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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪市大 文系数学1





第1問

  座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円をCとする。点P(p,q)は
  p2+q2>1をみたすものとする.PからCへ接線を引き、その接点をT(s,t)
  とする.Pを中心としTを通る円をDとして、Dは点A(a,0)を通るものとして、
  次の問いに答えよ.

 (1) (a-p)2=p2-1であることを示せ。

 (2) 0<a<1のときp>1であることを示し、aをpを用いて表せ.



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/12/22(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2011
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2011大阪市大 文系数学2



第2問

  座標空間を運動する3点A、B、Cの時刻tにおける座標をそれぞれ(t,0,t)、
  ($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t,1-2t,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ (1-t))、(-t,-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t,t)とする。原点をOとするとき、
  次の問いに答えよ.ただし、0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を示せ.

 (2) △OABの面積S(t)は t(1-2t)であることを示せ.

 (3) 四面体OABCの体積 V(t)の0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ における最大値を求めよ.



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/12/23(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2011
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2011大阪市立大 文系数学3




第3問

  s,tを実数とし、座標平面上の4点A(-1,0)、B(1,0)、P(0,t)、Q(s,t)を
  考える。次の問いに答えよ.

 (1) 不等式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(1+s)^2+t^2}\geqq\frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$
  が成り立つことを示せ。

 (2) 不等式
       PA+PB≦QA+QB
    が成り立つことを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/12/24(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2011
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2011大阪市立大 文系数学4





第4問

   N、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている.箱から
  無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
  の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2N+2になったら終了する.
  n回取り出して終わる確率をP(n)とし、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
  とおく.次の問に答えよ.

 (1) P(2j)、P(2j+1) (j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ.


 (2) 偶数回取りだして終わる確率
       $\small\sf{\begin{align*} \sf Q=\sum_{j=1}^{N+1}\ P\ (2j)\end{align*}}$
    について、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf Q>\frac{1-2r}{1-r}\end{align*}}$
    となることを示せ.