left(p-q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt{13}\pm\left(\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\right)\end{align*}}$
以上より、4次方程式f(x)＝0の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\ \ (=a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
の4つであり、これ以外の数は解となりえない。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16<17<17.64\ \ \Leftrightarrow\ \ 4<\sqrt{17}<4.2\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+p+q>-\sqrt{13}+p-q>\sqrt{13}-p-q>-\sqrt{13}-p+q\end{align*}}$
が成り立つ。
よって、(２)で求めた4数の大小関係は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}>-\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}-\sqrt{9-2\sqrt{17}}>-\sqrt{13}-\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
となる。
何度も $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{9+2\sqrt{17}}\ \ ,\ \ \sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ を書くのは面倒なので、
文字で置き換えましょう！符号については細心の注意が必要です。
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第３問
eを自然対数の底とし、tをt＞eとなる実数とする。このとき、曲線
C：y＝exと直線y＝txは相異なる2点で交わるので、交点のうちx
座標が小さいものをP、大きいものをQとし、P、Qのx座標をそれぞ
れa、b （a＜b）とする。また、PにおけるCの接線とQにおけるCの
接線の交点をRとし、
曲線C、x軸および2直線x＝a、x＝bで囲まれる部分の面積をS1、
曲線Cおよび2直線PR、QRで囲まれる部分の面積をS2
とする。このとき、次の問に答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をaとbを用いて表せ。
(２) a＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e}{t}\end{align*}}$ 、b＜2logｔとなることを示し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。必要ならば、
x＞0のときex＞x2であることを証明なしに用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
P、QはCと直線y＝txの交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^a=ta\ \ ,\ \ e^b=tb\end{align*}}$ ……(#)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_a^be^xdx=\bigg[e^x\bigg]_a^b=e^b-e^a=t\left(b-a\right)\end{align*}}$
一方、Cの導関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=e^x\end{align*}}$ なので、点P、Qに
おけるCの接線はそれぞれ(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-ta=e^a(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=ta\left(x-a+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-tb=e^b(x-b)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=tb\left(x-b+1\right)\end{align*}}$
となり、これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ta\left(x-a+1\right)=tb\left(x-b+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(b-a\right)x=b^2-a^2-\left(b-a\right)\ \ \ \left(\because\ t\ne 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a+b-1\ \ \ \left(\because\ a\ne b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=ta\left\{\left(a+b-1\right)-a+1\right\}=tab\end{align*}}$
S2は、S1から2つの台形ア、イの面積を引いた
ものなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=S_1-\frac{1}{2}\left(ta+tab\right)\left(b-1\right)-\frac{1}{2}\left(tb+tab\right)\left(1-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\left(b-a\right)-\frac{at}{2}\left(b^2-1\right)+\frac{bt}{2}\left(a^2-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t}{2}\left(b-a\right)-\frac{abt}{2}\left(b-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t}{2}\left(b-a\right)\left(1-ab\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}=\underline{\ \frac{1-ab}{2}\ }\end{align*}}$
(２)
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^x}{x}\ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{e^xx-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x\left(x-1\right)}{x^2}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減およびy＝f(x)のグラフの概形は
次のようになる。
t＞eのとき、曲線y＝f(x)と直線y＝tは異なる2点で交わり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^x}{x}=t\ \ \Leftrightarrow\ \ e^x=tx\end{align*}}$
と変形できるので、これらの交点のx座標は、
Cと直線y＝txの交点のx座標a、bと一致する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<1\ \ \Leftrightarrow\ \ e^a\lt e^1\end{align*}}$ ←底e＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ta\lt e\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a<\frac{e}{t}\ }\end{align*}}$ ←0＜tより
また、題意より
x＞0のとき、ex＞x2 ……(ⅰ)
が成り立つので、b＞0に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^b>b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ tb>b^2\end{align*}}$ ←（＃）より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2>tb\end{align*}}$ ←両辺×$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{b}\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2>e^b\end{align*}}$ ←（＃）より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2\log t>b}\end{align*}}$ ←底e＞1より
これらと、a、b＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt ab<\frac{2e\log t}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}-\frac{e\log t}{t}<\frac{1-ab}{2}=\frac{S_2}{S_1}<\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
ここで、t＞eより、logｔ＞１ (＞0)なので(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=e^{\log t}>\left(\log t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{t}>\log t>0\end{align*}}$ ←両辺の平方根
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{t}}>\frac{\log t}{t}>0\end{align*}}$ ←両辺÷t（＞0）
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \frac{1}{\sqrt{t}}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \frac{\log t}{t}=0\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}- \frac{e\log t}{t}\right)=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、(ⅱ)において、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{t\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
(２)は、テキトーに式をいじってたら できました（笑）
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第４問
数直線上にある1、2、3、4、5の5つの点と1つの石を考える。
石がいずれかの点にあるとき、
・石が点1にあるならば、確率1で点2に移動する
・石が点k （k＝2、3、4）にあるならば、確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k－1に、
確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k＋1に移動する
・石が点5にあるならば、確率1で点4に移動する
という試行を行う。石が点1にある状態から始め、この試行を繰り
返す。また、石が移動した先の点に印をつけていく（点1には初め
から印がついているものとする）。このとき、次の問に答えよ。
(１) 試行を6回繰り返した後に、石が点k （k＝1、2、3、4、5）に
ある確率をそれぞれ求めよ。
(２) 試行を6回繰り返した後に、5つの点すべてに印がついている
確率を求めよ。
(３) 試行をn回 （n≧1）繰り返した後に、ちょうど3つの点に印が
ついている確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
n回試行を繰り返した後に石がある点の数字をAn、
An＝k （k＝1、2、…、5）となる確率をPn(k)と表すことにする。
また、石が初め点1にある状態をn＝0と考える。
(１)
自然数nに対して
・An＝1になるのは、2→1と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(1\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)\end{align*}}$
・An＝2になるのは、1→2または3→2と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(2\right)=P_{n-1}\left(1\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)\end{align*}}$
・An＝3になるのは、2→3または4→3と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(3\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(2\right)+\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$
・An＝4になるのは、3→4または5→4と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(4\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(3\right)+P_{n-1}\left(5\right)\end{align*}}$
・An＝5になるのは、4→5と移動してくるときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(5\right)=\frac{1}{2}\ P_{n-1}\left(4\right)\end{align*}}$
これらと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_0\left(1\right)=1\ ,\ P_0\left(2\right)=P_0\left(3\right)=P_0\left(4\right)=P_0\left(5\right)=0\end{align*}}$
を用いて順に計算していくと、Pn(k)の値は下表のようになる。
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_6\left(1\right)=\frac{5}{16}\ ,\ P_6\left(2\right)=0\ ,\ P_6\left(3\right)=\frac{1}{2}\ ,\ P_6\left(4\right)=0\ ,\ P_6\left(5\right)=\frac{3}{16}\ }\end{align*}}$
(２)
6回の試行で5つの点すべてに印がつくためには、
石が点5まで到達する必要があるので、
A4＝5 または A6＝5
となればよい。
ここで、A4＝A6＝5となるのは、A4＝5の後、5→4→5と
石が移動するときなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\end{align*}}$
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4\left(5\right)+P_6\left(5\right)-\frac{1}{16}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
ちょうど3つの点に印がつくのは、石が点3には到達するが、
点4には到達しない場合である。
そのためには、A奇数がすべて2である必要がある。
・このとき、A偶数はすべて1か3となる。
・すべてのA偶数が1となる場合は条件を満たさない
Nを自然数として、
A2N＝2のとき、A2N+2＝2となるためには、
2→1→2 または2→3→2と移動すればよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
A2N-1＝1のとき、A2N+1＝1となるためには、
1→2→1と移動すればよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
(ⅰ) nが奇数のとき
n＝2m－1 （mは2以上の整数）とおくと、
A1＝A3＝……＝A2m-1＝2となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}}\end{align*}}$
A1＝A2m-1＝2かつA2＝A4＝……＝A2m-2＝1となる
確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{m-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}\end{align*}}$
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}}\end{align*}}$
これは、n＝1のときも成り立つ。
(ⅱ) nが偶数のとき
n＝2m （mは自然数）とおくと、
A1＝A3＝……＝A2m-1＝2となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{m-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-2}{2}}\end{align*}}$
A1＝A2m-1＝2かつA2＝A4＝……＝A2m＝1となる
確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^{m}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\end{align*}}$
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-2}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}\end{align*}}$
上手く条件を整理しましょう。
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