第1問
座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円をCとする。点P(p，q)は
p2+q2＞1をみたすものとする．PからCへ接線を引き、その接点をT(s，t)
とする．Pを中心としTを通る円をDとして、Dは点A(a，0)を通るものとして、
次の問いに答えよ．
(1) (a－p)2=p2-1であることを示せ。
(2) 0＜a＜1のときp＞1であることを示し、aをpを用いて表せ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Q(q，0)とおいて、△APQで三平方の定理を用いると、
PA2=AQ2+PQ2
=(a-p)2+q2 ･･･①
一方、PTは円Cの接線なので、PT⊥OT．
△OPTで三平方の定理を用いると、
PT2=OP2-OT2
=p2+q2-1 ･･･② （∵ OT=半径1）
ここで、A、Tはともに円D上にあるので、PA=PT．
①、②より
(a-p)2+q2=p2+q2-1
⇔ (a－p)2=p2-1
計算だけでやるよりも、図形的に処理した方が楽ですね。
(2)
(1)の等式を展開して、aについて整理すると、
a2-2pa+1=0 ････③
この③をaについての二次方程式をみなすと、
0＜a＜1の範囲に実数解をもてばよい。
f(a)=a2-2pa+1
とおくと、
f(0)=1＞0
なので、0＜a＜1の範囲に実数解をもつためには
右図のように、f(1)＜0となる必要がある。
f(1)=1-2p+1＜0
⇔ p＞1
解の公式を用いて、③を解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=p\pm\sqrt{p^2-1}\end{align*}}$
右図より、0＜a＜1の範囲にある実数解は、小さい方の解なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ a=p-\sqrt{p^2-1}\ \ }\end{align*}}$
二次方程式の解の配置に関する問題は、グラフで考えましょう。
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- 2011/12/22(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2011
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第2問
座標空間を運動する3点A、B、Cの時刻ｔにおける座標をそれぞれ(t，0，t)、
($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t，1-2t，$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ (1-t))、(-t，-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t，t)とする。原点をＯとするとき、
次の問いに答えよ．ただし、0＜t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を示せ．
(2) △OABの面積S(t)は t(1-2t)であることを示せ．
(3) 四面体OABCの体積 V(ｔ)の0＜t＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ における最大値を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
それぞれの内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=-t^2+0+t^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=-\sqrt2\ t^2-\sqrt2\ t+2\sqrt2\ t^2+\sqrt2\ t-\sqrt2\ t^2=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2=t^2+0+t^2=2t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2=2t^2+(1-2t)^2+2(1-t)^2=8t^2-8t+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\sqrt2\ t^2+0+\sqrt2\ t\ (1-t)=\sqrt2 \ t\end{align*}}$
△OABの面積S(t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OA}|^2|\overrightarrow{\sf OB}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{2t^2 \left(8t^2-8t+3 \right)-\left( \sqrt2\ t\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{2t^2 \left(8t^2-8t+2 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{t^2\left(2t-1\right)^2}\end{align*}}$
ここで、0＜t＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
S(t)=t(1-2t)
この公式は有名ですよね。
(3)
(1)より、OA⊥OCかつOB⊥OCなので、平面OAB⊥OC．
四面体OABCにおいて、△OABを底面とすると、OCが高さになる．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OC}|=\sqrt{t^2+2t^2+t^2}=2t\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (t)=S\ (t)\times OC\times\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\ t^2(1-2t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\ (-2t^3+t^2)\end{align*}}$
ｔで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ '(t)=\frac{2}{3}(-6t^2+2t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{4}{3}t(3t-1)\end{align*}}$
0＜t＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の範囲で増減表を書くと、下の通り。
| t | 0 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ |
| V'(t) | ／ | + | 0 | － | ／ |
| V(t) | ／ | ↗ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{81}\end{align*}}$ | ↘ | ／ |
よって、ｔ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき、V(t)は最大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{2}{81}\ \ }\end{align*}}$
(1)、(2)からの誘導にうまく乗っかっていけば大丈夫でしょう。
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- 2011/12/23(金) 23:57:00|
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第3問
s，tを実数とし、座標平面上の4点A(-1，0)、B(1，0)、P(0，t)、Q(s，t)を
考える。次の問いに答えよ．
(1) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(1+s)^2+t^2}\geqq\frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
PA+PB≦QA+QB
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点A(-1，0)を通る直線L：x+ty+1=0を考える．
点Q(s，t)からLに下ろした垂線の足をHとすると、
QA≧QH
が成り立つ．
三平方の定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QA=\sqrt{(1+s)^2+t^2}\end{align*}}$．
点と直線の距離の公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=\frac{|s+t^2+1|}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(1+s)^2+t^2}\geqq \frac{|s+t^2+1|}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$ ････①
任意の実数xに対して、|x|≧xはつねに成り立つので、
|s+t2+1|≧s+t2+1
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(1+s)^2+t^2}\geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}\end{align*}}$ が成り立つ．
本来は計算して証明するんでしょうが、
図形の性質を利用して解いてみました．
直線Lが突然登場して意味不明かもしれませんが、
右辺が点と直線の公式の形になっていることに気づけば
そんなに不自然でもないと思います．
(2)
直線PQに関して、点Bと対称な点をC(1，2t)とすると、
PB=PC、 QB=QC ･･･②
一方、3点A、P、Cは同一直線(y=tx+t)上にあるので、
AC≦QA+QC
すなわち、
PA+PC≦QA+QC．
これと、②より、
PA+PB≦QA+QB
これまた図形の性質を使って解いてみました．
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- 2011/12/24(土) 23:57:00|
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第4問
Ｎ、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている．箱から
無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2Ｎ+2になったら終了する．
ｎ回取り出して終わる確率をP(ｎ)とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
とおく．次の問に答えよ．
(1) P(2ｊ)、P(2ｊ+1) （ｊ=1，2，･･･，Ｎ）およびP(2Ｎ+2)をrを用いて表せ．
(2) 偶数回取りだして終わる確率
$\small\sf{\begin{align*} \sf Q=\sum_{j=1}^{N+1}\ P\ (2j)\end{align*}}$
について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf Q>\frac{1-2r}{1-r}\end{align*}}$
となることを示せ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、p+q=1、pq=r ･･･(※)
① P(2ｊ)
1回目から2ｊ－1 回目までは赤と白が交互に出て、2ｊ 回目に同じ色が出ればよい。
すなわち、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ |
| 赤 | 白 | 赤 | 白 | ･･･ | 白 | 赤 | 赤 |
| p | q | p | q | ･･・ | q | p | p |
または、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ |
| 白 | 赤 | 白 | 赤 | ･･･ | 赤 | 白 | 白 |
| q | p | q | p | ･･・ | p | q | q |
なので、
P(2ｊ)=pj-1qj-1・p2+pj-1qj-1・q2
=pj-1qj-1(p2+q2)
=pj-1qj-1{(p+q)2)－2pq}
=rj-1(1－2r) (∵(※)より)
② P(2ｊ+1)
①と同様に考えると、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ | 2j+1 |
| 赤 | 白 | 赤 | 白 | ･･･ | 白 | 赤 | 白 | 白 |
| p | q | p | q | ･･・ | q | p | q | q |
または、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ | 2j+1 |
| 白 | 赤 | 白 | 赤 | ･･･ | 赤 | 白 | 赤 | 赤 |
| q | p | q | p | ･･・ | p | q | p | p |
なので、
P(2ｊ+1)=pjqj・p+pjqj・q
=pjqj(p+q)
=rj (∵(※)より)
③ P(2Ｎ+2)
次の2パターンが考えられる。
・2Ｎ+1回目と2Ｎ+2回目が同色の場合。すなわち、①でｊ=Ｎ+1の場合
rN(1－2r)
・1回目から2Ｎ+2回目まで赤と白が交互に出続ける場合
(赤白赤白･･･と白赤白赤･･･の2通り)
2×pN+1qN+1=2rN+1
よって、
P(2Ｎ+2)=rN(1－2r)+2rN+1
=rN
①、②は、きちんと状態を整理して、p+q=1にさえ気づけば
問題ないと思います。
③には2パターンあることに気づくでしょうかね？
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q=\sum_{j=1}^{N+1}\ P\ (2j)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{j=1}^{N}\ P\ (2j)+P(2N+2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{j=1}^{N}\ r^{\ j-1}(1-2r)+r^N\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-2r)\cdot\frac{1-r^N}{1-r}+r^N\ \ (\because\ r\ne 1\ )\end{align*}}$
整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q=\frac{1-2r+n^N}{1-r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1-2r}{1-r}\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(1)さえできれば、(2)は計算するだけです。
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- 2011/12/25(日) 23:57:00|
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