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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015名古屋大 理系数学1



第1問

  次の問に答えよ。

 (1) 関数f(x)=x-22x (x≠0)について、f’(x)>0 となるための
    xに関する条件を求めよ。

 (2) 方程式2x=x2は相異なる3個の実数解をもつことを示せ。

 (3) 方程式2x=x2の解で有理数であるものをすべて求めよ。




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  1. 2018/10/23(火) 01:11:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2015
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2015名古屋大 理系数学2



第2問

  次の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt{13}+\sqrt{9+2\sqrt{17}}+\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$ とするとき、整数係数の4次
    多項式f(x)でf(a)=0となるもののうち、x4の係数が1である
    ものを求めよ。

 (2) 8つの実数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{13}\pm\sqrt{9+2\sqrt{17}}\pm\sqrt{9-2\sqrt{17}}\end{align*}}$
    (ただし、複号±はすべての可能性にわたる)の中で、(1)で
    求めたf(x)に対してf(x)=0の解となるものをすべて求め、
    それ以外のものが解でないことを示せ。

 (3) (2)で求めたf(x)=0の解の大小関係を調べ、それらを大きい
    順に並べよ。




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2015名古屋大 理系数学3



第3問

  eを自然対数の底とし、tをt>eとなる実数とする。このとき、曲線
  C:y=exと直線y=txは相異なる2点で交わるので、交点のうちx
  座標が小さいものをP、大きいものをQとし、P、Qのx座標をそれぞ
  れa、b (a<b)とする。また、PにおけるCの接線とQにおけるCの
  接線の交点をRとし、
   曲線C、x軸および2直線x=a、x=bで囲まれる部分の面積をS1
   曲線Cおよび2直線PR、QRで囲まれる部分の面積をS2
  とする。このとき、次の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ をaとbを用いて表せ。

 (2) a<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e}{t}\end{align*}}$ 、b<2logtとなることを示し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。必要ならば、
    x>0のときex>x2であることを証明なしに用いてよい。




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2015名古屋大 理系数学4



第4問

  数直線上にある1、2、3、4、5の5つの点と1つの石を考える。
  石がいずれかの点にあるとき、
    ・石が点1にあるならば、確率1で点2に移動する
    ・石が点k (k=2、3、4)にあるならば、確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k-1に、
      確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で点k+1に移動する
    ・石が点5にあるならば、確率1で点4に移動する
  という試行を行う。石が点1にある状態から始め、この試行を繰り
  返す。また、石が移動した先の点に印をつけていく(点1には初め
  から印がついているものとする)。このとき、次の問に答えよ。

 (1) 試行を6回繰り返した後に、石が点k (k=1、2、3、4、5)に
    ある確率をそれぞれ求めよ。

 (2) 試行を6回繰り返した後に、5つの点すべてに印がついている
    確率を求めよ。

 (3) 試行をn回 (n≧1)繰り返した後に、ちょうど3つの点に印が
    ついている確率を求めよ。



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